數學概念的教學也應從問題開始

尤善培

思維起始于問題，數學教學是數學思維活動的教學，而思維活動又集中表現為提出問題和解決問題的活動。美國數學家哈爾莫斯說：“問題是數學的心臟?！币虼?，沒有問題就沒有思維，沒有好的問題，就沒有優質的思維。因而數學教學就要從問題開始，以問題的提出為載體，以問題的解決為中心，以問題的評價為引領，引發和調控學生的思維活動，激發深度思維，來揭示知識的發生過程和方法的形成過程。在這樣的思維活動中，體驗數學，增長知識，走進數學之幽境。

1.數學概念教學也應從問題開始。

數學教學應該從問題開始，問題是思維的啟發器。如果沒有問題，就至少沒有專注的深入的思維。數學概念本身就是數學思維活動的產物，是思維活動的結果，因此，數學概念的教學也應從問題開始。

著名數學特級教師張乃達先生提出了改進數學概念教學的模式。這個模式也被稱為概念的問題教學模式，用框圖示意如下：

其要點是：在采用概念的同化或概念的形成的學習模式之前，增加以下環節。

（1）通過解決初始問題的思維活動或審美活動，讓學生產生建立新概念的意識（念頭）。

（2）在給概念下定義之前，首先讓學生建立起與新概念相關的框架或觀念（即從整體上把握概念）。

（3）初始問題是能導致數學新概念產生的問題，可分為應用性和結構性兩類。其中應用性初始問題具有較好的情境性，而結構性初始問題則具有更好的結構性，更有利于意義建構的展開，前者引發的是解決問題的求真活動，后者引發的是數學的審美活動。

2.問題模式下的對數概念教學。

（1）教材簡析

①對數是一種數，是怎樣產生的？是什么因素促使我們建立對數概念的？對數又是一種運算，能解決什么問題？其解決問題的魅力又體現在哪里？logaN的來龍去脈體現了什么樣的數學思想？

②蘇格蘭數學家納皮爾首先發明了“對數”。恩格斯給予了很高的評價，他把“笛卡爾的坐標、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲創立的微積分”共同稱為“十七世紀數學的三大發明”。

③對數函數是重要的初等函數。對數函數、指數函數（底數大于1）、冪函數（指數為正整數）都是增函數，其中對數函數增長得最慢。

④對數的基本知識。

對數是一個數，ab=N？圳b=logaN，這是問題產生的原點，是同一個問題的兩種不同表達方式。注意特殊的對數lgN和lnN（其中，lim=e）的重要價值。

對數是一種運算，理解a=N的實質。

對數運算的實質是簡化計算，正如法國數學家拉普拉斯所說：“由于對數的發現，天文學家的壽命延長了許多倍?！?/p>

（2）教學過程

創設情境，導入新課。

某種放射性物質不斷變化為其它物質，每經過一年，這種物質剩留的質量是原來的84%（設該物質的最初質量為1）。

【問題1】你能就此情境提出數學問題嗎？

學生嘗試著回答：

①5年后，該種物質的剩留量是多少？（y=0.845）

②經過多少年這種物質的剩留量是原來的一半？

師：概括起來講，大家可以提出如下的三類問題。

設ab=N，①已知a和b，求N；②已知b和N，求a；③已知a和N，求b。

【評價】“問題1”是一個課題性問題，即提出了一個研究課題，為學生思維活動提供了動力，同時為學生的思維活動留有較大的空間，也具有較大的難度，往往學生不能全面回答，其實我們也不一定指望學生全面回答。但三類問題中，由于只有問題③是新的問題，是從審美的愿望出發，促使學生產生一舉攻克的強烈愿望。學生從審美和完善知識結構的角度初步產生引入新概念（對數）的意識。

類比歸納，形成概念。

【問題2】如果2b=3，b唯一存在嗎？

生：這樣的b是唯一存在的。

師：請說明理由。

生：考察函數y=2x的值域（0，+∞），因為21=2<3，22=4>3，有理由作出猜想：這樣的b是唯一存在的，應該介于1和2之間。現在看看是否可以，事實上2=<3，表明

【評價】這樣“猜測——驗證——逼近”的思維方法非常重要。

當然，更多的學生是從圖象上發現b是唯一存在的。作出函數y=2x的圖象，觀察y=3與y=2x圖象的交點情況，不難發現b不僅是存在的，而且是唯一的。

教師繼續追問，要求學生說明理由，學生則表現出“欲言又止”“說也說不清楚”。

這時，引入新的概念（對數）已經是水到渠成了。怎樣引進呢？

【問題3】如果a2=2，你會求正數a嗎？

沒有學習過根式時，不知道a是什么值，引進根式后，我們就知道這個正數就是，而且是唯一存在的，還有明顯的幾何意義（邊長為1的正方形對角線的長）。引進根式后，正數a就可以用符號表示了。

【評價】“問題3”是一個具體的導向性問題，學生經歷過用符號語言表示新的數學對象的過程，通過這樣的類比，會產生柳暗花明的效果。其實，研究的關鍵時刻引進一個符號，是數學家們常用的方法。

這時，對數概念已呼之欲出了。怎樣定義對數呢？

【問題4】如果ab=N，那么怎樣表示呢？

一般地，如果a（a>0，a≠1）的b次冪等于N，即ab=N，則稱b是以a為底N的對數，記為logaN= b。

顯然，ab=N？圳b=logaN。

【評價】“問題4”是一個產生對數概念的問題，教師進一步指出對數式和指數式的相互關系。

適度模仿，感知概念。

2b=2？圯b=log22=1；

2b=3？圯b=log23；

2b=4？圯b=log24=2；

0.84b=？圯b=log0.84；

……

我們可以欣賞下面的圖示，立刻就會發現很和諧，結構很完美，從而發出新的概念（對數）“得來全不費功夫”的感嘆。

學生舉例，理解概念。

loga1=0；logaa=1；logaab=b；a=N。

進一步理解指數式和對數式的互相轉化，充分歸納，適度演繹，為對數求值提供了新的方法。

互化演練，感悟概念。

【問題5】將下列指數式改寫成對數式：

①42=16；②4=2；③10=0.01；④8.8=1；⑤=5.13。

【問題6】將下列對數式化成指數式：

①log33=1；②log27=-3；③log5=-3；

④log3=-2；⑤log10a=-1.699；

⑥loge3=b，e=2.71828…。

師：介紹特殊的對數，常用對數：log10a=lga；自然對數：logea=lna。

【評價】“問題5”和“問題6”的“互化演練”可以加深對對數概念的理解，兩個特殊對數的介紹，讓學生感到“事出有因”和“名正言順”。

（3）教學簡評

這樣的教學，學生經歷了提出問題的“惑”境到解決問題的“悟”境，實際上也就是建構概念和理解概念的過程，經歷了扣人心弦的數學思維活動過程，感受到數學思想方法的熏陶，其內心深處受到了數學思想的浸潤和數學文化的哺育。

這樣的教學中，學生感受到對數產生的必要和合理，由特殊到一般，通過類比、符號化思想，領會了對數的實質，加強了對新概念的理解。

3.問題評價應促進深度思維。

德國教育家第斯多惠說：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞?！痹诮虒W的過程中，依據問題的思維度和問題的功能作出適時的評價，通過調整、控制學生的后繼思維行為，取得較為理想的效果，更是一種激勵學生深度思維、促進問題解決的重要手段。

解決問題的活動是一項目標明確、受解題主體控制的有目的的活動。因此，在這個過程中，必須有意識地對問題進行評價，促進深度思維，對思維活動進行調節和控制，即監控。

（1）定向。即確定思考的方向，在具體解決問題的思維活動中，就是要選擇一個“好”的思路，提出一個總的解決方案。

（2）控制。即對思維過程的監控與控制，它表現為對思維過程（思路、方案）的價值進行評估，并對關鍵部位進行確定和控制。

（3）調節。即對思維過程的價值所作出的反應，表現為思路的堅持、調整、修正或放棄。

上述三個環節，貫穿于整個解決問題的思維過程之中。實際上不僅在思維的開始，而且在整個過程的每一個分叉點上都要定向，并隨之進行控制和調節，只有對問題的思維過程作出有效的監控，才能保證思維活動的順利進行。

在本課例中，對數概念的生成是在問題情境中引發的。問題情境引導學生發現問題、分析問題，感知實際的需要，感受到數學知識是為解決問題和完善知識結構的需要而生成的。對數概念的感悟是在觀察中發現的，而在教學中，對數概念的建構是在類比中發現的，概念的深化是在互動中實現的。學生通過深度的思維活動，構建了對數概念，體現了學習的主體性，而教師則是通過一系列具有內部邏輯聯系的問題為學生提供了思維活動的方向，起到了很好的控制和調節作用。這些問題的作用還表現在：承前啟后的情境應用；自然而然的概念生成；貫穿始終的思想滲透。

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區教育局）

2b=3？圯b=log23；

2b=4？圯b=log24=2；

0.84b=？圯b=log0.84；

……

我們可以欣賞下面的圖示，立刻就會發現很和諧，結構很完美，從而發出新的概念（對數）“得來全不費功夫”的感嘆。

學生舉例，理解概念。

loga1=0；logaa=1；logaab=b；a=N。

進一步理解指數式和對數式的互相轉化，充分歸納，適度演繹，為對數求值提供了新的方法。

互化演練，感悟概念。

【問題5】將下列指數式改寫成對數式：

①42=16；②4=2；③10=0.01；④8.8=1；⑤=5.13。

【問題6】將下列對數式化成指數式：

①log33=1；②log27=-3；③log5=-3；

④log3=-2；⑤log10a=-1.699；

⑥loge3=b，e=2.71828…。

師：介紹特殊的對數，常用對數：log10a=lga；自然對數：logea=lna。

【評價】“問題5”和“問題6”的“互化演練”可以加深對對數概念的理解，兩個特殊對數的介紹，讓學生感到“事出有因”和“名正言順”。

（3）教學簡評

這樣的教學，學生經歷了提出問題的“惑”境到解決問題的“悟”境，實際上也就是建構概念和理解概念的過程，經歷了扣人心弦的數學思維活動過程，感受到數學思想方法的熏陶，其內心深處受到了數學思想的浸潤和數學文化的哺育。

這樣的教學中，學生感受到對數產生的必要和合理，由特殊到一般，通過類比、符號化思想，領會了對數的實質，加強了對新概念的理解。

3.問題評價應促進深度思維。

德國教育家第斯多惠說：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞。”在教學的過程中，依據問題的思維度和問題的功能作出適時的評價，通過調整、控制學生的后繼思維行為，取得較為理想的效果，更是一種激勵學生深度思維、促進問題解決的重要手段。

解決問題的活動是一項目標明確、受解題主體控制的有目的的活動。因此，在這個過程中，必須有意識地對問題進行評價，促進深度思維，對思維活動進行調節和控制，即監控。

（1）定向。即確定思考的方向，在具體解決問題的思維活動中，就是要選擇一個“好”的思路，提出一個總的解決方案。

（2）控制。即對思維過程的監控與控制，它表現為對思維過程（思路、方案）的價值進行評估，并對關鍵部位進行確定和控制。

（3）調節。即對思維過程的價值所作出的反應，表現為思路的堅持、調整、修正或放棄。

上述三個環節，貫穿于整個解決問題的思維過程之中。實際上不僅在思維的開始，而且在整個過程的每一個分叉點上都要定向，并隨之進行控制和調節，只有對問題的思維過程作出有效的監控，才能保證思維活動的順利進行。

在本課例中，對數概念的生成是在問題情境中引發的。問題情境引導學生發現問題、分析問題，感知實際的需要，感受到數學知識是為解決問題和完善知識結構的需要而生成的。對數概念的感悟是在觀察中發現的，而在教學中，對數概念的建構是在類比中發現的，概念的深化是在互動中實現的。學生通過深度的思維活動，構建了對數概念，體現了學習的主體性，而教師則是通過一系列具有內部邏輯聯系的問題為學生提供了思維活動的方向，起到了很好的控制和調節作用。這些問題的作用還表現在：承前啟后的情境應用；自然而然的概念生成；貫穿始終的思想滲透。

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區教育局）

2b=3？圯b=log23；

2b=4？圯b=log24=2；

0.84b=？圯b=log0.84；

……

我們可以欣賞下面的圖示，立刻就會發現很和諧，結構很完美，從而發出新的概念（對數）“得來全不費功夫”的感嘆。

學生舉例，理解概念。

loga1=0；logaa=1；logaab=b；a=N。

進一步理解指數式和對數式的互相轉化，充分歸納，適度演繹，為對數求值提供了新的方法。

互化演練，感悟概念。

【問題5】將下列指數式改寫成對數式：

①42=16；②4=2；③10=0.01；④8.8=1；⑤=5.13。

【問題6】將下列對數式化成指數式：

①log33=1；②log27=-3；③log5=-3；

④log3=-2；⑤log10a=-1.699；

⑥loge3=b，e=2.71828…。

師：介紹特殊的對數，常用對數：log10a=lga；自然對數：logea=lna。

【評價】“問題5”和“問題6”的“互化演練”可以加深對對數概念的理解，兩個特殊對數的介紹，讓學生感到“事出有因”和“名正言順”。

（3）教學簡評

這樣的教學，學生經歷了提出問題的“惑”境到解決問題的“悟”境，實際上也就是建構概念和理解概念的過程，經歷了扣人心弦的數學思維活動過程，感受到數學思想方法的熏陶，其內心深處受到了數學思想的浸潤和數學文化的哺育。

這樣的教學中，學生感受到對數產生的必要和合理，由特殊到一般，通過類比、符號化思想，領會了對數的實質，加強了對新概念的理解。

3.問題評價應促進深度思維。

德國教育家第斯多惠說：“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞?！痹诮虒W的過程中，依據問題的思維度和問題的功能作出適時的評價，通過調整、控制學生的后繼思維行為，取得較為理想的效果，更是一種激勵學生深度思維、促進問題解決的重要手段。

解決問題的活動是一項目標明確、受解題主體控制的有目的的活動。因此，在這個過程中，必須有意識地對問題進行評價，促進深度思維，對思維活動進行調節和控制，即監控。

（1）定向。即確定思考的方向，在具體解決問題的思維活動中，就是要選擇一個“好”的思路，提出一個總的解決方案。

（2）控制。即對思維過程的監控與控制，它表現為對思維過程（思路、方案）的價值進行評估，并對關鍵部位進行確定和控制。

（3）調節。即對思維過程的價值所作出的反應，表現為思路的堅持、調整、修正或放棄。

上述三個環節，貫穿于整個解決問題的思維過程之中。實際上不僅在思維的開始，而且在整個過程的每一個分叉點上都要定向，并隨之進行控制和調節，只有對問題的思維過程作出有效的監控，才能保證思維活動的順利進行。

在本課例中，對數概念的生成是在問題情境中引發的。問題情境引導學生發現問題、分析問題，感知實際的需要，感受到數學知識是為解決問題和完善知識結構的需要而生成的。對數概念的感悟是在觀察中發現的，而在教學中，對數概念的建構是在類比中發現的，概念的深化是在互動中實現的。學生通過深度的思維活動，構建了對數概念，體現了學習的主體性，而教師則是通過一系列具有內部邏輯聯系的問題為學生提供了思維活動的方向，起到了很好的控制和調節作用。這些問題的作用還表現在：承前啟后的情境應用；自然而然的概念生成；貫穿始終的思想滲透。

（作者單位：江蘇省揚州市邗江區教育局）