噪聲調(diào)頻連續(xù)波的統(tǒng)計(jì)主旁瓣比

翁曉明，顧紅，蘇衛(wèi)民

(南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京210094)

0 引言

隨機(jī)噪聲連續(xù)波雷達(dá)以隨機(jī)噪聲連續(xù)波作為雷達(dá)發(fā)射信號。其中以白噪聲調(diào)頻產(chǎn)生的噪聲調(diào)頻連續(xù)波(NFMCW)是隨機(jī)噪聲連續(xù)波的一種，其擁有一些優(yōu)良的性能，包括:1)NFMCW 本身為隨機(jī)信號，其電子反對抗能力(ECCM)及抗干擾能力均較強(qiáng);2)NFMCW 沒有重復(fù)周期，不存在測距測速模糊;3)NFMCW 具有“圖釘型”的模糊函數(shù)，保證了不存在測距測速耦合;4)NFMCW 采用連續(xù)波體制，在信號能量不變的情況下，相比脈沖體制雷達(dá)其峰值功率更低，因此具有低截獲概率(LPI)性能［1-3］;5)采用調(diào)制方式使得NFMCW 信號功率僅與載波有關(guān)，峰均功率比(PAPR)較低。近些年，隨機(jī)噪聲連續(xù)波雷達(dá)被應(yīng)用于運(yùn)動目標(biāo)檢測、穿墻成像、探地成像、合成孔徑雷達(dá)(SAR)等諸多領(lǐng)域［4-6］。

NFMCW 在一定參數(shù)下可以具有高斯型的功率譜密度，則其點(diǎn)散布函數(shù)也為高斯函數(shù)。高斯函數(shù)為一個(gè)單瓣函數(shù)，理論上僅存在單一主瓣且不存在旁瓣，但是在實(shí)際工程中，由于相關(guān)時(shí)長必然有限，NFMCW 的脈壓輸出存在表現(xiàn)為均勻噪聲基底的隨機(jī)旁瓣。文獻(xiàn)［7 -8］通過仿真實(shí)驗(yàn)指出NFMCW的峰值旁瓣比(PSLR)與積分旁瓣比(ISLR)與相關(guān)長度呈正比，但沒有給出明確表達(dá)式。文獻(xiàn)［9-10］給出了NFMCW 的PSLR 表達(dá)式，認(rèn)為其等于相關(guān)點(diǎn)數(shù)，但是其也僅考慮了相關(guān)點(diǎn)數(shù)的影響，沒有指出各個(gè)波形參量對于PSLR 的影響。本文通過對NFMCW 脈壓輸出旁瓣的概率分布及1 階和2 階統(tǒng)計(jì)量的研究，給出了統(tǒng)計(jì)意義下的NFMCW 脈壓輸出的PSLR 及ISLR的準(zhǔn)確數(shù)學(xué)表達(dá)式，表明了PSLR 及ISLR 與相關(guān)時(shí)長、有效調(diào)制帶寬以及多普勒頻率之間的關(guān)系，通過Monte-Carlo 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了推導(dǎo)結(jié)果的正確性。

1 信號及脈壓模型

NFWCW 發(fā)射信號的時(shí)域復(fù)數(shù)形式表達(dá)式為

式中:A 為信號幅度;f0為載波頻率;θ(t)為信號相位，表達(dá)式為

式中:Kfm為調(diào)制斜率;u(x)為0 均值的廣義平穩(wěn)窄帶高斯白噪聲，其概率密度函數(shù)(PDF)

式中:ΔFu為功率譜帶寬。

式中:fde= Kfmσu為有效調(diào)制帶寬。由Wiener-Khinchine 定理，基帶NFMCW 的PSD 傅里葉逆變換(IFT)為其自相關(guān)函數(shù)

假設(shè)存在單點(diǎn)目標(biāo)，距離為R0，速度為v，且滿足fdeTi?c/2v，其中Ti為相關(guān)時(shí)長，c 為光速，則認(rèn)為在一個(gè)相關(guān)時(shí)長內(nèi)目標(biāo)速度與距離不發(fā)生顯著變化，則NFMCW 的回波信號

式中:τ0=2R0/c 為雙程延遲;fd=2vf0/c 為多普勒頻率。NFMCW 的脈壓輸出結(jié)果等于回波信號與發(fā)射信號的互相關(guān)

式中:(·)*為復(fù)共軛。令τ =k/fs、τ0=k0/fs、t =n/fs，其中k、k0、n 均為整數(shù)，代入(8)式得到離散形式的互相關(guān)表達(dá)式:

式中:fs為復(fù)采樣頻率;N=fsTi為相關(guān)總點(diǎn)數(shù)。

2 峰值旁瓣比

由(9)式可知，當(dāng)k =k0時(shí)，R(k)為脈壓輸出峰值，則

對于速度一定的目標(biāo)，由于調(diào)頻信號功率恒定，(10)式為確定值。當(dāng)k≠k0時(shí)，R(k)為脈壓輸出旁瓣，其為0 均值的隨機(jī)變量，方差

式中:E(·)為取均值。

當(dāng)n1=n2=n 時(shí)，由(11)式得到

當(dāng)n1≠n2時(shí)，(11)式的值與s(n1-k)和s(n2-k)的相關(guān)程度有關(guān)。設(shè)Tc為NFMCW 自相關(guān)函數(shù)的主瓣時(shí)寬，由于(6)式為一高斯函數(shù)，其在τ =±1/(πfde)處的函數(shù)值比τ = 0 處峰值下降約17.4 dB，則近似認(rèn)為主瓣時(shí)寬

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義，Tc/2 可表示隨機(jī)過程任意二點(diǎn)互不相關(guān)的最小時(shí)間間隔。信號的采樣間隔為1/fs，則認(rèn)為當(dāng)1/fs＞Tc/2 時(shí)，相鄰采樣點(diǎn)互不相關(guān)，當(dāng)1/fs＜Tc/2 時(shí)，相鄰采樣點(diǎn)相關(guān)。因此定義過采樣因子

對于較窄的高斯函數(shù)近似認(rèn)為其為Fejer 窗函數(shù)，即隨著Δn = | n1- n2| 的增大，s(n1- k)與s(n2-k)的相關(guān)程度呈線性遞減。即當(dāng)Δn≥α 時(shí)，(11)式的值為0，當(dāng)0 ＜Δn ＜α 時(shí)，(11)式的值為

設(shè)某一距離門內(nèi)的脈壓旁瓣S =Sr+jSi，其中Sr和Si分別為旁瓣的實(shí)部和虛部。(9)式可看成一個(gè)隨機(jī)噪聲信號sran(t)通過一個(gè)窄帶線性濾波器h(t)=s*(-t)，則Sr和Si為相互獨(dú)立且均服從高斯分布的隨機(jī)變量［12］，且由(16)式得到Sr與Si的方差令κ= |S|2/，則可知κ 服從自由度為2 的χ2分布，其PDF 為

如圖1 所示，NFMCW 在相關(guān)時(shí)長Ti=10 μs、有效調(diào)制帶寬fde=4.5 MHz 時(shí)，對于靜止目標(biāo)的脈壓輸出旁瓣取模平方幅度的統(tǒng)計(jì)直方圖，并與理論P(yáng)DF 曲線做了對比。

根據(jù)χ2分布上側(cè)分位點(diǎn)的定義，得到

圖1 NFMCW 脈壓輸出旁瓣取模平方幅度的統(tǒng)計(jì)直方圖Fig.1 Histogram of sidelobe modulus squared amplitude of NFMCW matched filter output

式中:max(·)為取最大值。綜合(16)式和(19)式，得到NFMCW 的PSLR 表達(dá)式:

綜上，NFMCW 的PSLR 與相關(guān)時(shí)長Ti、有效調(diào)制帶寬fde及多普勒頻率fd有關(guān)。若目標(biāo)靜止(fd=0)、不存在過采樣(α = 1)并忽略旁瓣隨機(jī)起伏時(shí)，NFMCW 的PSLR=10lg (N)，其隨著N 的增加而線性增加，與文獻(xiàn)［7，9］結(jié)論相同。由于旁瓣幅度的隨機(jī)性，單次脈壓樣本的旁瓣最大值比平均值提高了約6.64 dB. 另由(5)式可知，NFMCW 的PSD 為高斯函數(shù)，其-9 dB 帶寬約等于4fde. 根據(jù)Nyquist采樣定理，若滿足fs≥4fde，則由(14)式得到α ＞1，可知一般均有PSLR ＜10lg (N).

3 積分旁瓣比

由(6)式可知，NFMCW 具有單瓣的高斯型自相關(guān)函數(shù)，其主瓣的積分區(qū)間時(shí)長等于(13)式的主瓣時(shí)寬Tc. 又由(10)式，多普勒頻率僅影響主瓣幅度，對主瓣形狀沒有影響。根據(jù)高斯函數(shù)性質(zhì)，NFMCW 的脈壓輸出的主瓣能量

假設(shè)旁瓣積分區(qū)間時(shí)長為Ts，且滿足Ts＜Ti.由(16)式可知，NFMCW 的旁瓣幅度與其所在位置無關(guān)，則在Ts內(nèi)NFMCW 脈壓輸出的平均旁瓣能量

由(21)式～(22)式得到NFMCW 的ISLR 表達(dá)式:

綜上，NFMCW 的ISLR 與相關(guān)時(shí)長Ti、旁瓣積分區(qū)間時(shí)長Ts及多普勒頻率fd有關(guān)，與有效調(diào)制帶寬fde無關(guān)。假設(shè)目標(biāo)靜止(fd=0)且不存在過采樣(α=1)時(shí)，若認(rèn)為則NFMCW 的ISLR≈10lg(Ti/Ts)，在旁瓣積分區(qū)間時(shí)長Ts不變的情況下，其隨著相關(guān)時(shí)長Ti的增加而線性增加，與文獻(xiàn)［8 -9］結(jié)論一致。同時(shí)注意到，ISLR 隨著旁瓣積分區(qū)間時(shí)長Ts的減小而線性增加，表明NFMCW 脈壓輸出的旁瓣能量均勻分布在非目標(biāo)所在距離門，減小旁瓣積分區(qū)間時(shí)長可以提高ISLR.

4 仿真與分析

以下仿真給出不同參數(shù)下NFMCW 脈壓輸出的PSLR 及ISLR，并與理論值進(jìn)行對比。仿真的NFMCW脈壓輸出波形均通過匹配濾波獲得，仿真復(fù)采樣頻率fs取100 MHz，旁瓣積分區(qū)間時(shí)長Ts取10 μs.

如圖2 所示，給出了在目標(biāo)的多普勒頻率fd取0 kHz、相關(guān)時(shí)長Ti取10 μs、有效調(diào)制帶寬fde取4.5 MHz時(shí)，NFMCW 的單次脈壓輸出波形與通過1 000 次Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)得到的平均脈壓輸出波形的比較。

由圖2 可見，由于χ2分布的中位數(shù)約等于其均值減去NFMCW 的大部分隨機(jī)起伏的旁瓣幅值小于其均值，旁瓣幅度與所在位置無關(guān)，單次脈壓樣本中出現(xiàn)的最大旁瓣幅值比均值約高6.6 dB，與前文分析一致。

如圖3 所示，給出了多普勒頻率fd取0 kHz，相關(guān)時(shí)長Ti取10 μs，有效調(diào)制帶寬fde取4.5 MHz、6.4 MHz、10.6 MHz、31.8 MHz，即對應(yīng)過采樣因子α分別取7、5、3、1 時(shí)，通過1 000 次Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)得到的NFMCW 平均脈壓輸出波形。

圖2 NFMCW 單次脈壓樣本與平均脈壓輸出波形的比較Fig.2 Comparison of NFMCW matched filter outputs between single sample and average result

圖3 不同fde(α)時(shí)NFMCW 的平均脈壓輸出波形Fig.3 Average matched filter outputs of NFMCW with fde(α)

由圖3 可知，隨著有效調(diào)制帶寬的增加，脈壓輸出的主瓣幅度不變，寬度減小，旁瓣幅度減小。且注意到，當(dāng)α=1 時(shí)，由于fs=πfde＜4fde，實(shí)際上存在一定欠采樣，因此可以看到脈壓輸出波形并非理想的高斯函數(shù)。

如表1 所示，給出了對應(yīng)于圖3 的PSLR 與ISLR的仿真及理論值。對比可知，仿真與理論值基本吻合，誤差在1 dB 以內(nèi)，誤差主要來自(13)式對于自相關(guān)函數(shù)主瓣時(shí)寬的估計(jì)及(15)式的近似處理。綜上可知，增加有效調(diào)制帶寬可顯著提高PSLR，但幾乎無法改善ISLR.

表1 不同fde時(shí)NFMCW 的PSLR 與ISLRTab.1 PSLRs and ISLRs of NFMCW with fde

由(10)式可知，NFMCW 最大可測的多普勒頻率fmax=1/Ti，令歸一化多普勒頻率F =fd/fmax. 如圖4 所示，有效調(diào)制帶寬fde取4.5 MHz、相關(guān)時(shí)長Ti取10 μs、多普勒頻率fd取0 kHz、30 kHz、60 kHz、90 kHz 時(shí)，即對應(yīng)F 取0、0.3、0.6、0.9 時(shí)，通過1 000 次Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)得到的NFMCW 平均脈壓輸出波形。由圖4 可知，隨著多普勒頻率的增加，脈壓輸出主瓣幅度減小，旁瓣幅度不變。

圖4 不同fd(F)時(shí)NFMCW 的平均脈壓輸出波形Fig.4 Average matched filter outputs of NFMCW with fd(F)

如表2 所示，給出了對應(yīng)于圖4 的PSLR 及ISLR的仿真及理論值。對比可知，仿真與理論值基本吻合。注意到，當(dāng)fd=90 kHz 時(shí)，主瓣幅度已經(jīng)低于旁瓣最大幅度，已無法檢測出目標(biāo)。多普勒頻率的增大使得PSLR 及ISLR 均減小，表明NFMCW 為多普勒敏感信號，其多普勒容限與非調(diào)制噪聲信號相同，略優(yōu)于偽隨機(jī)碼調(diào)相信號［12-13］。

表2 不同fd 時(shí)NFMCW 的PSLR 與ISLRTab.2 PSLRs and ISLRs of NFMCW with fd

如圖5 所示，給出了在目標(biāo)多普勒頻率fd取0、信號有效調(diào)制帶寬fde取4.5 MHz、Ti取10 μs、20 μs、30 μs、40 μs 時(shí)，即對應(yīng)相關(guān)點(diǎn)數(shù)N 取1 000、2 000、3 000、4 000 時(shí)，通過1 000 次Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)得到的NFMCW 平均脈壓輸出波形。

圖5 不同Ti(N)時(shí)NFMCW 的平均脈壓輸出波形Fig.5 Average matched filter outputs of NFMCW with Ti(N)

由圖5 可知，隨著相關(guān)時(shí)長的增加，脈壓輸出的主瓣與旁瓣幅度均提高，主瓣幅度的提高程度要高于旁瓣，因此對于PSLR 及ISLR 均有改善。

如表3 所示，給出了對應(yīng)于圖5 的PSLR 與ISLR 的仿真及理論值。對比可知，仿真與理論值基本吻合，相關(guān)時(shí)長的增加使得PSLR、ISLR 均得到提高。需要注意的是，增加相關(guān)時(shí)長會降低最大可測的多普勒頻率，同時(shí)增加由于多普勒敏感帶來的主瓣幅度的損失。

表3 不同Ti時(shí)NFMCW 的PSLR 與ISLRTab.3 PSLRs and ISLRs of NFMCW with Ti

5 結(jié)論

通過對NFMCW 脈壓輸出旁瓣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律研究，推導(dǎo)了NFMCW 脈壓輸出波形PSLR 及ISLR 的精確數(shù)學(xué)表達(dá)式。結(jié)果表明PSLR 與相關(guān)時(shí)長、有效調(diào)制帶寬以及多普勒頻率均有關(guān)，而ISLR 僅與相關(guān)時(shí)長及多普勒頻率有關(guān)。主旁瓣比是NFMCW 波形設(shè)計(jì)中較為重要的設(shè)計(jì)指標(biāo)之一。當(dāng)目標(biāo)多普勒頻率范圍已知時(shí)，可以(20)式和(23)式為參考依據(jù)，通過調(diào)整相關(guān)時(shí)長、有效調(diào)制帶寬等波形參量，最大限度地提高NFMCW 主旁瓣比以達(dá)到可靠檢測目標(biāo)的目的。Monte-Carlo 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了推導(dǎo)結(jié)果的正確性。

References)

［1］Liu G S，Gu H，Su W M，et al. Random signal radar—a winner in both the military and civilian operating environments［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2003，39(2):489 -498.

［2］Thayaparan T，Dakovic M，Stankovic L. Mutual interference and low probability of interception capabilities of noise radar［J］. IET Radar，Sonar and Navigation，2008，2(4):294 -305.

［3］Govoni M A，Li H B，Kosinski J A. Range-Doppler resolution of the linear-FM noise radar waveform［J］. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2013，49(1):658 -664.

［4］Malanowski M，Kulpa K. Detection of moving targets with continuous-wave noise radar:theory and measurements［J］. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2012，50(9):3502-3509.

［5］Chen P H，Shastry M C，Lai C P，et al. A portable real-time digital noise radar system for through-the-wall imaging［J］. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，2012，50(10):4123 -4134.

［6］Tarchi D，Lukin K A，F(xiàn)ortuny G J. SAR imaging with noise radar［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2010，46(3):1214 -1225.

［7］張先義，蘇衛(wèi)民，顧紅. 隨機(jī)噪聲超寬帶雷達(dá)信號性能分析［J］.兵工學(xué)報(bào)，2007，28(5):557 -560.ZHANG Xian-yi，SU Wei-min，GU Hong. Performance analysis for random noise ultra-wideband radar signal ［J］. Acta Armamentarii，2007，28(5):557 -560. (in Chinese)

［8］武昕，李澍，劉暢，等. 基于特征參數(shù)的隨機(jī)噪聲雷達(dá)相關(guān)輸出研究［J］. 電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2012，27(3):543 -550.WU Xin，LI Shu，LIU Chang，et al. Correlation output of noise radar based on characteristic parameters［J］. Chinese Journal of Radio Science，2012，27(3):543 -550. (in Chinese)

［9］高許崗，蘇衛(wèi)民，顧紅. 隨機(jī)噪聲連續(xù)波SAR 的性能分析［J］. 電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2010，25(1):47 -51.GAO Xu-gang，SU Wei-min，GU Hong. Performance analysis of random noise CW SAR［J］. Chinese Journal of Radio Science，2010，25(1):47 -51. (in Chinese)

［10］Axelsson S R J. Noise radar using random phase and frequency modulation［J］. IEEE Transactions on Geo-science and Remote Sensing，2004，42(11):2370 -2384.

［11］趙國慶. 雷達(dá)對抗原理［M］. 西安:西安電子科技大學(xué)出版社，1999:141 -152.ZHAO Guo-qing. Radar countermeasure principle［M］. Xi’an:Xi’an Electronic and Science University Press，1999:141 -152. (in Chinese)

［12］程院兵，張衛(wèi)，顧紅，等. 噪聲連續(xù)波雷達(dá)脈壓輸出主旁瓣比推到與分析［J］. 兵工學(xué)報(bào)，2012，33(1):1 -6.CHENG Yuan-bing，ZHANG Wei，GU Hong，et al. Derivation and analysis of mainlobe to sidelobe ratio after pulse compression in noise continuous wave radar［J］. Acta Armamentarii，2012，33(1):1 -6. (in Chinese)

［13］陳金立，顧紅，蘇衛(wèi)民. 偽碼調(diào)相連續(xù)波雷達(dá)的脈壓主旁瓣比數(shù)學(xué)分析［J］. 兵工學(xué)報(bào)，2008，29(10):1203 -1209.CHEN Jin-li，GU Hong，SU Wei-min. Mathematical analysis of main-to-sidelobe ratio after the pulse compression in pseudorandom code phase modulation continuous wave radar［J］.Acta Armamentarii，2008，29(10):1203 -1209. (in Chinese)