一類七次系統三次冪零奇點的焦點判定與極限環分支

卜玨萍

（巢湖學院數學系，安徽 巢湖 238000）

討論一類七次微分自治系統

其中原點為三次冪零奇點，由文[1]，容易驗證，系統（1）中原點為中心或焦點。

由文[4]中給出的遞推公式，利用Mathematica計算求得系統（1）原點的前10個擬Lyapunov常數如下：

由 λ10≠0，可得

再由λ1=λ2=λ3=λ4=λ5=λ6=λ7=λ8=λ9=0得：

由于 a02≠0，b02≠0 時，

與

不能同時為零，即式（5）為零時，（6）不能為零，即當 λ9=0 時，λ10≠ 0，由此可得

定理1 系統（1）的原點為10階細焦點的充要條件是

對系統（1）作微小擾動后的系統

由定理 1，當充要條件（7）成立時，有

從而有

定理2 若系統（1）的原點為10階細焦點，則當0＜δ?1，且系統（1）的系數作適當微小擾動時，系統（8）在原點的充分小鄰域內恰有10個包圍初等結點O（0，0）的極限環。

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