一類具有時滯的捕食系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性

劉 敏

（巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽 巢湖 238000）

1 引言

本文考慮的是具有時滯的Holling-I型功能反應(yīng)的下列簡化捕食者-食餌系統(tǒng)：

這里 x、y 分別表示食餌種群和捕食者種群的密度。 設(shè)其初始條件為 x0（θ）=φ1（θ）≥0， y0（θ）=φ2（θ）≥0，θ∈[-τ，0]，x（0）＞0，y（0）＞0，k0，k1，δ，β 均是正數(shù)，且考慮到模型的生物學(xué)意義，我們僅對其在內(nèi)進行討論。文[1]討論了該捕食系統(tǒng)的解的有界性和持久性，并分析了正平衡點的局部穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性，給出了下述結(jié)論：

引理 1[1]當(dāng) t充分大時，系統(tǒng)（1）是最終有界的，有 x（t）≤k0，y（t）≤M，其中

引理2[1]當(dāng)時，系統(tǒng)（1）是持久的。

引理 3[1]系統(tǒng)（1）的唯一正平衡點 E*（x*，y*）是條件穩(wěn)定的，其中

這里0＜x*＜k0＜k1.

本文在上述結(jié)論基礎(chǔ)上，主要對系統(tǒng)（1）的正平衡點E*的全局穩(wěn)定性進行研究。

2 正平衡點的全局穩(wěn)定性

由引理2及其證明，我們知當(dāng)系統(tǒng)（1）是持久的，則其解滿足m1≤x≤k0，m2≤y≤M，這里.下面我們將利用Liapunov方法來研究系統(tǒng)（1）的正平衡點E*的全局穩(wěn)定性問題，給出下列結(jié)論：

定理 若系統(tǒng)（1）是持久的，并且滿足：

那么系統(tǒng)（1）的正平衡點 E*（x*，y*）是全局漸近穩(wěn)定的。

又由引理1和引理2，可知存在T＞0，使得t＞T時，有

由（3）式可得

由（2）、（3）和（4），可得

定義

從而有

令 V2（t） =V21（t） +V22（t），則由（9）和（10）可得

再令 V（t） =V1（t）+V2（t），則由（5）和（11）有

又由系統(tǒng)（1）的解具有持久性，可知存在T＞0，使得時t＞T，有

利用中值定理知，存在 0 ＜ θ1（t）＜ u1（t），0 ＜ θ2（t）＜ u2（t）使得

根據(jù)Liapunov穩(wěn)定性定理，方程（2）-（3）的零解是全局漸近穩(wěn)定的，由此可得系統(tǒng)（1）的正平衡點E*是全局漸近穩(wěn)定的。

[1] 劉敏.一類具有時滯的捕食系統(tǒng)的持久性和Hopf分支的存在性[J].巢湖學(xué)院學(xué)報，2009，（3）：4-6.

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