考慮靶體自由表面和開裂區影響的可變形彈體斜侵徹脆性材料的終點彈道分析

孔祥振，方秦，吳昊

(解放軍理工大學 國防工程學院，江蘇 南京210007)

0 引言

動能彈斜侵徹問題是防護工程領域和武器研發領域的研究重點之一。彈體斜侵徹過程中，由于初始不對稱力和自由表面的影響，彈體產生彎曲，且彈道發生偏轉。對該問題的主要研究方法可分為經驗公式法、理論分析方法和數值模擬法。經驗公式和理論分析法可以較好地預測彈體的終點彈道參數，但若要研究斜侵徹過程中彈體的結構響應，則須采用數值模擬方法。傳統的數值模擬方法基于守恒定律和控制方程，在離散的空間網格和時間點上求出所有控制方程的解，根據坐標系選取的不同可以分為Lagrangian 法、Euler 法和ALE 法，而這些方法都必須基于對靶體材料的準確描述，且需要考慮復雜的接觸算法，計算成本較高，此外，Lagrangian 方法可能由于大變形產生網格畸變而使計算終止［1］。

基于球形空腔膨脹理論，Warren 等［2-3］將靶體對彈體的作用用阻力函數代替，采用彈靶分離的方法，使用Sandia 國家實驗室編制的PRONTO 3D［4］，分別對可變形鋼彈正侵徹鋁合金靶體和石灰巖靶體進行了數值模擬，模擬中同時考慮了微小偏航角的影響，該方法不需要對靶體進行網格劃分，避免了復雜的接觸算法，從而節約了計算時間和成本，計算結果表明，該方法可以較好地預測彈體的運動及變形情況。何濤等［5-6］基于同樣的思想，采用ABAQUS/Explicit，結合自主開發的子程序，分別對球形彈和卵形彈正侵徹鋁合金靶體進行了數值模擬，模擬得到的侵徹深度和彈體變形情況與實驗結果吻合較好。

上述方法能否準確模擬彈體的運動變形情況取決于阻力函數的準確性。而空腔膨脹理論得到的阻力函數基于半無限大靶體假設，當彈體斜侵徹時，由于自由表面的影響，需要對偏向自由表面一側的阻力函數進行修正。Jung 等［7］認為彈體表面到靶體自由表面的距離存在一個閥值，若距離小于閥值，則彈體表面點不受力，并經驗地確定了凍土的該閥值。然而，這忽略了自由表面效應隨著空腔膨脹速度的增大而增大［8-9］。將靶體視為不可壓縮材料，Macek等［10］研究了有限空腔膨脹理論，確定了考慮自由表面效應的阻力函數，但將靶體視為不可壓縮材料，會高估阻力函數［11-12］。Warren 等［8-9］將靶體視為不可壓縮材料，假定空腔膨脹產生塑性-彈性響應分區，通過比較不可壓縮條件下得到的有限空腔表面應力與無限空腔表面應力，得到了自由表面效應衰減函數，然后將其乘以可壓縮模型下得到的阻力函數，將可壓縮性引入到考慮自由表面效應的阻力函數中，并分別對4340 高強鋼彈體斜侵徹鋁合金靶體和石灰巖靶體進行了數值模擬。對于鋁合金靶體，模擬結果與實驗結果吻合較好;而對于石灰巖靶體，入射速度較高時模擬結果與實驗結果吻合較好，而速度較低時，模擬得到的彈體轉動與實驗結果差別較大。何濤等［13］將上述衰減函數推廣應用于彈體貫穿金屬靶體的數值模擬中(同時考慮兩個自由表面的影響)，并對4340 高強鋼彈體斜貫穿鋁合金靶體進行了數值模擬，模擬得到的彈體最終形態與實驗結果吻合較好。

本文基于Warren 等［9］的工作，將靶體視為不壓縮的Mohr-Coulomb 材料，得到了基于塑性-開裂-彈性響應分區的自由表面效應衰減函數，并將脆性材料半經驗阻力函數乘以該衰減函數進行修正，然后采用彈靶分離的方法將修正后的阻力函數作為邊界條件施加于彈體表面，對4340(RC44.5)高強鋼彈體斜侵徹石灰巖靶體進行了數值模擬，并分別將數值模擬結果與實驗測得結果及Warren 等［9］模擬結果進行了對比，驗證了本文提出方法的正確性和優越性。

1 考慮自由表面效應的脆性材料半經驗阻力函數

本節將靶體視為不可壓縮的Mohr-Coulomb 材料，假定空腔膨脹產生塑性-開裂-彈性響應分區，構造了自由表面效應衰減函數，并將其乘以脆性材料半經驗阻力函數，得到了考慮自由表面效應的脆性材料半經驗阻力函數。此外，由于彈靶之間摩擦機理尚不明確，而且彈靶之間摩擦系數是速度和壓力相關的，難以測量和確定，并且彈靶間的摩擦效應已經擬合到了動態抗壓強度R 中，因此，本文計算中忽略了彈靶間摩擦的影響。

1.1 半經驗阻力函數

諸多混凝土和巖石等脆性材料靶體的正侵徹實驗表明［14-15］，靶體的破壞形態為一個近似倒錐形的沖擊坑和一個直徑近似等于彈體直徑的鉆孔區組成，如圖1 所示，其中沖擊坑深度為Hc，彈體侵徹深度為Hp. 在鉆孔區，Frew 等［14］、Forrestal 等［15］基于動態球形空腔膨脹理論和對實驗的回歸分析，提出了半經驗的脆性材料靶體阻力函數公式，并被以后較多學者所采用，即

式中:σn為靶體阻力函數;ρ0為靶體初始密度;R 為靶體的動態抗壓強度;vn為瞬時彈體表面法向速度。對于混凝土靶體，R=Sfc，其中S 為無量綱靶體經驗參數，包含了高溫、高壓、高應變率、高靜水壓力等影響，Frew 等［16］通過對正侵徹實驗數據的回歸得到S=82.6 ×fc-0.544，式中fc單位為MPa. 對于石灰巖靶體，Frew 等［14］觀察到R 隨彈徑的增大而減小，因此建議R =Φ +φ(D0/D)，其中D 為彈體直徑，Φ、φ 和D0為經驗系數，通過擬合實驗數據，Frew等［14］建議Φ=607 MPa，φ=86 MPa，D0=25.4 mm.

圖1 侵徹兩階段模型Fig.1 Two-stage penetration model

在開坑區，由于應力波在靶體自由表面的反射引起靶體破壞，動態球形空腔膨脹理論不再適用，Frew 等［14］、Forrestal 等［15］認為彈體從自由表面到開坑區和鉆孔區交界處阻力呈線性增長，并認為開坑區深度為2 倍彈體直徑。在數值方法中，將開坑區等分為10 層，則每一層的靶體阻力函數［3］為

式中:σn是按(1)式求得的靶體阻力函數。在開坑區，由于靶體破壞產生的材料飛散，彈身位置并不受力，靶體阻力函數只作用于彈頭上。

1.2 考慮自由表面效應的衰減函數

如圖2 所示，假設空腔在脆性材料中膨脹產生塑性-開裂-彈性響應分區，各響應分區的分界面分別為rb、rc，空腔半徑為ra，空腔膨脹速度為，rd處為自由表面。將靶體視為不可壓縮的Mohr-Coulomb 材料，以下推導構造塑性-開裂-彈性響應分區下的自由表面效應衰減函數。

圖2 空腔膨脹響應區Fig.2 Response regions for cavity expansion

球對稱歐拉坐標系下動量和質量守恒方程分別為

式中:σr和σθ分別為徑向和環向應力，受壓為正，受拉為負;ρ0和ρ 分別為靶體初始狀態和最終狀態的密度，當靶體不可壓縮時有ρ=ρ0;粒子徑向位移s 和粒子徑向速度v 有以下關系:

對(4)式積分可以得粒子徑向位移為

將(6)式代入(5)式可得粒子徑向速度為

1.2.1 彈性區的求解

由于彈性區粒子位移很小，粒子徑向位移［17］可近似為

則彈性應變為

對于不可壓縮材料，由胡克定律:

將(10)式代入動量守恒方程(3)式，得

式中:Λ1為積分常數，可通過σr在自由表面處(r =rd)為0 求得。

1.2.2 開裂區的求解

當彈性區環向應力σθ到達材料最大抗拉強度時，靶體由彈性區進入開裂區，則開裂-彈性交界面上滿足:

式中:ft為靶體單軸抗拉強度。由Hugoniot 跳躍條件，開裂-彈性交界面左右徑向應力連續，則

利用牛頓迭代法解(14)式即可得開裂-彈性交界面位置rc.

在開裂區，σθ=0，將其代入動量守恒式(3)式，則

式中:Λ2為積分常數，可由(16)式與(12)式在r =rc處相等求得。

1.2.3 塑性區的求解

脆性材料塑性區由Mohr-Coulomb 破壞準則描述:

式中:λ、τ 為Mohr-Coulomb 常數。

塑性-開裂交界面左右徑向應力連續，則有

式中:Y 為靶體單軸抗壓強度。利用牛頓迭代法解(18)式即可得塑性-開裂界面位置rb.

將(17)式代入(3)式得

式中:Λ3為積分常數，可由(20)式與(16)式在r=rb處相等得到。

當空腔膨脹速度大于一定值時，開裂區消失(rb＞rc)，響應分區變為彈塑性分區，此時，塑性-彈性交界面位置可由下式［9］確定:

1.2.4 空腔表面徑向應力的求解

由上述討論，空腔表面徑向應力可通過以下步驟進行求解:

1)由(14)式和(18)式分別求得rc、rb. 若rc＞rb，則空腔膨脹產生塑性-開裂-彈性響應分區;若rc＜rb，則空腔膨脹產生塑性-彈性響應分區。

2)若rc＞rb，依次利用(12)式、(16)式、(20)式即可求得空腔表面應力。但若rc＞rd時，即不存在彈性區時，脆性材料受拉破壞，此時，令空腔表面徑向應力σr(ra)=0.

3)若rc≤rb，依次利用(12)式、(20)式即可求得空腔表面應力。但若rb＞rd時，即不存在彈性區時，脆性材料受壓破壞，此時令空腔表面徑向應力σr(ra)=0.

1.2.5 衰減函數的構造

若空腔在半無限靶體中膨脹，則產生塑性-開裂-彈性響應分區，此時空腔表面徑向應力(ra)可由(12)式，(16)式和(20)式求得(令rd→∞)。則衰減函數構造為

圖3 分別給出了不同空腔膨脹速度下，rd/ra與基于塑性-開裂-彈性響應分區得到的衰減函數和基于彈塑性響應分區得到的衰減函數關系曲線。其中，靶體為Salem 石灰巖，經驗參數如表1 所示。由圖3 可見:1)當空腔膨脹速度較低時，基于塑性-開裂-彈性響應分區得到的衰減函數比基于彈塑性響應分區得到的衰減函數小，即采用塑性-開裂-彈性響應分區時，自由表面效應影響較大;而當空腔膨脹速度較高時，由于開裂區消失，采用兩種響應分區得到的衰減函數相同。2)隨著空腔膨脹速度的增大，自由表面效應影響距離也越來越大。

圖3 衰減函數與自由表面距離的關系曲線Fig.3 Decay function vs. distance to the free surface

由上述分析，考慮自由表面效應的半經驗阻力函數可確定為

表1 石灰巖靶體經驗參數［9］Tab.1 Empirical parameters of limestone target［9］

2 有限元模型

由第1 節分析，侵徹過程中靶體對彈體的作用可以用阻力函數σn來代替，這樣，在進行有限元模擬時，就可以將靶體的響應作為邊界條件施加于彈體表面，從而避免了靶體網格的劃分和復雜的接觸算法。圖4 給出了彈體表面單元所受壓力邊界條件示意圖，各單元所受壓力可以表示為

式中:v 為結點速度矢量;n 為彈體表面在結點處的外法線方向。由上式可見，隨著侵徹過程中v 和n不斷變化，每個單元的瞬時壓力也在不斷變化，并且只有當彈體表面單元位于靶體內部時，壓力邊界條件才起作用。當彈體斜侵徹靶體時，還需要考慮彈靶之間的分離效應，本文采用的方法是當(v·n)＜0 時，令壓力為0. 通過ABAQUS 用戶子程序［18］將上述方法植入，在每一個時間步子程序都會被調用一次，用來計算施加于彈體表面的壓力。

圖4 彈體表面壓力定義Fig.4 Definition of pressure boundary condition

3 數值模擬與實驗結果對比

為驗證本文提出方法的正確性和優越性，本節首先對4340 高強鋼(RC44.5)彈體正侵徹石灰巖靶體進行了數值模擬，并對比了模擬得到的侵徹深度和實驗測得值;然后對4340 高強鋼彈體斜侵徹石灰巖靶體進行了數值模擬，并分別對比分析了模擬得到的彈體最終形態與彈尖最終位置和實驗測得值及Warren 等［9］的模擬結果。

本文對4340 高強鋼彈體采用冪次硬化本構模型［1］，即

3.1 正侵徹條件下侵徹深度

Frew 等［14］分 別 進 行 了7.1 mm、12.7 mm、25.4 mm不同直徑4340 高強鋼(RC44.5)彈體正侵徹石灰巖靶體的實驗，圖5 分別給出了數值模擬得到的侵徹深度和實驗測得值。由圖5 可見，數值模擬結果與實驗吻合非常好，驗證了本文的計算方法及其子程序的正確性。

圖5 正侵徹侵徹深度模擬值與實驗值［14］對比Fig.5 Comparison of the depths of numerical simulation and experimental［14］penetrations

3.2 斜侵徹條件下彈體變形

Warren 等［9］進行了4340 鋼(RC44.5)彈體以不同傾角和初速斜侵徹石灰巖靶體的實驗，表2 分別給出了不同工況下實驗得到的彈體最終形態和依本文方法模擬得到的彈體最終形態及Warren 等［9］模擬得到的彈體最終形態圖。由表2 可見，當傾角較小且初速較大時，本文模擬得到的結果和Warren等［9］模擬得到的結果與實驗吻合均較好;而當傾角較大或初速較小時，本文得到的模擬結果較Warren等［9］模擬得到的結果與實驗更為接近，驗證了本文提出基于脆性材料塑性-開裂-彈性響應分區得到的自由表面效應模型的優越性。

表2 不同工況下數值模擬得到的彈體變形情況與實驗結果的對比Tab.2 Comparison of the projectile deformations in numerical simulation，experiment and Ref.［9］

?

圖6 分別給出了不同工況下實驗得到的彈尖最終位置和依本文方法模擬得到的彈尖最終位置及Warren 等［9］模擬得到的彈尖最終位置。由圖6 可見，依本文方法得到的彈尖最終位置較Warren 等［9］模擬得到的彈尖最終位置與實驗更為接近，進一步驗證了本文提出自由表面效應模型的優越性。

圖6 不同工況下數值模擬得到的彈尖最終位置與實驗結果的對比Fig.6 Comparison of the positions of the tips in numerical simulation，experiment and Ref. ［9］

4 結論

本文將脆性靶體視為不可壓縮Mohr-Coulomb材料，假定空腔膨脹產生塑性-開裂-彈性響應分區，構造了自由表面效應的衰減函數，并將衰減函數乘以基于半無限大靶體假設的半經驗阻力函數，得到了用于斜侵徹條件下半經驗阻力函數。

基于彈靶分離的方法，將靶體對彈體的作用用阻力函數代替，避免了靶體網格的劃分和復雜的接觸算法，對可變形彈斜侵徹石灰巖靶體進行了數值模擬。數值模擬結果表明，當傾角較小且初速較大時，本文模擬得到的彈體最終形態和彈尖最終位置和Warren 等［9］模擬得到的結果與實驗結果吻合均較好;而當傾角較大或初速較小時，本文得到的彈體最終形態和彈尖最終位置較Warren 等［9］模擬得到的結果與實驗結果更為接近，驗證了本文提出的基于脆性材料塑性-開裂-彈性響應分區的自由表面效應模型的優越性。

本文方法基于彈體無明顯磨蝕假設，而當彈體高超聲速侵徹混凝土或巖石靶體時(著靶速度達到1 500 m/s)，高溫高壓以及骨料的摩擦和切削等作用會產生彈體頭部磨蝕效應。因此進一步的研究應在于將彈體磨蝕嵌入本文方法中，從而實現對彈體磨蝕和運動的耦合分析。

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