空氣動力非對稱彈丸大攻角旋轉共振運動研究及應用

舒敬榮，張繼春，常思江

(1.陸軍軍官學院 二系，安徽 合肥230031;2.南京理工大學 能源與動力工程學院，江蘇 南京210094)

0 引言

在實踐中，由于制造誤差、材料不均等原因，彈丸通常不是嚴格對稱的。為了避免非對稱因素在某一固定方向上作用于彈丸導致攻角增大、形成彈道偏差，即使是尾翼彈一般也低速旋轉，使非對稱因素的作用方位不斷改變，前后的影響相互抵消。但此時，由于彈丸旋轉，非對稱因素的作用方位不斷改變，結果形成對彈丸角運動的周期性強迫干擾，如果轉速選擇不恰當，這種干擾就會使彈丸產生通常情況下需要努力避免的所謂旋轉共振運動［1］，從而使攻角變大，甚至導致運動不穩。但另一方面，有些彈藥則需要利用這種非對稱產生的大攻角以獲得某種特定運動姿態，如國外已裝備的無傘末敏彈［2-3］，就利用空氣動力非對稱形成子彈縱軸相對于速度矢量一定角度的旋轉運動，從而在目標區域完成螺旋狀掃描。此時，既要保證這種非對稱性的存在，以使彈丸形成特定形式的運動，又要避免攻角發散增大，導致運動不穩，因此，需要探討彈丸利用空氣非對稱形成穩定旋轉共振狀態的條件。

1 坐標系的建立與坐標轉換矩陣

除按普通外彈道學［1］在炮口中心建立地面坐標系Ox0y0z0、在彈體質心C 建立彈體基準坐標系Cx0y0z0外，還須建立彈體固連坐標系Cxyz. 縱軸Cx在圓柱彈體的對稱面內且指向彈頂方向(如果坐標原點不在對稱面上，則Cx 平行于對稱面);法線軸Cy 位于彈體對稱面內或者位于平行于對稱面的平面內;橫軸Cz 由右手定則確定。

如圖1 所示，Cxyz 系可由Cx0y0z0系經3 次旋轉得到，所以，由Cx0y0z0系向Cxyz 系轉換的坐標轉換矩陣為

圖1 Cx0y0z0 系與Cxyz 系之間的關系Fig.1 The relationship between coordinate system Cx0y0z0 and Cxyz

2 空氣動力非對稱彈丸受力分析

2.1 彈丸受到的力

將力和力矩表達到Cxyz 系中。

2.1.1 重力G

式中:m 為彈丸質量;gx、gy和gz為重力加速度在Cx、Cy、Cz 三個方向的分量;g 為重力加速度。

2.1.2 空氣動力R

式中:q=ρv2/2 為速度頭，其中v 為彈丸相對空氣的速度，ρ 為空氣密度;S 為彈丸特征面積;分別為軸向力系數、法向力系數導數和側向力系數導數;α 為攻角;β 為側滑角。

2.2 彈丸受到的力矩

2.2.1 空氣動力穩定力矩M

2.2.2 空氣動力阻尼力矩MD

2.2.3 馬格努斯力矩MMa

2.2.4 非對稱空氣動力矩M0

式中:mx0、my0和mz0為Cx、Cy、Cz 三個方向的非對稱空氣動力矩系數。

如圖2 所示，M0由空氣動力對稱軸(零升力軸)在固連坐標系里轉過αa、βa角來確定。其中:為由空氣動力非對稱性確定的平衡攻角;βa= -my0/為平衡側滑角。力矩M0沿Cx 軸的分量為qSlmx0，它既可是隨機的，也可是由故意制造的外形不對稱所產生的，例如由不對稱的尾翼(如單側翼)產生的。

圖2 壓心與固連坐標系Cxyz 的關系Fig.2 The relationship between center of pressure and coordinate system Cxyz

2.2.5 壓力中心偏離固連坐標系Cx 軸產生的力矩MΔ

如圖2 所示，設壓力中心偏離固連坐標系Cxyz的Cxz 平面Δy，偏離Cxy 平面Δz，則

3 空氣動力非對稱彈丸運動微分方程

將力的表達式代入動量定理，將力矩表達式代入動量矩定理，投影到Cxyz 中，得質心運動和繞心運動微分方程組為

式中:I 為彈丸繞赤道軸的轉動慣量;Ixx為彈丸繞極軸Cx 的轉動慣量;vx、vy、vz為彈丸的速度在Cxyz 中的3 個分量。考慮到橫向角速度ωy、ωz為小量，式中略去了ωyωz項。

4 攻角方程

近似取

對(11)式微分得

將(11)式代入(8)式第1 式得

將(13)式代入(12)式得

將(8)式的第2 式和第3 式兩邊同時除以vx，并考慮到(11)式、(14)式，經變換后略去含α2、αβ 和β2的項并取vx≈v 得

將(15)式第2 式乘以i 加上第1 式，并令g⊥=gy+igz得復數方程

將(16)式對時間取微分得

將(16)式和(17)式代入(10)式并整理得

式中:

式中:ωc為彈丸俯仰和偏航角運動的頻率［1］，

ωkp為臨界傾斜角速度，

5 旋轉共振狀態的研究

5.1 旋轉共振狀態的產生及定性分析

(18)式描述攻角δ 的變化規律，為了定性分析此方程的穩態解，認為它的系數在所研究的時間間隔內近似為常數，則其通解有如下形式［4］:

式中:ρ1與ρ2為與起始條件有關的復常數;

為特征方程的根;δσ為攻角的穩定平衡值，顯然δσ=k3/k2，將(20)式和(21)式代入得

則復攻角的模為

從(34)式可見，攻角與λ 的大小有關，也即與彈丸繞縱軸的角速度ωx與臨界角速度ωkp之比有關。顯然，當(1 -λ2+Δλ)2+μ2λ2取最小值時|δσ|取最大值。用求極值的方法可得:

一般情況下αg和βg都很小，可以取αg=βg=0，且考慮到通常μ?1，應用近似關系μ2=0 則得

由(35)式知，|δσ|max正比于而μ 值主要與彈丸的阻尼力矩系數有關，通常很小，所以|δσ|max的值可以大大超過激勵它的弱非對稱性(δ0)，因此將這種狀態稱為旋轉共振狀態。由(25)式知Δλ?1，所以極大值條件即為λ≈±1，即ωx≈ωkp. 這說明，當彈丸繞縱軸的旋轉角速度與臨界角速度相等時，彈丸的攻角達到極大值，彈丸發生共振。

在彈丸進入旋轉共振狀態時，攻角的大小發生劇變(一般變得很大)，角運動的特征也將發生本質的變化。為了進行定性分析，將k 和k2最大程度簡化，只考慮彈丸繞縱軸的旋轉對攻角變化的影響，即忽略(19)式和(20)式中有關軸向力、法向力、重力、阻尼力矩和馬格努斯力矩的項，此時k1= i(2 -IxxI-1)ωx，k2=(1 -λ2).

由(32)式得特征方程的根如下:

由(31)式知此時有

圖3 旋轉共振時的攻角和側滑角Fig.3 The angle of attack and sideslip angle in spin resonance movement

可見，在旋轉共振狀態，攻角由常值項(δσ+ρ1)和具有單一頻率|λ2|的圓運動ρ2eλ2t疊加而成，通過一定的設計，可使圓運動的幅值很小且不發散［1］。此時，如圖3 所示，速度矢量(點A)以及阻力面在固連坐標系Cxyz 中的位置就象是固定了一樣。由于固連坐標系本身又以角速度ω 旋轉，故這種形式的運動相應于子彈縱軸繞速度矢量作圓錐運動(精確到ρ2)［5-6］，當子彈質心接近于鉛直降落時，子彈縱軸(通常帶有敏感器)就實現了所需形式的掃描運動，如圖4 所示。

圖4 旋轉共振時非對稱彈的掃描運動Fig.4 The scanning motion of asymmetric projectile in spin resonance movement

5.2 旋轉共振狀態的穩定性

ωx=ωkp只是共振的必要條件，不是充分條件，因為ωx一般都是從0 連續地增加，ωx=ωkp時間很短。但如果在發生共振的同時，角速度的“重合”保持很長一段時間，即ωx=ωkp維持很長一段時間，則就會產生很大的平衡攻角。此時就說彈丸發生了穩定的旋轉共振。下面研究產生穩定旋轉共振狀態的條件。

在僅有空氣動力非對稱的情況下，(18)式和(9)式的第1 個方程可以寫成如下形式:

式中:

為簡單起見，以空氣動力對稱軸與Cxz 平面共面但非對稱為例。此時Δy =αa=0，Δz≠0，βa≠0，從而α0=0，對α 和β 求解(38)式得

對λ 求解方程F1(λ)=F2(λ)得

將所得到的實根λj代入β 和α 的(39)式中即可求得(37)式的各個奇點。

根據系數不同，(40)式可以有1 ～5 個根，故(37)式的奇點數也是相應可變的。圖5 表明系統(37)式存在與λj(j =1，2，3)相應的3 個奇點的情況。

圖5 系統(37)式有3 個奇點的情況Fig.5 The situation when Eq. (37)has 3 singularities

實際上，從(39)式(取αg=βg=0)可看出，函數F2(λ)是斜率取決于非對稱參數Δz 的單參數直線簇。還可看出，不論Δz 為多少，F2(λ)所決定的直線簇均通過點。圖5 中繪出了F1(λ)曲線及分別和F1(λ)曲線相切、相交的并與Δz1、Δz2、Δz3(Δz1＜Δz2＜Δz3)相應的3 條直線F2(λ).顯然，Δz1、Δz3是參數Δz 的分叉值，與F1(λ)和F2(λ)相切相對應。由文獻［7］知，穩定的旋轉共振狀態由位于共振峰內側的穩定奇點①確定。

圖6 說明了在用斜置尾翼使彈丸繞縱軸旋轉的情況下，非對稱彈丸在穩定旋轉共振狀態時的“自轉閉鎖”效應。如果彈丸的傾斜運動與俯仰、偏航運動不相互作用，則ωx的穩定值要大大超過ωkp(曲線Ⅰ)。由于運動相互作用，當在尾翼導轉力矩作用下ωx達到臨界值ωkp時攻角和側滑角就共振增大。于是產生了傾斜非對稱力矩MΔ=α，此力矩與斜置尾翼產生的力矩方向相反，從而使ωx減小(曲線Ⅱ的第1 段);在ωx遠離臨界值ωkp后(曲線Ⅱ的第2 段)，攻角減小，而尾翼導轉力矩又開始增大ωx一直到臨界值ωkp，然后重復以上過程。

圖6 用斜置尾翼導轉時非對稱彈的“自轉閉鎖”Fig.6 The spin lock-in of asymmetric projectile when canted fin induces spin

因此，在輕微非對稱力矩作用下，彈丸俯仰、偏航和傾斜運動相互作用導致共振條件(即ωx≈ωkp)在長時間里被“保持”。這種穩定的旋轉共振狀態(即圖6 中的曲線Ⅱ)就意味著相軌線落入了決定共振的穩定奇點①的吸引域中。

6 應用算例

根據以上分析，設計了一個空氣動力非對稱彈體，取空氣動力非對稱確定的平衡攻角αa=5°;平衡側滑角βa=12°，壓心偏離質心Δz =0.005 m，采用文獻［8］模型計算得攻角的變化如圖7 所示。

圖7 某空氣動力非對稱彈丸的攻角變化規律Fig.7 The change rule of angle of attack for a certain aerodynamic asymmetric projectile

從圖7 可以看出，攻角在約30°處達到穩定。若此時該彈體鉛直下降，顯然其彈軸就可實現如圖4 所示的掃描運動。

7 結論

1)為了保證彈丸以很大的攻角共振旋轉，必須滿足:彈丸自身的空氣動力參數等以及非對稱參數Δy、Δz、αa、βa的組合使得(37)式存在決定共振的穩定奇點;彈丸運動的起始條件應使相軌線落入決定共振的穩定奇點的吸引域內。

2)影響穩定大攻角旋轉共振運動的參數較多，這些參數對產生穩定旋轉共振運動的影響程度各不相同，且若取值不當，可能導致攻角運動發散。因此，各參數的取值范圍及不同參數對旋轉共振運動特性的影響規律應是深化該項研究工作的重要內容之一。

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