一類行列式的解法

秦喜梅

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

行列式是代數(shù)學(xué)中的一個重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組理論、二次型理論等方面應(yīng)用廣泛。由于行列式的計算方法很多：利用n階行列式的定義，把行列式化為上（下）三角形，按行（列）展開法則等，所以在計算行列式時，往往根據(jù)行列式自身的特點選擇方法進行計算。而且不僅僅局限于某一種算法，主要根據(jù)其組成元素的規(guī)律尋找相應(yīng)的計算方法。

方法一：按行（列）展開法則。

先把Dn按照第一行展開，得

再把Mn-1按照第一列展開，得

所以 Dn=an+（-1）2n+1an-2=an-an-2=an-2（a2-1）.

方法二：化為下三角形。

或者如下分兩種情況討論計算：

方法三：化為上三角形。

當a≠0時，

方法四：利用分塊對角矩陣的行列式的計算方法。

方法五：遞推降階。

先把 Dn按照第二行展開，得 Dn=a·（-1）2+2Dn-1，再把 Dn-1按照第二行展開，得 Dn-1=a·（-1）2+2Dn-2，依次下去得 Dn=aDn-1=a2Dn-2= … =an-3D3=an-2D2=an-2（a2-1）.

方法六：利用數(shù)學(xué)歸納法。

當n=2時，Dn=

當n=3時，Dn=

當n=4時，Dn=

故猜測Dn=an-2（a2-1）下面利用數(shù)學(xué)歸納法證之。

假設(shè)當 n=k 時，Dk=ak-2（a2-1），下證 Dk+1=ak-1（a2-1）.

把 Dk+1按照第 k 行展開， Dk+1=（-1）k＋kDk＝ a·ak-2（a2-1）=ak-1（a2-1）.

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