典型彈道下的火箭彈MEMS-INS/GNSS 組合導航姿態誤差可觀性分析

董進龍，莫波

(北京理工大學 宇航學院，北京100081)

0 引言

微機電系統(MEMS)慣性器件具有價格低廉、使用簡單以及抗過載能力強的優點，因此被廣泛應用在低成本的彈藥系統中。但是，由于精度偏低、零偏穩定性較差、對環境的敏感度較大，使MEMS 器件在純慣性導航系統(INS)中的應用受到很大的限制。隨著常規彈藥的制導化，MEMS-INS 成為首選的彈上測姿系統，如果與全球導航衛星系統(GNSS)構成組合導航系統，形成優勢互補，則能夠實現常規無控彈藥的低成本制導化。

MEMS-INS 與GNSS 這種優勢互補需要一個前提條件:組合導航系統的狀態必須是可觀的。只有滿足這個條件，才能夠利用組合導航系統估計出相應的偏差，并進行補償。因此，分析MEMS-INS/GNSS 組合導航系統在不同條件下的最優估計性能，能夠有效地指導組合導航系統的最優設計。

當前，線性系統的可觀性分析有多種方法。對于非隨機系統，一般根據系統的可觀性矩陣或者系統的Gramian 矩陣的特性來判斷系統是否完全可觀。基于此類原理發展出了:基于可觀性矩陣或Gramian 矩陣的特征值以及特征向量來判斷狀態的可觀性［1］;對于線性時變系統，利用分段線性定常系統(PWCS)原理，通過系統總可觀性矩陣(TOM)或者提取可觀性矩陣(SOM)，來分析系統在整個時間段上的可觀性［2］，或者采用簡化的方法，分析系統在特定時間段上的局部可觀性［3］;將可觀性矩陣進行奇異值分解，然后根據奇異值的大小來判斷相應狀態的可觀性［4-6］。施桂國等［7］利用奇異值法對巡航導彈的慣性/地磁匹配組合導航系統進行了可觀性分析。文獻［8 -9］則在上述方法基礎上將系統在特定時段內看作定常系統，分析系統的局部可觀性，并在奇異值方法的基礎上定義了可觀性矩陣的條件數來進一步表征系統的可觀測程度。相對于系統在整個時域上的可觀性，文獻［10 -12］則在瞬時可觀性概念的基礎上，具體分析了捷聯慣導系統(SINS)/全球定位系統(GPS)組合導航系統在不同機動情況下的可觀性。

另外，還可以利用隨機系統可觀性分析方法來判斷系統的可觀性，其中包括:以系統狀態誤差方差陣為研究對象，計算矩陣的特征值和特征向量，然后根據特征值的大小以及特征向量來判斷相應狀態的隨機可觀測程度［13-14］;此外，利用系統矩陣和噪聲協方差矩陣構成隨機系統的Riccati 方程，然后根據噪聲方差有界原則，來判斷狀態的可觀性［15］。而文獻［16］則利用系統初始的誤差協方差矩陣和系統矩陣構成協方差矩陣，將其進行奇異值分解，來分析系統在各個子空間上的可觀性。

有一部分學者利用系統矩陣的特征值、特征向量以及測量矩陣構成系統的可觀性因子，用于分析系統各個狀態的可觀性。

對于非線性系統，利用局部線性化的方法，分析系統的線性可觀性。針對某些特定的非線性系統，例如INS-GPS 組合導航系統，一些學者從系統可觀性的定義出發，結合特定的工作條件，來分析系統的全局可觀性［17］。

本文考慮到噪聲特性對最優估計的影響也是通過系統結構進行傳播的，因此，暫不考慮系統噪聲的影響，以遠程制導火箭彈為研究對象，建立了MEMS-INS/GNSS 松組合系統。利用線性系統的可觀性分析方法，分析了火箭彈的姿態誤差在3 種典型彈道下的可觀性，并通過仿真驗證結果的正確性。

1 MEMS-INS/GNSS 反饋式松組合導航系統的建立

采用最常用的INS/GNSS 松組合系統結構，建立具有15 個偏差狀態的卡爾曼濾波(KF)系統［18］，狀態變量選取如下:

由于MEMS-INS 系統的慣性器件精度較低，其姿態、速度以及位置誤差會迅速發散，因此，有必要采用反饋式組合導航結構，定期對慣導的姿態誤差、導航誤差以及傳感器誤差進行修正，以確保短時間內慣導獨立工作的精度，同時，也能夠有效地抑制由于濾波器狀態增大而引起的截斷誤差和系統建模誤差，防止濾波發散。反饋濾波系統的結構如圖1 所示。

圖1 具有狀態反饋結構的卡爾曼濾波系統Fig.1 Kalman Filter system with state feedback

離散系統基本KF 方程如(1)式所示，

根據最優估計理論以及反饋系統原理，卡爾曼濾波器輸出的最優估計值在反饋到MEMS-INS 系統之后，在進行下一次濾波計算之前，應該將濾波器狀態置為0，以保證卡爾曼濾波器的最優性。因此，具有MEMS-INS 狀態反饋結構的MEMS-INS/GNSS 組合導航KF 系統方程如(2)式所示，

從理論上來講，反饋式KF 更能符合誤差為小量的假設，濾波性能要優于輸出校正KF. 但是，在工程應用中，實際系統都是離散時變系統，濾波結果會受到濾波步長以及濾波時刻系統模型的精度影響，濾波偏差必然存在。對于狀態反饋式KF 組合導航系統，錯誤的濾波結果會直接傳播到慣導系統中，在最壞情況下，會使閉環回路不再滿足負反饋的條件，導致系統發散。而輸出校正式KF 的濾波結果不會直接影響慣導系統，系統建模誤差就不會傳播到慣導系統中。因此，從這上述觀點出發，當系統建模誤差較大時，輸出校正式KF 往往比反饋式KF更加可靠。實際上，造成上述問題的原因主要有以下兩點:

1)離散時變系統在濾波時刻的系統矩陣Φk，k+1只能代表當前時刻的系統參數，如果系統參數在兩個時刻之間出現了短時突變(如飛行器的短時機動)，濾波系統的模型與實際系統就出現了差異，從而使最優估計出現誤差;

2)當某些系統狀態的可觀性較差時，這些狀態的最優估計結果就會在很大程度上取決于模型中的噪聲特性以及建模誤差，當噪聲模型與實際噪聲特性存在較大誤差時，不可觀狀態的最優估計結果就會存在較大的誤差。

因此，對于離散時變系統，在應用狀態反饋式KF 時，應合理選擇濾波步長，同時，有必要分析無噪聲系統的可觀性，根據狀態可觀性分析結果，適當的改變反饋結構，只反饋那些可觀性好的狀態，保證反饋系統的穩定性。

2 火箭彈組合導航系統可觀性分析

2.1 系統可觀測性分析的奇異值分解法

對于離散時變線性系統，采用PWCS 原理，將系統進行適當的分段處理，計算每個段上的系統可觀性矩陣，這樣就能夠得到系統的總觀測性矩陣，從而得到每個時刻的系統狀態的可觀性。下面介紹一種基于系統可觀性矩陣的奇異值分解的可觀性分析方法。

系統狀態X(k)的維數為n，觀測量Y(k)的維數為m，系統的可觀性矩陣為

則有

式中:Y 表示從零時刻開始所有的觀測值組成的mk維列向量，Rk的奇異值分解可表示為

式中:U =［u1，u2，…，umk］是mk ×mk 維正交矩陣;V=［v1，v2，…，vn］是n × n 維正交矩陣;Σ =是mk × n 階矩 陣，其 中，S =diag(σ1，σ2，…，σn)是Rk的奇異值與0 組成的對角矩陣，σ1≥σ2≥…≥σr＞σr+1=…=σn=0，其中，大于0 的σi為Rk的奇異值。將(6)式代入(5)式并進行變換得

設Y' =UTY，X'(0)=VTX(0)，分別表示觀測量和初始狀態的單位正交變換，則有

可見，可觀性矩陣的奇異值實際上表征了初始狀態到測量輸出的傳遞增益。將(8)式寫成標量形式如(9)式所示:

當σi較大時，相應的狀態x'i(0)就能夠以較大的增益傳遞到測量值，使測量值中能夠包含較多的關于x'i(0)的信息，為x'i(0)的觀測提供了有利的條件，即相應狀態的可觀性好。反之，如果σi較小甚至為0，狀態x'i(0)的信息無法有效傳遞到測量值中，自然就無法從測量值中觀測出相應的初始狀態，即相應的狀態可觀性較弱或者不可觀。

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因此，奇異值的大小能夠有效地反應系統狀態的可觀性。奇異值越大，相應的狀態(狀態的線性組合)可觀性越好。

然而，在很多情況下，奇異值直接表征的是系統狀態線性組合的可觀性，而無法直接表示系統中某個具體狀態的可觀性。根據前面的定義萬德鈞等［4］、劉百奇等［5-6］提出，將vi中的最大的元素所對應的系統狀態xk(k∈［1，2，…，n］)與σi形成對應關系，用σi直接表征xk的可觀性。這實際上是一種近似的做法，當vi中最大的元素遠大于其他元素時，這種方法具有很好的近似程度。但是，當vi中的最大元素的優勢不明顯時，這種做法的合理性應該值得商榷。

實際上，對于很多不完全可觀系統，通過正交變換，某個系統狀態信息可能同時映射到可觀性好的方向和可觀性不好的方向。這里借鑒概率分布理論，假設狀態xk(k∈［1，2，…，n］)的信息分別按照不同的概率μki(i∈［1，2，…，n］)映射到以X'(0)為基的狀態空間中，即

這里用狀態的范數(模)表示狀態信息，概率μki滿足(11)式:

根據(9)式，狀態xk的子信息的可觀性與σi直接相關。因此，利用概率分布的平均值思想，用奇異值表征的狀態xk的可觀性就可以表示如下:

這樣，通過~σk的大小就可以衡量狀態xk的可觀性。根據可觀性矩陣的奇異值與可觀性的關系，那些等效奇異值較大的狀態對應的可觀性較好，反之可觀性較差。

2.2 彈載MEMS-INS 加GNSS 的組合效能分析

傳統的炮射火箭彈均飛行在拋物彈道下，根據發動機的工作狀態，可將彈道分為兩個階段:主動段和被動段;同時，根據制導與控制系統的作用，將火箭彈的飛行劃分為有控和無控兩種狀態。下面利用2.1 節推導的基于等效奇異值的可觀性分析方法，對某型炮射火箭彈無控和有控的典型彈道進行可觀性分析。

搭載MEMS-INS/GNSS 組合導航系統的制導火箭彈，姿態測量精度往往是影響火箭彈制導精度的主要因素。因此，本文以火箭彈的姿態角為研究對象，分析在不同彈道條件下，3 個姿態角(滾轉角γ、俯仰角?、方位角ψ)的可觀性。

前文在地理坐標系下，組建了以東、北、天失準角等作為狀態的KF 系統。顯然，這里的天向失準角φU與方位角誤差Δψ 具有小角度下的等效關系。因此，只要分析天向失準角的可觀測特性，就能夠知道方位角的可觀性。另外，為了能夠直觀地研究滾轉角和俯仰角的可觀特性，必須將上述的KF 方程進行結構變換，在其他狀態變量不變的條件下，在準彈體坐標系下建立失準角狀態方程。本文中，準彈體坐標系選取方式如下:坐標原點O 在導彈質心上，x 軸為彈體縱軸，指向彈頭方向為正，y 軸在鉛垂面內，與x 軸垂直，向上為正，z 軸與另外兩軸構成右手坐標系。變換后的KF 狀態變量如下:

這樣，x 軸失準角φx與滾轉角誤差Δγ 具有小角度下的等效關系，z 軸失準角φz與俯仰角誤差Δ? 具有小角度下的等效關系。這樣，通過分析上述兩種形式的KF 系統狀態的可觀性，就能夠直接得到3 個姿態角的可觀性。

可觀性是系統在整個時域上的特性，表征的是系統利用包括當前時刻在內的所有已知觀測值，估計初始狀態的能力。由于系統參數在整個彈道上具有慢變的特性，所以在組合時間點，將系統參數凍結，視為線性定常系統，然后單獨分析此段的可觀性。這樣就等同于將系統的初始時刻按照濾波節奏不斷地進行順延，只分析當前濾波時段的可觀性。這種處理方式對于狀態反饋式組合導航系統來講具有合理性。

3 種典型彈道分別為無控彈道、俯仰機動彈道和偏航機動彈道。有控彈道的機動時間段均在10 ～24 s 之間，機動過程的橫向過載曲線如圖2 所示。利用等效奇異值法分析得到的3 個姿態角誤差Δγ、Δ?、Δψ 在不同彈道條件下的可觀性如下:

1)滾轉角誤差Δγ 的可觀性如圖3 所示，從中可以看出，在彈體沒有發生機動時，Δγ 的等效奇異值很小，接近于0，因此，在這些情況下Δγ 是不可觀的，如果不考慮噪聲的影響，卡爾曼濾波器不能正確估計出Δγ. 當載體產生機動時，隨著法向過載的增大，Δγ 的可觀性明顯增大，從理論上來講，這些時段卡爾曼濾波器應該能夠對Δγ 進行正確的估計。

圖2 有俯仰或者偏航機動時的橫向加速度Fig.2 The acceleration curve during pitch or yaw maneuvering

圖3 用等效奇異值表示的Δγ 的可觀性變化曲線Fig.3 The observability curves of Δγ

2)俯仰角誤差Δ? 的可觀性如圖4 所示，從中可以看出，Δ? 在飛行全程都有較大的等效奇異值，俯仰機動會在一定程度上增大Δ? 的可觀程度。由于炮射火箭彈的彈道特性，在飛行全程，加速度主要分布在彈體縱軸上，通過分析圖4 中的曲線，Δ? 的可觀性基本上與軸向加速度呈正比。

圖4 用等效奇異值表示的Δ? 的可觀性變化曲線Fig.4 The observability curves of Δ?

3)方位角誤差Δψ 的可觀性如圖5 所示，Δψ的可觀性基本上與Δ? 類似，偏航機動會增加Δψ的可觀測程度，而俯仰機動對Δψ 的影響則與彈體俯仰角存在一定的關系。

圖5 用等效奇異值表示的Δψ 的可觀性變化曲線Fig.5 The observability curves of Δψ

從以上的分析可以發現，垂直于Euler 角方向的加速度越大，相應的Euler 角偏差的可觀性也就越好。

3 仿真分析

利用上述3 種彈道，進行組合導航分析，通過在相應的姿態角上人為施加一定的偏差，然后，考察組合系統對姿態偏差的估計情況，仿真條件如下:

無控飛行彈道的總時間為106.8 s，有控飛行比無控飛行時間短1 s，彈體機動的時間段為10 ～22 s.主動段持續時間為4.5 s，不進行組合導航解算。在5 s 時刻，分別在相應的姿態上人為加入5°的姿態角誤差，從5.1 s 開始進行組合導航，每0.1 s 一個節拍，卡爾曼濾波器進行測量更新，然后，將所有狀態的最優估計值反饋到MEMS-INS 系統中進行校正。3 種彈道條件下的姿態角誤差濾波結果如下:

1)滾轉角偏差Δγ 在不同彈道下的濾波結果如圖6 所示，從圖中可以發現，在彈體沒有機動時Δγ 幾乎不收斂，當彈體開始機動時，Δγ 則能迅速收斂。這與前面分析的滾轉角誤差的可觀性是一致的。

圖6 3 種彈道下Δγ 的最優估計結果Fig.6 Δγ curves in three trajectories

2)俯仰角誤差Δ? 在不同彈道下的濾波結果如圖7 所示。Δ? 在組合開始的幾個節拍內迅速收斂。在前面分析Δ? 的可觀性時發現，由于彈道初始段軸向加速度較大，Δ? 的可觀性較好，當彈體軸向加速度減小時，Δ? 的可觀性也開始變差。同時，在最初的迅速收斂之后，Δ? 又開始緩慢變大，這與系統建模的誤差也有一定的關系。當彈體有俯仰機動時，Δ? 的發散會得到抑制(如圖7 中點劃線所示)。

圖7 3 種彈道下Δ? 的最優估計結果Fig.7 Δ? curves in three trajectories

3)方位角誤差Δψ 在不同彈道下的濾波結果如圖8 所示。與Δ? 類似，Δψ 很快收斂，但是卻出現了類似于控制系統中的超調現象。另外，在仿真中發現，當Δψ 快速收斂過程中，Δγ 會增大，增大的速度與Δψ 收斂的速度呈正比。也就是說，在只存在軸向加速度的情況下，Δψ 的估計會帶來Δγ 的錯誤估計。這是因為，在這種情況下不存在法向加速度，Δγ 本身的可觀性較弱，同時，在仿真中，方位角誤差收斂時，俯仰角為35°左右，此時，滾轉角與方位角存在動態耦合，Δψ 的變化會引起Δγ 的錯誤估計。這種現象如圖9 所示，從圖中可以發現，如果彈體發生機動，則由于錯誤估計導致的滾轉角偏差會收斂，這與之前分析的滾轉角可觀性規律相符。

圖8 3 種彈道下Δψ 的最優估計結果Fig.8 Δψ curves in three trajectories

圖9 由于角度動態耦合引起的Δγ 的錯誤估計Fig.9 Fault estimation of Δγ caused by coupling with azimuth

4 結論

在奇異值法分析可觀性的基礎上，定義了狀態等效奇異值這一概念，來作為系統狀態可觀性的度量標準。應用此方法，重點分析了炮射火箭彈的姿態角誤差在典型彈道下的可觀性變化趨勢，仿真結果與可觀性的分析結果具有一致性。

通過分析以及仿真，對于炮射火箭彈飛行時姿態角誤差的可觀性，可得到如下結論:俯仰角誤差的可觀性主要受軸向過載的影響，軸向過載越大，可觀性越好;方位角誤差的可觀性則與彈體的水平過載直接相關，水平過載越大，可觀性越好;滾轉角誤差則只與彈體的法向過載相關，法向過載越大，可觀性越好。最后得到一致結論:垂直于Euler 角方向的加速度越大，相應的Euler 角偏差的可觀性越好。

References)

［1］Maessen D C，Gill E K A. Relative state estimation and observability analysis for formation flying satellites［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35(1):312 -326.

［2］Meskin G，Itzhack B. Observability analysis of piece-wise constant systems［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic System，1992，28(4):1056 -1075.

［3］Kong Xingwei，Guo Meifeng，Dong Jingxin. An improved PWCS approach on observability analysis of linear time-varying system［C］∥Proceedings of 2009 Chinese Control and Decision Conference. Guilin，China:IEEE，2009，761 -765.

［4］萬德鈞，房建成. 慣性導航初始對準［M］. 南京:東南大學出版社，1998.WAN De-jun，FANG Jian-cheng. Initial alignment of inertial navigation［M］. Nanjing:Southeast University Press，1998. (in Chinese)

［5］劉百奇，房建成. 一種基于可觀測度分析的SINS/GPS 自適應反饋濾波校正新方法［J］. 航空學報，2008，29(2):430 -435.LIU Bai-qi，FANG Jian-cheng. A new adaptive feedback Kalman filter based on observability analysis for SINS/GPS［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2008，29(2):430 - 435.(in Chinese)

［6］劉百奇，房建成. 一種基于可觀測度分析的SINS/GPS 空中對準新方法［J］. 系統仿真學報，2008，20(16):4302 - 4305，4348.LIU Bai-qi，FANG Jian-cheng. Novel in-flight alignment based on observability analysis for SINS/GPS［J］. Journal of System Simulations，2008，20(16):4302 -4305，4348. (in Chinese)

［7］施桂國，周軍，葛致磊. 基于無跡卡爾曼濾波的巡航導彈地磁自主導航方法［J］. 兵工學報，2008，29(9):1088 -1093.SHI Gui-guo，ZHOU Jun，GE Zhi-lei. Geomagnetic autonomous navigation technology of cruise missile based on the unscented Kalman filter［J］. Acta Armamentarii，2008，29(9):1088 -1093.(in Chinese)

［8］宋峰，張奕群. 星光大氣折射觀測導航方法可觀性研究［J］.現代防御技術，2012，40(2):65 -70，81.SONG Feng，ZHANG Yi-qun.Research on observability of navigation approach using starlight refraction measurements［J］. Modern Defence Technology，2012，40(2):65 -70，81. (in Chinese)

［9］Feng Zhihua，Jiang Weiwei. Research of rapid transfer alignment and observability analysis［C］∥2nd International Conference on Intelligent Control and Information Processing (ICICIP). Harbin，China:IEEE，2011:204 -207.

［10］Lu Hongqian，Li Mingming. Observability of Geomagnetism/GPS/SINS integration during maneuvers［C］∥2011 3rd International Conference on Advanced Computer Control (ICACC 2011). Shanghai，China:IEEE，2011:604 -609.

［11］LIU Zhiping，YU Fan. Observability analysis and simulation of integrated navigation system during maneuver［C］∥The 30th Chinese Control Conference. Yantai，China:Shandon University and Yantai University，2011:3679 -3682.

［12］Sinpyo Hong，Man Hyung Lee. Observability of error states in GPS/INS Integration［J］. IEEE Transactions on Vehicular Technology，2005，54(2):731 -743.

［13］蘆佳振，張春熹，彥廷洋. 應用卡爾曼濾波的線性系統可觀測度實時估計算法［J］. 宇航學報，2009，30(3):982 -987.LU Jia-zhen，ZHANG Chun-xi，YAN Ting-yang. A real time estimation method of degree of observability for linear system using Kalman filter［J］. Journal of Astronautics，2009，30(3):982 -987. (in Chinese)

［14］Li Maodeng，Wang Dayi. Study on the observability analysis based on the trace of error convariance matrix for spacecraft autonomous navigation［C］∥10th IEEE International Conference on Control and Automation (ICCA). Hangzhou，China:IEEE，2013:95 -98.

［15］Bageshwar V L，Demoz G E，Garrard W L，et al. A stochastic observability test for discrete-time Kalman filters［J］. Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2009，32(4):1356 -1370.

［16］Sinpyo Hong，Ho-Hwan Chun. Observability measures and their application to GPS/INS［J］. IEEE Transactions on Vehicular Technology，2008，57(1):97 -106.

［17］Tang Yonggang，Wu Yuanxin，Wu Wenqi. INS/GPS integration:global observability analysis［J］. IEEE Transactions on Vehicular Technology，2009，58(3):1129 -1142.

［18］Titerton D H，Weston J L. Strapdown inertial navigation technology［M］. 2nd ed. UK:The Institution of Electrical Engineers，2006.