復合材料面層－泡沫金屬夾芯板的振動及吸能特性分析

何柏靈，趙桂平，盧天健

(西安交通大學 機械結構強度與振動國家重點實驗室，陜西 西安710049)

0 引言

復合材料夾芯結構的面層通常由高密度、高剛度的各向異性薄板組成，芯體則由剛度和密度都較低的泡沫材料構成。面層承受切向載荷和彎矩，芯體承受橫向剪切和垂直載荷。隨著復合材料夾芯結構在超音速/高超音速飛行器和艦船中的大量應用，其在沖擊載荷作用下的振動問題日益受到關注。

泡沫夾芯結構振動特性研究方法的不同，主要體現在如何考慮芯層的受力狀態及變形模式。針對泡沫夾芯結構在外載荷作用下彈性變形階段的動態響應，Hause 等［1-2］、Librescu 等［3-4］認為泡沫芯層的厚度遠大于面層厚度，前者受到沖擊載荷作用時的橫向壓縮變形相對其厚度可忽略不計，因此在分析時忽略了芯層的橫向可壓縮性，認為上下面層和芯層的橫向位移一致，但依然考慮芯層的橫向剪切變形。與此相反，Frostig 等［5］、Radford 等［6］、Tagarielli等［7］認為當夾芯結構受到沖擊載荷作用時，泡沫芯層沿厚度方向有不可忽略的橫向壓縮和剪切變形，必須考慮芯層的橫向壓縮和剪切特性。Frostig 等［5］對面層使用了Kirchhoff 理論，對芯層則考慮了橫向壓縮和剪切特性，引入芯層的橫向剪切應力作為未知變量，利用混合應力-位移模型表示芯層的位移場，進而討論了彈性變形時泡沫夾芯結構的靜態響應。Radford 等［6］、Tagarielli 等［7］則通過實驗表明:泡沫夾芯結構在受到沖擊載荷時，沿厚度方向發生了不可忽略的橫向壓縮和剪切變形。

鑒于此，本文認為泡沫金屬夾芯結構的芯層在受到沖擊載荷作用時，其橫向正應變和剪切應變不能忽略。并且，提出了一個考慮芯層橫向壓縮和剪切特性的高階模型，重點分析彈性變形時泡沫夾芯結構的振動響應及能量吸收特性。

1 問題描述與基本方程

由于應用在艦船或飛機副翼上的夾芯結構沿艦身或翼展方向的幾何尺寸遠大于其厚度，為簡化分析，將其等效為平面應變問題處理，如圖1所示。

圖1 泡沫金屬夾芯板Fig.1 Sandwich plate with metal foam core

在模型中，tf為面層厚度，tc為芯層厚度。在高階模型中，采用與厚度方向有關的2 級冪級數描述芯層沿x 方向的位移(圖1)，采用與厚度方向有關的1 級冪級數描述芯層沿z 方向的位移。同時，模型滿足芯層和面層交界處位移連續條件。

模型基本假設:

1)復合材料面層很薄，剛度很大，承受切向載荷和彎矩，遵循Kirchhoff 假設;

2)泡沫金屬芯層剛度較弱，承受橫向正應力和剪切應力，具有橫向壓縮和剪切特性;

3)不考慮泡沫金屬夾芯結構的缺陷，認為面層和芯層理想粘接。

上面層的位移場表示為

式中:v1t、v3t分別為上面層在x 方向、z 方向位移;u1t、分別為上面層中線在x 方向、z 方向位移。

下面層的位移場表示為

式中:v1b、v3b分別為下面層在x 方向、z 方向位移;u1b、u3b分別為下面層中線在x 方向、z 方向位移。

由于中間芯層的變形十分復雜，故引入非線性高階位移場［8］，表示為

式中:v1c、v3c分別為芯層在x 方向、z 方向位移;Φ1c為芯層的形變程度，是引入的撓曲函數;

動能變分δT 可寫成

應變能變分δU 可寫為

由于遵循Kirchhoff 假設，上、下面層沿z 方向的應變為0，只考慮其沿x 方向的應變能;由于中間芯層在z 方向發生壓縮和剪切變形，其在z 方向的應變能遠遠大于x 方向的應變能，中間芯層沿x 方向的應變能忽略不計。

虛功變分δW 可寫成

式中:q3t為作用于上面層的外力。

將(4)式～(6)式代入哈密爾頓方程，得到與位移變分δu1a，δu1d，δu3a，δu3d，δφ1c相關的控制方程分別為:

由方程(11)式求得

將其代入方程(10)式得到

2 方程求解

對位移u1a、u1d、u3a、u3d進行變量分離。令=式中:Ns 為振型階數。

將變量分離的位移表達式代入方程(7)式～(9)式和(12)式，利用加權伽遼金方法進行簡化，得到夾芯結構的振動方程:

求解方程(13)式時引入邊界條件:

初始條件:ua1(x，0)= ud1(x，0)= ua3(x，0)=0)=0.

為了滿足邊界條件，則{φa11(x)，φa12(x)，…，式中:Wi(x)為兩端固支的歐拉-伯努利梁的第i 階正則化振型，定義為式 中:(x)=cosh βix)，βi為cos βcosh β -1 =0 第i 階根，βi=(i+0.5)π ，i=1，2，…，Ns.

假設沖擊載荷作用在夾芯結構上可近似為均勻分布，表達式［9］為

當r=1 時，沖擊載荷變為三角激勵。令沖擊波作用時間tp=0.001 s，壓力p0=200 kPa.

根據給定邊界條件和初始條件，利用4 階Runge-Kutta 法求解振動方程(13)式后利用振型疊加求得整個夾芯結構的位移場。

3 結果與分析

由于現有文獻中很難找到復合材料夾芯板平面應變問題的動態響應研究結果，所以為了驗證本文的理論模型，計算了夾芯板的固有頻率，并與文獻［10］的結果進行了比較，如表1所示。

表1中同時給出了經典層合板理論和有限元軟件ABAQUS 的數值計算結果。在數值計算中，使用2 次高階平面應變單元CPE6MH 剖分芯體網格，使用線性平面應變單元CPE3H 剖分面層網格，結構采用兩端固支邊界條件。可看出，本文計算的夾芯板固有頻率與文獻［10］和ABAQUS 計算的結果非常接近。而經典層合板理論的計算結果遠遠大于其他三者，因為經典層合板理論忽略了芯體的橫向可壓縮性和剪切變形。由此可看出，高階理論能準確預測泡沫金屬夾芯板的模態，進而表明了高階理論計算泡沫金屬夾芯板振動響應的可行性。

表1 夾芯板的前4 階固有頻率Tab.1 The first fourth-order inherent frequency of the sandwich plate

假設H =2tf+tc，夾芯結構的面層由纖維增強復合材料層合板組成，鋪層順序為［3θ/2θ/θ/芯層厚度/θ/2θ/3θ］，芯層由閉孔鋁泡沫組成。

面層材料參數［11］為:=131 GPa，=10.344 GPa，ν13=0.22，ρf=1 627 kg/m3，tf=1 mm;夾芯層材料參數為［12］:Ec=1 GPa，νc=0.3，ρc=250 kg/m3，tc=20 mm.取Ns=8，即采用8 階振型疊加。

夾芯板的質量比例阻尼c 表示［13］為c=εw1，其中w1=1 230 Hz 為夾芯板基頻。

在三角激勵作用下，應用本文的高階理論給出了反映不同面層鋪設角、不同阻尼比及不同芯層厚度的泡沫鋁夾芯板中點撓度的值如圖2～圖4所示。

圖2 面層不同鋪設角度的泡沫夾芯板的振動響應Fig.2 Vibration responses of sandwich plates with foam cores at different laying angles

由圖2可看出，復合材料面層鋪設角度對夾芯板中點撓度的影響十分顯著。在芯層材料和厚度不變的情況下，夾芯板的整體剛度隨面層纖維鋪設方向的不同而改變。當纖維鋪設角度θ =0°時，夾芯板中點撓度最小。

由圖3可看出，在沖擊載荷作用下，泡沫鋁夾芯板的阻尼系數越大，其能量耗散越快，即振幅衰減越快。

由圖4可看出，泡沫鋁芯層越薄，板的振動響應振幅越大，夾芯板越容易破環。

圖3 不同阻尼系數的泡沫夾芯板振動響應Fig.3 Vibration responses of sandwich plates with foam cores with different damping coefficients

圖4 不同芯層厚度的泡沫夾芯板振動響應Fig.4 Vibration response of the sandwich plate with foam core at different core thickness

在三角激勵的脈沖載荷作用下，采用考慮芯層橫向壓縮和剪切變形的高階夾芯板理論，討論泡沫鋁夾芯板的能量吸收行為。

如圖5和圖6所示泡沫鋁夾芯板的面層和芯層各部位在外載荷作用下不同時刻的能量密度變化。

可看出:芯層由于具有橫向壓縮和剪切變形，具有承受橫向正應力和剪切應力的能力，從而可吸收大量能量;由于芯層具有橫向壓縮和剪切變形，在z方向發生壓縮和剪切變形，與z 方向有關的應變能遠遠大于x 方向的應變能，故分析時可僅考慮前者。

圖5 t=0.001 9 s 時面層和芯層的應變能密度Fig.5 Deformation strain desities of facesheet and core at t=0.001 9 s

圖6 t=0.006 2 s 時面層和芯層的應變能密度Fig.6 Deformation strain desities of facesheet and core at t=0.006 2 s

根據芯層應變能密度U2可得:結構兩端固支，芯層兩端不吸能。對于面層而言，因為其遵循Kirchhoff 理論，z 方向應變為0，可只考慮x 方向的應變能。根據面層應變能密度U1可得:結構兩端固支，面層兩端吸能。

4 結論

本文針對泡沫夾芯結構在超音速/高超音速飛行器和艦船中的應用背景，通過高階理論，對泡沫金屬夾芯結構在沖擊載荷作用下的振動及吸能特性進行分析，利用加權伽遼金方法和4 階Runge-Kutta 法求解控制方程，得到問題的數值解。并且將理論預測的夾芯結構振動模態和文獻［10］的計算結果進行比較，說明高階理論在求解泡沫夾芯結構振動響應問題上的可行性。

對于復合材料面層填充泡沫金屬芯體的夾芯結構，改變其材料參數及復合材料面層鋪層角度，通過計算夾芯結構的動態位移ua3，可以得出以下結論:

1)面層鋪層角度會改變泡沫金屬夾芯結構的整體剛度，進而對撓度產生影響:θ =0°，15°，30°三種鋪層角度中，θ =0°時泡沫夾芯板撓度最小、鋪層角度最佳。

2)阻尼系數越大，能量耗散越快，泡沫夾芯板的振幅衰減越快。

3)芯層越厚，泡沫夾芯板的振幅越小，發生變形破壞概率越小。

4)芯層由于具有橫向壓縮和剪切變形特性，可承受橫向正應力和剪切應力，在動載響應中具有良好的吸能特性。

本文基于彈性假設提出的模型具有一定的局限性。當泡沫夾芯在沖擊載荷下產生明顯的塑性變形時，本文方法不再適用。

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