某型彈載雷達測角系統(tǒng)誤差模型辨識方法

王文君，段曉君，朱炬波，張強

(1.國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 長沙410073;2.第二炮兵裝備研究院 第三研究所，北京100085)

0 引言

系統(tǒng)誤差廣泛存在于儀器測量之中，同隨機誤差一同構(gòu)成測量誤差的主體［1］，二者的不同在于系統(tǒng)誤差一般具有時域平緩、頻率較低、能量較高的特征，而隨機誤差具有時域震蕩劇烈、頻率較高、能量較低的特征。由于系統(tǒng)誤差具有上述特征，很可能導(dǎo)致測量值偏離真實值，在實際的定位與導(dǎo)航應(yīng)用中產(chǎn)生較大負面影響。為了補償系統(tǒng)誤差，抵消其不良影響，通常要辨識系統(tǒng)誤差模型并估計模型的參數(shù)。

系統(tǒng)誤差具有隨時間漂移的特性，經(jīng)典的方法是采用關(guān)于時間t 的多項式或者多項式樣條函數(shù)模型［1-2］逼近系統(tǒng)誤差。針對連續(xù)波雷達的系統(tǒng)誤差，文獻［3 -4］提供了較好的模型和估計方法。文獻［5］從數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征出發(fā)，基于相關(guān)性給出了描述系統(tǒng)誤差的時間序列模型。以上方法是利用已有的數(shù)學(xué)模型或者簡單的樣條多項式逼近測角誤差，大多缺少明確的物理含義，無法滿足系統(tǒng)誤差補償及預(yù)測的根本需求。一種更適當(dāng)?shù)淖龇ㄊ欠治鰷y量的物理機理，結(jié)合與測量密切相關(guān)的可觀測物理量，以其作為自變量，設(shè)計相應(yīng)的基函數(shù)逼近系統(tǒng)誤差。

本文針對彈載雷達測角系統(tǒng)誤差模型的辨識問題［6］，分析影響系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的物理量，提出了一種數(shù)理結(jié)合的系統(tǒng)誤差模型辨識方法。從實測數(shù)據(jù)的計算結(jié)果來看，利用該方法提煉出的模型能夠較好的描述測角系統(tǒng)誤差，且該方法具有一定的普適性，可應(yīng)用于類似裝備系統(tǒng)誤差模型辨識問題。

1 彈載雷達測角及系統(tǒng)誤差模型構(gòu)造

1.1 彈載雷達測角誤差分析

影響彈載雷達測角誤差的因素，總體可分為目標(biāo)因素、環(huán)境因素和雷達自身因素3 大類［7-8］。對于測角誤差的分析和研究，目前已有的文獻大多集中在雷達自身因素，例如文獻［9］研究了通道不一致導(dǎo)致幅相不一致引起的測角誤差;文獻［10］分析了距離量化誤差帶來的測角誤差;文獻［11］提出了一種從硬件上增加脈沖調(diào)制電路和調(diào)整中放、視放帶寬的改進方法。少部分文獻分析了由于目標(biāo)和環(huán)境因素導(dǎo)致的測角誤差，例如由于角閃爍現(xiàn)象導(dǎo)致的測角誤差［12］，文獻［13］從統(tǒng)計意義上給出了測角誤差仿真公式及參數(shù)的確定方法。

本文定義測角誤差E(t)為t 時刻彈載雷達測量得到的目標(biāo)角度與目標(biāo)真實角度的差別［14］，其中目標(biāo)的真實角度可以通過安裝在平臺上的全球定位系統(tǒng)(GPS)、姿態(tài)信息和目標(biāo)上的GPS 共同測算得到。一般情況下E(t)可以看成為一個隨機過程(或離散時間序列)，且通常能夠分解為系統(tǒng)趨勢與隨機噪聲之和的形式，如圖1所示。

圖1 雷達測角誤差的系統(tǒng)項和隨機項Fig.1 Systemic and random terms of radar measurement error

故此E(t)可以分解為

式中:s(X)為測角系統(tǒng)誤差;X 為描述系統(tǒng)誤差模型的自變量集合;ε(t)為測角隨機誤差模型。一般的，可以近似認(rèn)為隨機誤差ε(t)服從高斯白噪聲的假設(shè)。接下來構(gòu)建誤差的系統(tǒng)誤差模型s(X，t)，確定自變量集合X 的構(gòu)成及模型s(·)的形式。

1.2 系統(tǒng)誤差模型的自變量提煉

自變量提煉是指在已知的平臺狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)中選擇與系統(tǒng)誤差密切相關(guān)的可觀測因素，一般可分為基于數(shù)據(jù)和基于物理兩大類方法。基于數(shù)據(jù)的方法即純粹從數(shù)據(jù)出發(fā)，利用相關(guān)性分析確定哪些自變量與系統(tǒng)誤差關(guān)系最大;而基于物理的方法則首先分析系統(tǒng)誤差產(chǎn)生機理，推斷與系統(tǒng)誤差關(guān)系密切的物理量。

1.2.1 基于數(shù)據(jù)相關(guān)性的自變量提煉

考慮可觀測的平臺狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)的相關(guān)因素作為待選自變量(一個自變量指一個時間序列)，記為xi(i=1，2，…，m).計算自變量序列與測角誤差序列的相關(guān)性，記

根據(jù)計算結(jié)果，取相關(guān)性較大的若干個因素構(gòu)成自變量矩陣

式中:ψM為平臺偏航姿態(tài)角;ψMS為平臺目標(biāo)視線俯仰角;α 為平臺目標(biāo)視線方位角;r 為平臺目標(biāo)距離;xS為x 方向目標(biāo)位置坐標(biāo);zS為z 方向目標(biāo)位置坐標(biāo);φM為平臺俯仰姿態(tài)角;φS為目標(biāo)俯仰姿態(tài)角。

1.2.2 基于物理機理的自變量提煉

根據(jù)雷達測角機理可知，方位角測量誤差是雷達測量得到的角偏差eR與GPS 測量得到的角偏差eG之差。從大量的測量數(shù)據(jù)中可看出:eR的數(shù)據(jù)序列表現(xiàn)為零均值、方差時變的隨機序列，數(shù)據(jù)主體基本沒有趨勢特征;而eG的數(shù)據(jù)序列表現(xiàn)出明顯的無規(guī)律趨勢，并且數(shù)據(jù)含有一定的噪聲。故此可認(rèn)為測量誤差的系統(tǒng)趨勢是由eG的測量數(shù)據(jù)帶來的，而eG是方位視線與導(dǎo)引頭光軸的夾角，進一步可將下列因素引入到自變量矩陣中:

圖2 船體在雷達視線上的投影Fig.2 Ship projection on radar line of sight

目標(biāo)在視線上的投影長度對視在中心的位置有至關(guān)重要的影響，且ΔL≈Lsin，故將、sin αJ、cos αJ信息引入自變量矩陣。

1.3 表示基函數(shù)的過完備化

根據(jù)數(shù)據(jù)相關(guān)性和物理機理確定入選的自變量序列，實際上構(gòu)成了可以表示系統(tǒng)誤差的基函數(shù)。其中入選的自變量序列，也就是基函數(shù)，是由多項式、三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等多種形式構(gòu)成。記由基函數(shù)構(gòu)成的誤差空間為

考慮到誤差序列的強非線性，單純由入選的自變量低階項難以足夠精確地表示測角誤差，故通常考慮高階項和交叉項即可較好地表示測角誤差。測角系統(tǒng)誤差序列屬于由這些自變量及其高階項張成的空間，即

1.4 系統(tǒng)誤差模型的構(gòu)造

測角誤差系統(tǒng)模型可以表示如下:

式中:X?{1，x1，x2，…，xm}.考慮到f(X，t)可以進行泰勒展開，故此可以利用MSQ空間中的自變量展開得測角誤差系統(tǒng)模型

式中:β0、β1i、βhi和βhki分別為常數(shù)項、一次項、高次項和交叉項的待估參數(shù)。上式可以簡記為

2 系統(tǒng)誤差模型的優(yōu)化

由于測角誤差空間MSQ是過完備的，故還需對初選自變量進行必要的剔除來優(yōu)化表示。

2.1 基于Cp準(zhǔn)則剔除算法

按照自變量對于回歸擬合的貢獻排序，貢獻微小且剔除以后不會對結(jié)果造成較大影響的，應(yīng)該予以剔除。

記X = (X1，…，Xn)，β = (β1，…，βn)'，βP=(β1，…，βp)'，XP= (X1，…，Xp)，XR= (Xp+1，…，Xn)，βR=(βp+1，…，βn)'.

稱

與

為全模型與最優(yōu)選模型［15］。其中n 為模型自變量數(shù)，m 為數(shù)據(jù)采樣數(shù)，即模型中方程數(shù)目，m 遠大于n.Cp準(zhǔn)則的目的是從全模型中選取出優(yōu)選模型，如果進行自變量選擇的目的是使Xβ 的估計最優(yōu)，則根據(jù)文獻［2］從全模型中按照以下準(zhǔn)則確定最優(yōu)選模型:

逐個剔除多余的自變量的算法如下:

1)令集合P ={1，2，…，n}表示模型自變量的序號，令p=n;

5)結(jié)束。集合P 即優(yōu)選模型自變量序號集合。

2.2 基于能量的剔除算法

測角誤差的構(gòu)成從物理機理上而言應(yīng)該是由更小的分量疊合而成，因此不應(yīng)該出現(xiàn)某一自變量的擬合結(jié)果超過誤差本身的量級，故將超過誤差本身量級的自變量剔除。

記t 時刻，某一自變量項xi對于測角誤差E(t)的貢獻度定義為

則某自變量對于測角誤差的貢獻度為

顯然自變量的貢獻度越接近于1，說明自變量越起到主要作用。如果貢獻度遠大于1，說明該自變量對應(yīng)回歸結(jié)果的能量量級遠超過目標(biāo)函數(shù)的量級，不符合測量誤差構(gòu)成的物理機理，故將其剔除。綜上，基于能量的剔除算法的流程可以總結(jié)為:

1)采用全體模型進行回歸;

3)再次進行回歸計算，返回2);

2.3 模型優(yōu)化流程

根據(jù)數(shù)據(jù)相關(guān)性和物理機理選擇自變量之后，就可以根據(jù)最小二乘方法對模型的參數(shù)進行估計。但通常此時的自變量選取不當(dāng)會導(dǎo)致擬合殘差過大，不滿足ε(t)服從高斯白噪聲假設(shè)。故此，本文提出了“選取→完備化→剔除→參數(shù)估計→假設(shè)檢驗”交替進行的循環(huán)算法，其流程可用圖3表示。

圖3 模型優(yōu)化流程Fig.3 Optimization process of model

如圖3所示，在初選自變量時盡量包含所有與測角誤差相關(guān)的因素，而后剔除自變量的同時觀察擬合殘差，如果擬合殘差通過了高斯白噪聲的檢驗，則不需要擴展基函數(shù);如果沒通過則可以考慮進行基函數(shù)的完備化，直到使擬合殘差通過高斯白噪聲的檢驗，得到測角誤差的系統(tǒng)模型。

3 某型彈載雷達數(shù)據(jù)計算與分析

本節(jié)針對雷達實際測角誤差進行分析，首先對雷達測角數(shù)據(jù)進行處理，僅僅保留數(shù)據(jù)特征，故本文也不考慮具體的測角精度;其次，利用前文的方法，辨識測角誤差的系統(tǒng)模型，并進行相應(yīng)的優(yōu)化;最后，利用擬合殘差檢驗的方法對系統(tǒng)模型辨識進行評判，如果擬合殘差通過檢驗，則表明系統(tǒng)模型辨識結(jié)果較好。

3.1 測角誤差實測數(shù)據(jù)的處理

對雷達實測測角誤差進行適當(dāng)?shù)奶幚恚玫綔y角誤差數(shù)據(jù)如圖4所示。

圖4 測角誤差數(shù)據(jù)Fig.4 Angle measurement error data

3.2 模型的辨識與優(yōu)化結(jié)果

首先選擇和擴展自變量，接著先后利用Cp準(zhǔn)則和能量濾波剔除自變量，然后結(jié)合參數(shù)估計與3 次樣條回歸擬合，得到如下結(jié)果:

圖5(a)顯示的是測角誤差數(shù)據(jù)和僅僅采用相關(guān)性選擇出來的自變量進行回歸擬合得到的擬合曲線，圖5(b)顯示的是擬合殘差。可見，僅僅采用相關(guān)性選取的自變量不能夠完全刻畫誤差的特征，故此擬合殘差存在較大的波動。

圖6(a)和圖6(b)分別顯示的是基于物理機理選擇自變量后的擬合效果和擬合殘差，顯然考慮加入物理機理因素的模型能夠更為準(zhǔn)確地刻畫測角誤差的特征。

圖5 僅采用相關(guān)性選取自變量得到的結(jié)果Fig.5 Results obtained by using independent variables which are selected only according to correlation coefficient

圖7(a)和圖7(b)顯示經(jīng)過對基函數(shù)進行過完備化，接著利用Cp準(zhǔn)則和基于能量的剔除算法剔除自變量后的回歸擬合結(jié)果，擬合殘差更加趨于白噪聲。若圖7(b)中的擬合殘差通過了白噪聲的假設(shè)檢驗，則說明系統(tǒng)模型較為準(zhǔn)確。

3.3 擬合殘差的假設(shè)檢驗

接下來，利用χ2檢驗法對圖7(b)中的殘差數(shù)據(jù)進行檢驗，得到的計算表如表1所示。表1中，n表示樣本容量，fi表示落在區(qū)間Ai的樣本數(shù)，^pi表示樣本在對應(yīng)區(qū)間的出現(xiàn)頻率。

表1 χ2檢驗計算表Tab.1 χ2 inspection table

圖6 輔以物理機理選擇的自變量后的結(jié)果Fig.6 Results obtained by using independent variables which are selected according to both correlation coefficient and physical mechanism

圖7 優(yōu)化后的結(jié)果:剩余24 項Fig.7 Results via optimization:24 terms are left

χ2=1 014.2 -1 000 =14.2，查表得χ20.01(5)=15.086 ＞14.2，故在水平0.01 下認(rèn)為殘差數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，其均值為0，均方差為0.009.

4 結(jié)論

本文基于測量物理機理和誤差數(shù)據(jù)特征選取自變量構(gòu)造誤差表示的基函數(shù)，構(gòu)建了系統(tǒng)誤差模型。在優(yōu)選自變量的過程中介紹了Cp準(zhǔn)則剔除算法，提出基于能量的自變量剔除方法，得到優(yōu)選的模型。實驗結(jié)果表明，模型較好地吻合實測測角誤差。本文提供的模型辨識方法也可應(yīng)用到一般裝備的測量誤差系統(tǒng)模型提煉和辨識中。

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