是誰把數學推向了深淵？

曹廣福

數學史上爭吵的事情層出不窮，有些爭論甚至鬧出了人命，√2讓喜歡多嘴的小伙子希帕索斯喪了命，被畢達哥拉斯學派的人裝進袋子扔進了大海。這可能是數學史上最血腥的一樁公案。

無窮小的出現讓數學家們鬧成了一鍋粥，地位尊崇的大主教貝克萊把牛頓的“流數”攻擊得體無完膚，稱之為“已死量的幽靈”，因為在牛頓的文章中，這個“幽靈”一會兒是0，消失了，一會兒又不知從什么地方冒了出來。貝克萊的抨擊把性格靦腆的牛頓嚇得噤若寒蟬，如果不是朋友的再三勸說，估計很多著作都不會面世。貝克萊的悖論也是對形式邏輯的一次有力的打擊，貝克萊問“無窮小量究竟是否為0？”就無窮小量在當時實際應用而言，它既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。如果不是柯西等人特別是維爾斯特拉斯發明的“δ-ε”語言，給了極限概念一個嚴格的定義，估計無窮小真的要變成“幽靈”。

數學史上的爭論對數學的影響一次比一次巨大。如果說牛頓的“幽靈”是傳統的形式邏輯與分析學之間的“決斗”，那么康托爾樸素的集合論則幾乎把數學推向了深淵?？低袪柍錾诙韲氖ケ说帽?，猶太后裔，后來遷居到德國。在而立之年，他提出了令人高深莫測的無窮大概念，這個無窮大不是微積分里的無窮大，是表述集合元素多少的。集合的概念不需要我多做解釋，相信學過一點數學的人都知道。眾所周知，有限集存在有多少元素的問題，例如一個班級有多少人？班級的人數成為這個班級的“基數”或“勢”，任何有限集都可以數出它的元素來，可如果問自然數有多少？有理數有多少？實數有多少？誰能回答？康托爾的目的就是要給這樣的集合（也叫無窮集、無限集）進行“計數”并比較不同集合中元素的多少。如果你沒有學過集合論，估計你回答不了諸如這樣的問題：“有理數集合與自然數集合中哪個集合所含的元素更多？”

集合論雖然成了現代一切數學的基石，甚至一些在他之前產生的數學也被納入了集合論這個大籮筐中。然而，無論是集合論還是康托爾本人都經受了難以想象的煎熬?？低袪柕募险摬⑽茨鼙煌瑫r代的所有人接受，當時的數學權威，康托爾的老師克朗涅克爾也許是出于嫉妒，他猛烈攻擊康托爾的工作，并竭力阻撓康托爾的提升，不讓康托爾在柏林大學獲得職位。他說：“康托爾走進了超窮數的地獄?！?克朗涅克爾有一句名言：“上帝創造了正整數，其余的是人的工作?！本褪钦f，人只能在正整數的有窮范圍內研究，至于無窮的世界則完全超乎人的能力之外，他甚至不承認康托爾為他的學生。無休止的爭吵使得康托爾心力交瘁，精神終于崩潰，于1918年1月6日在哈爾精神病醫院不幸逝世。

雖然康托爾的集合論很快為大多數數學家們接受并成為幾乎一切數學分支的基礎，龐卡萊甚至聲稱：“數學嚴格的基礎已經達到?！钡痪弥?，人們發現康托爾的集合論存在著嚴重的矛盾，最早發現矛盾的是康托爾本人，也稱之為“康托爾悖論”，這個悖論是說“既然任何性質都可以決定一個集合，那么所有的集合又可以組成一個集合，即‘所有集合的集合。顯然，此集合應該是最大的集合了，因此其基數也應是最大的，然而其子集的集合的基數按‘康托爾定理又必然是更大的，那么，‘所有集合的集合就不成其為‘所有集合的集合”。這一悖論并沒有讓康托爾恐慌，因為通過反證法便可以證明沒有“所有集合的集合”或者說“最大的集合”，當然也就沒有“最大的基數”。真正給集合論帶來致命一擊的人是羅素，他在1903年給康托爾寫了一封信，這封信的內容就是著名的“羅素悖論”，程代展老師已經介紹了這個悖論，這里就不重復了。

羅素悖論給數學界帶來的恐慌是空前的，好比大廈的地基產生了動搖，整個數學王國大有土崩瓦解之虞。以希爾伯特為首的一批一流數學家致力于挽救工作，希望把生命垂危的集合論救活。希爾伯特認為，良好的數學基礎是可以建立起來的，在他的倡導下，以策密羅為首的一批數學家著手數學基礎的建立。遺憾的是，事與愿違，希爾伯特的預言并沒有能實現。無可奈何之下，人們給集合論加上了一些公理，著名的策密羅選擇公理便是在這樣的背景下誕生的。這個選擇公理說：“在一簇集合中，可以從每個集合中選且僅選取一個元素構成新的集合”，對于有限個甚至可數個集合來說，這個公理都是顯而易見的，但對于不可數多個集合就不是一件簡單的事了。事實上，他涉及基本的邏輯問題，由數學歸納法，我們很容易證明從一列集合中每個集合選取一個元素，可對于一個不可數集合簇，你如何選?。靠梢宰C明，選擇公理與所謂的超窮歸納法是等價的，換句話說，你要么承認超窮歸納法，要么承認選擇公理。

在一系列公理下，已經發現的悖論可以避免，然而，且別高興得太早，焉知集合論中沒有沒被發現的悖論？龐卡萊就這個問題發表了一個有趣的評論：“為了防備狼，羊群用籬笆圍了起來，但不知道籬笆墻內還有沒有狼。”（來源：科學網，2013-02-25 ）endprint