20世紀鮮為人知的音高組合理論

摘要：“set theory（musical）”一般被認為“pc set theory”（音級集合理論），殊不知它的源頭是20世紀中期美國作曲家、作曲理論家霍華德·漢森的理論研究成果。漢森的理論著作論述了音高組合全部可能性的問題，為和聲學的發展帶來了新的發展契機。

關鍵詞：音高組合理論 漢森理論 音級集合理論 20世紀音樂

20世紀音樂的發展突飛猛進，作曲家們不再遵循傳統的規矩去安排某個樂音的解決和走向，也不再滿足于傳統范圍內節奏、音色等元素的細微變化。追求新奇特的實驗家們開始對不同音響效果感興趣，他們不僅僅在樂音領域搞起實驗，也隨著科技的進步對噪音產生好奇，這一大批實驗家們引來了全世界關心音樂發展的愛好者和專業音樂家們的視線，他們都拭目以待這似乎走到盡頭卻又可能帶來新的啟發的音樂發展之路。而另一批音樂家們從音高結構中看到了希望，他們在作曲實驗中嘗試著各種新鮮的音高組合，并且在理論研究上不斷地探索著這些組合的邏輯規律，形成了諸多不同體系的音高組合理論（musical set theory）。

音樂語匯中最基本的構成要素包括音高和節奏，音高（pitch）即音的高度，是音的基本特征之一。音高組合理論，即將各種音高組合分類整理、闡述他們之間的關系并研究其邏輯規律的理論。無論在傳統時期還是當代，樂音領域亦或噪音領域，音高組合的研究都是必不可少的課題。

籠統地講，源于浪漫主義晚期的20世紀西方音樂發展分別伸向了延續浪漫主義繼續向前發展的“保守”流派和分裂成極端反叛傳統的新生流派，兩者都是基于傳統而擺脫教條邁出的新的一步。在這些流派中，音高組合的創新在作曲家的作品中可見一斑，其中形成理論體系的有勛伯格十二音序列技法、亨德米特理論、阿倫·福特音級集合理論等，除了這三位作曲家和理論家外，重要的研究者還有豪爾、巴比特等等。此外，還有一位作曲家、作曲理論家霍華德·漢森在這個領域里奮斗了40余年，他的理論實用性強、簡單易懂，啟發了后人對音高組合理論的不斷發展，但卻鮮為人知。

霍華德·漢森（Howard Hanson，1896-1981）祖籍瑞典，出生于美國，先后就讀于路德學院、美國音樂藝術學院（今茱莉亞音樂學院）和西北大學音樂學院，曾師從珀茜·該丘斯（（Percy Goetschius，1853-1943）等，而后執教于西北大學（助教）。1921年獲“Prix de Rome”大獎赴意大利學習兩年，期間師從雷斯皮基（Ottorino Respighi，1879-1936）學習管弦樂隊作曲法。回國后受任于伊斯特曼音樂學校擔任校長長達40年。期間，他以作曲家、指揮家、音樂教育家、社會活動家等多重身份活躍在美國的音樂領域，將這所起初還是微不足道的私立音樂學校發展成為美國聲譽最高的音樂學府之一，同時，他的努力也獲得了多項殊榮，重要的獎項有普利策獎、迪特森獎和喬治·福斯特獎等。

早在20世紀20年代，風靡歐洲的勛伯格十二音序列音樂理論也傳入了美國，但該理論強烈的維也納新樂派的烙印使得主張創立“美國風格”的一大批作曲家們產生了研究新理論的念頭，漢森在大學期間就開始對音高理論感興趣，通過在歐洲的學習更加堅定了他對音高理論研究的信念。經過20幾年的悉心研究，他的理論初步形成體系，又通過近20年在教學實踐中逐步驗證和完善，終于在1960年完成出版了著作《現代音樂中的音高材料—十二平均律資源》①（以下簡稱《音高材料》），這部理論著作全面闡述了他對音高材料研究的理論觀點和內容，不僅為音樂創作提供了音高材料的范圍和總視野，也為現代音樂的音高材料分類提供了一種新的思路，研究者將其稱之為漢森理論。

一、漢森理論簡述

漢森理論是為創作服務的，他在《音高材料》的前言中提到：“（該理論的）目的是幫助年輕作曲家整理大量不規則的、繁雜的、可組成和聲與旋律材料組合的所有可能性，尋求‘遺失了的和弦并予以新的意義，從而探索一種伸向新的領域并能夠滿足其審美渴望的音樂表達語言。”他將研究范圍劃定在十二平均律音階中的十二個音，是因為平均律音階的有限性能夠更好地降低研究的復雜性，但其研究結果通用于純律和五度相生律等其他接近于十二平均律音階的音樂分析和創作中。

漢森認為，和聲與旋律性質的一致性十分重要，他將各種音高組合稱為音組（sonority），包括縱向和聲和橫向旋律的音高組合。首先，漢森將所有音程簡化為6種基本音程：純五度（p）、大三度（m）、小三度（n）、大二度（s）、小二度（d）、三全音（t）（其他為轉位音程），采用p、m、n、s、d、t的順序表示一個音組所含有的音程屬性，用數字形式標記在字母的右上角表示各音程所含有的數量，組合起來稱為音程分析式。如七音組C2D2E2？F1G2A2B②的音程分析式為p6m3n4s5d2t，它表示該音組含有6個純五度或純四度，3個大三度或小六度，4個小三度或大六度，5個大二度或小七度，2個小二度或大七度和2個三全音（1x2）。

在著作中討論了十二平均律音階中所有音組（共222個）的結構性質、音響特性、風格，以及他們之間最為直接的包含關系。漢森采用映射法、對合法、互補映射法為音組構成或音組間組合的構成方法，采用窮盡法作為邏輯方法將所有音高組合的可能性全部計算出來。

（一）計算方法

映射（projection），即以某音開始按照某種邏輯（音程關系）始終如一地疊加構成音階或和弦的方式。在著作中，漢森窮盡了單方向疊加映射、上下雙向映射、單音程映射和多音程同時映射等多種映射方法。映射也是最基本的音組構成方法。

對合（involution）是指以音組中的某音或某兩個以上的音為軸進行縱向翻轉，在結構上與原音組構成反向的對應音組的方法，對應的音組與原音組構成對合音組。

互補音組（complementary sonorities）是在十二音范圍內，除原音組的構成音之外的音所組成的音組，也可指該音組與原音組形成的互補關系。endprint

（二）計算過程

首先，單音程映射是漢森理論的入手點，他按照p、m、n、s、d、t的順序將每一個基本音程通過同向映射疊加的方法構成基數為3-12的音組，這些音組是具有這六個基本音程屬性最為強烈的音組群。在t映射出現之前，所有的三音組就全部呈現出來了。且當t映射完全計算完成后，所有的四音組完全出現。

第二步，漢森將完全出現的所有三音組作為映射對象，通過在三音組的三個音上分別構成該音組結構的方法進行映射。

第三步，漢森將兩種不同的音程分別映射，而后進行疊加組合，這種方法可以獲得上述兩種方法不能夠得到的3-12音音組。至此，所有的五音組全部呈現。

第四步，漢森沿襲這種思路將三音組在其他音程上進行映射，這種方法是第二步的補充，可獲得新的音組，至此，得到全部六音組。

最后是互補映射構成音組法，這種方法的目的是將上述所有出現的3-6音組的互補音組及其性質展現出來。由于每個音組相對應的互補音組與原音組都具有同樣性質的音程分析式，因此，他們的互補音組可以通過原音組的映射獲得，即映射之映射。漢森將上述由各種映射方法所獲得的六音以下的音組通過連接六音組與其對應的映射音組建立起前后關系③。

在這個計算過程中，音組與音組之間通過映射的方法組建了一個音程屬性“關系網”，在這個網中，每個音組都有它獨有的位置。漢森采用字母、數字或符號相結合的方法來表示音組映射或構成的方法，即構成式。一個音組可能會有多個構成式，這是因為同一個音組可以采用不同的映射方法獲得，也說明一個音組的性質具有不同的解釋方法，或者說，這個音組在“關系網”中有多重身份，它聯系著不同領域或范圍的其他音組。如六音組C2D2E2#F1G2A（p4m2n3s4dt）的構成式有三個：（1）PNS，是pns（C7G2A）的映射，即第二步；（2）pmn/s，是三音組pmn（C4E3G）在大二度（s）上重新構成同樣結構的三音組（D4#F3A）的疊加；（3）p3+s3，是在同一個音上做三次純五度映射和三次大二度映射疊加構成，即（C-G-D-A）+（C-D-E-#F）。由構成式可以看出，該六音組中純五度和大二度非常突出，兩者結合表現出的性格也與這兩個音程的屬性相關。同時，該六音組在“關系網”中具有三個坐標點，對于創作者來說，可以通過這個音組找到與它相關的不同屬性音組與之構成的縱橫關系。漢森將這個“關系網”簡化排列為一個圖表，參看著作《音高材料》的附錄。

需要指出的是，這部著作只計算了音組構成的過程以及他們之間的簡單關系，關于音組的連接等問題并沒有深入討論。漢森強調，該理論不是方法論，不能作為音樂分析的工具或手段，但卻為音樂創作提供了一個寶貴的音高材料庫。

二、漢森理論與音級集合理論

隨著計算機技術的發展，漢森之后的研究者研發了諸多軟件，如SPEED用來計算任意幾個音組合構成音組的性質、排列方式等，為創作提供了方便。此外，巴比特（Milton Babbitt，1916–2011）、萊文（David Lewin，1933–2003）和阿倫·福特（Allen Forte，1926-）等在該領域理論研究卓有成就，其中與漢森的研究最為接近的是阿倫·福特的音級集合理論，該理論較為普及，也較早地由羅忠镕、鄭英烈等老一輩作曲家以翻譯、介紹甚至應用等方式進行推廣。音級集合理論在很大程度上參考了漢森理論，但阿倫·福特對所有音組進行方法論式的歸納闡述，可以說是對漢森理論的具體化和技術化。在此，筆者試析兩者的不同之處，如下：

1.漢森理論的目的是整理所有音高材料，從音樂屬性本身出發尋找各個音組的規律和所屬位置；音級集合理論則是從數學邏輯出發計算音程所含半音數的關系來構造音組和音組的排列順序，以尋找各音組間的邏輯關系構成作曲技法和分析方法為目的。

2.漢森理論以樂音本身的屬性為基點，注重音樂性和情感表達，他認為樂音本身都具有靈性，是音樂表達的基本內涵；音級集合理論在借助數學思維的情況下思考音樂問題，難免有“機械”之嫌。在將樂音換算為數字代碼，再用數字計算后換算為樂音的創作過程中，整體音樂性會受影響，在具體應用中也為初學者提出了很大的難題。

3.漢森理論并不限制在調性或是無調性領域，但漢森非常注重調性在音樂中的地位，他認為“這一理論應該可以支撐最為集中透徹的音高材料研究，因為它是建立在調性思維的邏輯表達基礎之上的”；音級集合理論則明確針對無調性音樂的創作和分析問題。

從分析來看，雖然音級集合源自或借鑒于漢森理論，但也只是將其中無調性部分（如果音樂可以分類為調性和無調性的話）借助數學知識進行整合，對調性領域的問題尚未涉及。也即是說，漢森理論中調性領域的問題并沒有在音級集合理論中得到很好的開發、延伸或發展。

漢森理論具有非常實用的價值，為理解音高材料提供了一種新的途徑和方法，這種方法也體現了身處20世紀中期的漢森對現代音樂觀念的突破和超前意識，同時，也為作曲理論的進一步發展奠定了基礎。

參考文獻：

[1]鄒建平.五位美國現代作曲家風格與技法簡析[J].南京藝術學院學報（音樂與表演版），1993，（03）.

[2]Howrd Hanson.Haimonic Materials of Modern Music——Resources of the Tempered Scale[M].New York：Appleton Century Crofts Inc，1960.

[3]王丹.音高材料庫——霍華德·漢森理論中的十二平均律資源[J].南京藝術學院學報（音樂與表演版），2013，（03）.

注釋：

①見參考文獻[2]，筆者將“harmonic materials”譯為“音高材料”。

②如果將某音組的音按上行排列，兩音之間的音程用所含有的半音數表示，即為音程列。

③連接六音組（connecting hexad），即任何包含一個特定的五音組并且包含于該五音組的映射七音組的六音組，見參考文獻[2]的第269頁。endprint