一種任意二位置陀螺尋北模型及其數據處理技術

薛海建，郭曉松，周召發

(第二炮兵工程大學 兵器發射理論與技術國家重點學科實驗室，陜西西安710025)

0 引言

陀螺尋北儀是一種能在靜態下全天候自動指示方位的高精度慣性儀表，在軍事和民用部門都有廣闊的應用前景。目前，尋北儀普遍采用二位置尋北法［1-3］、四位置尋北法［4］和多位置尋北法［5］，連續旋轉法也有一定的研究［6-7］，但仍處于探索階段。這些傳統尋北方法有的要求陀螺儀數據采集位置過多，如四位置尋北法、多位置尋北法等;有的要求陀螺儀必須在相差固定的位置上進行數據測量，如二位置尋北法的180°、四位置尋北法的90°;有的對電機恒速控制有著很高要求(連續旋轉法)。測量位置過多、相差過大及電機的恒速穩定控制不僅操作過程繁瑣，而且耗時較長，大大增加了尋北系統的定向時間。

為此，提出了一種更為實用且簡單的任意二位置陀螺尋北方法，通過在任意2 個位置上對陀螺儀和加速度計的輸出信號進行采集，在有效補償陀螺常值漂移和加速度計零偏對尋北精度影響的前提下，可在相差較小(小于180°)的2 個位置上進行信號采集，從而減少轉臺轉動時間，在一定程度上節省了整個尋北過程的時間。此外，為有效地消除陀螺輸出數據中的漂移，提高尋北精度，針對陀螺漂移非平穩、非線性的特點，引入小波閾值方法進行消噪處理，提出了一種新的雙參數可調閾值函數，可有效克服軟硬閾值函數的缺點，且表達式簡單，無需分段取值易于計算。試驗表明，新方法有助于提高陀螺的尋北精度，試驗樣機在160 s 內的尋北精度優于0.02°(1σ).

1 任意二位置尋北模型

任意二位置尋北方法指在相差任意角度的2 個點位上對陀螺進行信號采集，進而解算方位角。尋北開始時，陀螺處于第1 個位置，待系統在這個位置完成信號采集后，通過力矩電機由轉位機構帶動尋北儀測量組件旋轉任意角度，并停止在此位置，完成信號在第2 個位置的信號采集。

設n 系(地理坐標系)為北西天坐標系，Oxn軸方向指北，Oyn軸方向指西，Ozn軸方向指天;b 系為載體坐標系，地理坐標系與載體坐標系之間的方位關系如圖1 所示。

初始時與地理坐標系重合，載體的姿態角α、θ、γ 分別為方位角、俯仰角和橫滾角，表示n 系先以角速度繞zn軸旋轉α 角到坐標系Ox1y1zn，然后再分別以角速度和繞y1和x1軸旋轉θ 和γ 角得到b系。其轉動關系為

圖1 地理坐標系與載體坐標系的相對關系Fig.1 The relative relationship between geographical and carrier coordinate systems

由圖1 及轉動關系可得地理坐標系到載體坐標系的轉換矩陣為

考慮陀螺常值漂移ε0和隨機漂移項ε，可得陀螺在初始位置的輸出為

即

考慮加速度計零偏ξ0和隨機漂移項ξ，同理可得加速度計在初始位置的輸出為

式中:ωnor和ωu分別為地球自轉角速度在n 系中的北向分量和天頂分量:ωnor=ωiecos φ、ωu=ωiesin φ，ωie為地球自轉角速度，φ 為當地緯度，g 為重力加速度。

待系統在初始位置完成信號采集后，通過力矩電機控制轉臺繞zb軸轉動任意角度μ，設在初始狀態下機械轉動系為m 系，與載體坐標系b 系重合，轉動后的機械轉動系為m1系，如圖2 所示。

圖2 機械轉動系m 與m1之間的方位關系Fig.2 The position relation between the machinery rotation m and m1

可得m 系到m1系的方向余弦矩陣為

則陀螺在m1系(位置2)的輸出為

故陀螺在位置2 測得的角速度為

同理得加速度計在位置2 的測量值為

把(1)式、(2)式與(6)式、(7)式分別對應相減并忽略陀螺隨機漂移可得

同理把(3)式、(4)式與(8)式、(9)式分別對應相減并忽略隨機漂移可得

這說明任意二位置尋北方法能夠有效消除陀螺常值漂移和加速度計零偏對尋北精度的影響，聯立(10)式、(11)式可解得方位角

下面討論3 種特殊情況:

1)θ=0°，γ=0°(水平狀態下):

2)μ=180°(對徑180°二位置測量，即傳統二位置法):

3)θ=0°，γ=0°且μ=180°(水平狀態下的傳統二位置法):

通過上述3 種特殊情況可以看出，傳統二位置尋北方法只是本文任意二位置尋北方法的一個特例，任意二位置尋北方法有著更加寬廣的應用范圍。在實際工作中，可靈活選擇2 個測量位置間的相位差，在消除陀螺常值漂移和加速度計零偏的同時縮短尋北時間。

2 小波閾值消噪方法

陀螺作為捷聯式尋北系統的核心器件，影響其工作精度的一個重要指標就是陀螺隨機漂移，一般認為，陀螺漂移是一弱非線性、非平穩、慢時變隨機過程［8］，且易受到外部環境等多種不確定因素的影響，無法建立其準確的數學模型，故需對陀螺信號進行有效地消噪處理以提高尋北精度。目前，對陀螺信號的消噪主要采用小波閾值消噪法［9-11］。

2.1 小波閾值消噪的基本原理

對一個迭加了高斯白噪聲的信號可表述為f(t)=s(t)+n(t)，式中:s(t)為真實信號;n(t)為方差σ2的高斯白噪聲，服從N(0，σ2)分布。對一維信號f(t)做離散小波變換后，由小波變換的線性性質可知，分解得到的小波系數ωj，k仍然由2 個部分組成:1)s(t)對應的小波系數。幅值較大，但其數目較少;2)噪聲(t)對應的小波系數。仍呈高斯分布，噪聲的能量比較均勻地分布在所有的小波系數上，幅值較小。因此在不同尺度上，可選取合適的閾值λ 對小波系數進行閾值量化處理。當ωj，k＜λ 時，認為此時的ωj，k主要由噪聲引起的;當ωj，k＞λ 時，認為此時的ωj，k主要由信號產生，最終實現信噪分離。因此，小波閾值去噪的過程可分為3 個步驟:

1)信號的小波分解:選擇一個小波并確定小波分解層數N，對信號進行N 層小波分解，得到一組小波系數ωj，k.

2)對高頻系數進行閾值量化:對于從1 ～N 的每一層，選擇一個閾值，并對每一層的高頻系數根據閾值函數進行閾值量化處理。

3)信號小波重構:根據小波分解的第N 層的低頻系數和經過閾值量化處理后的第1 ～N 層的高頻系數，進行信號的小波重構。

由此可見，閾值函數是影響離散小波閾值去噪效果重要的因素之一，它的性能直接關系到信號去噪的質量。由此，設計性能優良的閾值函數顯得尤為重要。

2.2 改進閾值函數模型

實際使用中，傳統的硬、軟閾值函數得到了較為廣泛的應用，也取得了不錯的效果，然而它們都存在著一些缺陷。硬閾值函數的不連續性使得去噪后的信號較之原信號偏差較大且仍然含有明顯的噪聲;軟閾值函數雖然連續性好，但估計小波系數與含噪信號的小波系數之間存在恒定的偏差，使得去噪后的信號方差過大，當噪聲信號很不規則時顯得過于光滑。基于此，本文提出了一種新的雙參數可調閾值函數

式中:α 為收縮系數，且0 ＜α ＜1;β 為調節因子，且為正整數。

新的閾值函數的連續性及高階可導是顯而易見的，且在|ωj，k| =λ附近存在一個比較平滑的過渡帶。重點討論新閾值函數如何解決軟閾值函數所存在的恒定偏差問題。當|ωj，k|→∞時;因此新閾值函數以直線=ωj，k為漸近線，克服了軟閾值函數中與ωj，k之間總是存在著恒定的偏差的缺點。此外，新閾值函數表達式簡單，無需分段取值。該閾值函數與其他閾值函數的不同主要體現在對低于給定閾值的小波系數的處理上。傳統的閾值函數是將絕對值小于閾值的小波系數全部置0，而改進閾值函數對這些系數做收縮處理，使它們遠遠小于其他系數，在一定程度上保留了真實信號。在新的閾值函數中，隨著收縮系數α 減小，由趨于0 收縮變為趨于ωj，k的轉折段越來越靠近閾值點，當α=0.1 時轉折段在閾值附近;隨著調節因子β 的增大，新閾值函數越逼近于硬閾值函數，計算量也相應增大。如圖3 所示給出了硬軟閾值函數與改進閾值函數的比較曲線示意圖，改進閾值函數中參數取α=0.1、β=6.

由圖3 可看出:在閾值附近，可使得閾值消噪以較為平滑的方式實現，較好地克服了軟硬閾值函數本身所存在的固有缺陷。

3 尋北實驗結果分析

用激光陀螺、高精度二自由度轉臺、穩壓電源、美國NI 公司生產的PXI-6259 多功能數據采集模塊、主控計算機和外圍電路等構成尋北原理樣機，結構組成框圖如圖4 所示。其中激光陀螺選用的是國防科技大學自主研制的90 型二頻機械抖動激光陀螺，陀螺的零偏穩定性和重復性均優于0.005°/h，隨機游走系數小于等于測量范圍-200 ～200°/s.

圖3 改進閾值函數與軟、硬閾值函數比較曲線Fig.3 Curves of improved threshold function and soft and hard threshold functions

3.1 任意二位置尋北方法的實驗驗證

實驗時，將激光陀螺安裝于高精度轉臺的正上方，確保陀螺敏感軸與臺面平行，通過轉臺的水平、傾斜傳感器使陀螺敏感軸嚴格調平，并嚴格按照操作規程完成陀螺的啟動、穩定和數據采集等工序。

圖4 尋北儀樣機結構組成框圖Fig.4 The block diagram of north finder prototype structure

尋北開始時，待系統通電2 min 陀螺輸出基本穩定后開始采集數據，采樣頻率200 Hz，陀螺在位置1(初始位置)采集10 s 數據后控制轉臺旋轉30°，靜置10 s 后采集10 s 陀螺在位置2 的輸出數據;而后再控制轉臺旋轉30°，采集10 s 陀螺在位置3的輸出數據;如此轉臺每次旋轉30°共采集陀螺8 個位置的輸出數據，因此相對于初始位置(位置1)通過任意二位置方法可以解算出初始位置的7 個方位角值。

對上述步驟進行7 次重復性尋北實驗，尋北重復性是指在同一位置多次進行尋北計算其結果的近似程度，如果系統的重復性好，則表明系統穩定性和抗干擾能力強。7 次實驗激光陀螺敏感軸的輸出數值結果(每次取均值)如表1 所示。

表1 激光陀螺重復性實驗輸出數據Tab.1 The output data of laser gyro repetitive experiments

將表1 中的實測實驗數據和相應的旋轉角度μ代入(15)式，計算出7 次尋北實驗結果，并用德國的GYROMAX-2000 測得的北向值作為真實方位角，實驗測得激光陀螺的真實方位角為75.086 32°. 計算出各相差下的均方根誤差(含系統誤差)用以評價尋北精度，結果如表2 所示。

表2 激光陀螺任意二位置尋北結果Tab.2 The north finding results of laser gyro in arbitrary two positions

為更加直觀地對比不同相差下的任意二位置尋北結果，給出了不同相差下的7 次尋北結果均方根誤差分布曲線，如圖5 所示。

圖5 不同相差下的7 次尋北結果均方根誤差分布曲線Fig.5 RMSE distribution curves of seven north finding results in different phases

從表2 和圖5 可以看出，激光陀螺的初始方位角約為75°;相對于初始位置，在不同轉角下的任意二位置尋北結果的尋北精度均較高，全部都在0.12°以下，特別是相差60°下的均方根誤差值還要優于180°對徑的情況;隨著轉角的增大，轉臺轉動時間加大，進而尋北時間增長。

3.2 小波閾值消噪的實驗驗證

前面進行了任意二位置尋北方法的實驗驗證，從實驗結果可以看出本次實驗在相差60°下的尋北結果最好且僅需160 s 的尋北時間，下面針對相差60°下的7 次尋北實驗數據，分別采取小波硬閾值、軟閾值和改進閾值函數對陀螺輸出信號進行消噪處理后再進行方位角解算。在進行小波分解時，選取db4 小波基，分解層數取4，閾值取固定閾值λ =其中σ 為噪聲標準方差，N 為信號的尺寸或長度，改進閾值函數消噪時取α =0.05、β =4，α=0.1、β=6 和α=0.2、β=5 三種模式。圖6 所示為截取陀螺10 s 輸出數據應用不同閾值函數消噪后的比較曲線。

由圖6 可看出，硬閾值函數去噪后波形存在較多的振蕩點，這是由于其不連續造成的;軟閾值函數去噪后波形雖然較為光滑，但由于恒定偏差的影響，信號重構的精度較差;改進閾值函數能同時克服軟硬閾值函數存在的缺陷，去噪后信號波形較為光滑，通過調整雙參數α、β 可以得到很好的去噪效果，具有較高的實用價值。如表3 所示為應用不同閾值函數對陀螺輸出數據進行消噪后解算得到的尋北結果。

分析結果可知:基于3 種閾值函數的小波閾值消噪方法均具有削弱陀螺漂移、減小尋北誤差的能力;3 種參數選取模式下的改進閾值函數的尋北結果均優于傳統軟硬閾值函數的尋北結果，這是由于硬閾值函數的不連續和軟閾值函數存在恒定偏差引起的;改進閾值函數中參數α、β 的選取將直接影響陀螺信號的消噪效果，針對不同數據如何獲取最優的參數值是一個值得研究的方向;去噪后尋北儀樣機的均方根誤差值達到了優于0.02°(160 s)的尋北精度。

圖6 不同閾值函數的消噪比較曲線Fig.6 The denoising curves of different threshold functions

表3 不同閾值函數消噪后的尋北結果Tab.3 The results of north finding by different denoising threshold functions

4 結論

1)文中任意二位置陀螺尋北方法可在任意2 個位置上對陀螺信號進行采集解算方位角，在消除陀螺常值漂移和加速度計零偏的同時在一定程度上縮短尋北時間，傳統二位置尋北方法是其特例。

2)改進閾值函數具有雙參可調性，表達式簡單，無需分段取值易于計算，可同時克服軟硬閾值函數的不足，且具有優越的數學特性，能夠有效去除陀螺輸出信號的噪聲，顯著提高尋北精度。

3)樣機測試數據表明，采用任意二位置方法研制的尋北儀去噪后在160 s 內的尋北精度優于0.02°.

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