一種新的線性調頻脈沖信號參數估計算法

陳磊，陳殿仁，劉穎

(長春理工大學 電信學院，吉林 長春130022)

0 引言

近年來，在雷達信號處理領域，線性調頻(LFM)脈沖信號參數檢測和估計受到廣泛關注［1］。多種信號處理技術被應用于LFM 脈沖信號的的參數檢測和估計算法中，包含功率譜估計、Wigner-Ville 分布、Choi-Williams 分布等方法的非線性時頻變換技術，用來產生信號的時頻圖像，進而分析信號瞬時頻率隨時間的變換情況［2］。鄧兵等［3］分析了基于分數階傅里葉變換的LFM 脈沖時延估計特性。劉鋒等［4］提出了一種基于聯合Wigner-Ville 分布-隨機Hough 變換改進算法的LFM 信號參數快速估計方法;陳鵬等［5］研究了一種基于離散分數階傅立葉變換的水下動目標線性調頻回波檢測算法;羅潔思等［6］研究了一種基于多尺度LFM 基信號稀疏分解的多分量LFM 信號檢測方法。劉建成等［7］在研究目標徑向速度估計算法時采用了Wigner-Hough變換。

Wigner-Ville 分布可有效地用于單分量的LFM信號參數估計，但是在多分量信號的場合交叉項會干擾信號中心頻率和調頻率的估計;平滑偽Wigner-Ville 分布(SPWVD)和時頻分布級數(TFDS)法可以有效的抑制交叉項的影響，但是會降低估計參數的頻率分辨率［8］;Wigner-Ville-Hough 變換(WVHT)在針對單分量LFM 脈沖信號參數估計時會有較好的效果，但是在多分量多周期LFM 脈沖信號的參數估計時會出現多個峰值，并且在低信噪比環境中增加觀察時間，WVHT 輸出信號的信噪比不會有所提高，這就會影響信號初始頻率和調頻率的檢測和估計性能［9］。本文提出一種基于周期Wigner-Ville-Hough變換(PWVHT)的LFM 脈沖信號的參數估計算法，在進行單分量LFM 脈沖信號參數估計時此算法和WVHT 具有相同的優點，在進行多分量LFM 脈沖信號參數估計時該算法在時間域內對周期和脈寬進行搜索，然后將信號處理結果進行折疊加權，一方面提高了信號真值處的信噪比，另一方面避免了WVHT在進行多分量LFM 脈沖信號參數估計時會出現的交叉項干擾。通過分析和仿真表明，與WVHT 相比，在進行多脈沖分量和多周期參數估計時，PWVHT 性能更優。

1 LFM 脈沖信號的PWVHT

1.1 LFM 脈沖信號的數學模型

在LFM 脈沖信號中，第m 個LFM 脈沖信號的數學表達式為

式中:Am為信號幅值;fm為信號初始頻率;Tz為脈沖重復周期;Tp為脈沖寬度;gm為信號的調頻率，gm=Bm/Tp;t 為時間變量;re ct為矩形信號，且

對信號進行離散化之后得到的雷達信號序列可表示為

式中:n 為雷達離散信號序列號;M 為LFM 脈沖個數;Δ 為采樣周期，Δ=1/fs，fs為采樣頻率。

本文所討論的LFM 脈沖信號的任一個重復周期內參數Am、fm、gm、Tz、Tp均相同。

1.2 PWVHT

Wigner-Ville 分布(WVD)是二次時頻變換方法中最基本的一種，廣泛應用于雷達信號分析領域［10］，離散信號x(n)的WVD 定義為

式中:Rxx(n，k)為x(n)的自相關函數，Rxx(n，k)=x［n+k］x*［n -k］;n 為離散信號的序列號，n =0，1，2，…，N-1(N 為離散信號x(n)的長度);k 為時移變量;Δ 為信號的采樣周期。

WVHT 算法通常使用于LFM 信號參數估計場合中，其作用是在WVD 變換后的時頻圖像中搜索直線，文獻［11］給出了LFM 信號的WVHT 變換為

式中:f 為信號初始頻率;g 為信號的調頻率。

在WVHT 后的(g，f)二維空間內，當g =g1，f =f1(g1，f1為待估計信號的參數準確值)時，WHx(g，f)會出現峰值［12］。

假設一LFM 脈沖信號參數為f1=10 MHz，Tp=10 ms，g1=400 MHz/s，采樣周期Δ =10 ns，當信噪比為-10 dB，脈沖個數M=2 時其WVHT 的Matlab仿真如圖1所示。

當樣本信號中含有2 個脈沖分量時，WVHT 結果中會出現2 個峰值，大小均為1.5×104。當樣本信號中含有M 個分量LFM 脈沖時(M≥2)，WVHT圖中會出現M 個峰值，且峰值的幅值相同，說明WVHT 峰值只由對應的脈沖內的樣本數據計算得到。通過此峰值可以檢測出樣本信號的起始頻率f1和調頻率g1.

圖1 多LFM 脈沖分量信號的WVHTFig.1 WVHT of chirp signal composed of multiple pulses

在噪聲環境中，假設樣本信號x(n)=s(n)+w(n)，n =0，1，…，K -1，且信噪比為SNRi，其中w(n)是均值為0、方差為σ2v的高斯噪聲。則樣本信號x(n)經過WVHT 后輸出信號Wx(g，f)在峰值(f1，g1)處的信噪比［12］可以表示為

式中:var(WHs+w［f1，g1］)為WHs+w［f1，g1］的方差;WHs［f1，g1］為無噪聲干擾的單LFM 脈沖分量信號的 WVHT 在準確估計值(f1，g1)處的值;WHs+w［f1，g1］為噪聲干擾下的樣本信號WVHT 在準確估計值(f1，g1)處的值;K 為樣本信號長度。

由于WVHT 中的任何一個峰值由對應脈沖的樣本數據計算得到，則(6)式中K≤Tz/Δ，即WVHT后的輸出信噪比不會大于((Tz/Δ)2/2)SNR2i/((Tz/Δ)SNRi+1).因此，WVHT 并非最優的多分量LFM脈沖參數估計方法，因為WVHT 并沒有有效地利用所有樣本數據信息。當樣本觀察時間大于一個脈沖周期時，WVHT 輸出信噪比并不會因為觀察時間的增加而變大;當樣本信號信噪比非常小時，圖1中的峰值有可能被淹沒在噪聲中，則無法進行信號的檢測和參數估計。由于每個峰值信號的參數都是相同的，如果將這些數據進行折疊相加，可以進一步對噪聲進行壓縮，提高峰值點的幅值，即提高輸出信噪比。

基于這種思想，針對觀察信號x(n)，n =0，1，2，…，N-1，令其PWVHT 為

式中:Ω 為待估參數，Ω =(f，g);F［n，k］為匹配函數，且

多分量(M ＞1)LFM 脈沖信號的PWVHT 為

式中:n=0，1，…，N-1(N=M×Tz/Δ);信號中的矩形窗只影響上式中的求和區間。假設在Ω0=(f0，g0，Tp0，Tz0)處Pss［n，k］取最大值，則

采用1.2 節中相同參數的樣本信號進行PWVHT 仿真，結果如圖2所示。

圖2 多LFM 脈沖分量信號的PWVHTFig.2 PWVHT of chirp signals composed of multiple pulses

通過PWVHT 運算，圖中只出現一個峰值點，幅值為2.9×104，為圖1中單個峰值幅度的2 倍。參考(11)式和(6)式，K =N/2，這個仿真結果是正確的。

1.3 參數計算

根據(9)式和圖2可知，多分量LFM 脈沖信號的PWVHT 出現一個峰值點，該峰值點的橫坐標為LFM 真實頻率f0的估計值，縱坐標為調頻率的估計值g0.

因此，PWVHT 多分量LFM 脈沖信號參數估計算法實現流程如下:

1)對回波信號進行如(10)式PWVHT;

2)搜索變換結果，并獲得峰值點處的橫坐標和縱坐標;

3)橫坐標為LFM 起始頻率f0的估計值，縱坐標為調頻率g0的估計值。

2 PWVHT 性能分析

2.1 輸出信噪比分析

在噪聲環境中，假設樣本信號x(n)=s(n)+v(n)的信噪比為SNRi，其中n =0，1，2，…，N -1，v(n)是均值為0、方差為σ2v 的高斯噪聲，則樣本信號x(n)經過PWVHT 后輸出信號Px(Ω)的信噪比可以表示為

式中:var(Px(Ω))為Px(Ω)的方差，可表示為

其中:

式中:A 為樣本信號中LFM 脈沖信號分量的幅度。噪聲信號v(n)的自相關函數

所以

式中:N=MTz/Δ.

由(16)式和N 的取值可以看出，當樣本觀察時間小于等于一個脈沖周期時，WVHT 和PWVHT 具有相同的輸出信噪比。當樣本觀測時間大于一個脈沖周期時，WVHT 的輸出信噪比不會再增大，而PWVHT 輸出信噪比隨著觀測時間的增加繼續增加。如圖3所示，對f1=10 MHz，Tz=10 ms，g1=400 MHz/s，采樣周期Δ=10 ns，信號信噪比為-20 dB，觀察時間為30 ms 樣本信號的WVHT 與PWVHT 輸出信噪比進行了仿真。樣本信號WVHT 后的輸出信噪比在觀察時間達到10 ms 時不再增加，而經過PWVHT 輸出的信噪比仍然隨著觀察時間增加繼續變大。

圖3 WVHT 與PWVHT 輸出信噪比與觀察時間的關系Fig.3 The relationship between observation time and output SNR of WVHT and PWVHT

2.2 參數估計精度分析

假設在白噪聲v(n)干擾情況下樣本信號x(n)= s(n)+ v(n)的PWVHT 中的干擾項為δP(Ω)，則

由(17)式可以看出，隨著δPs(Ω)的引入，PWVHT 后的峰值點移動到點(f0-δf，g0+δg)處，則Px(Ω)對f 和g 的一階偏導數在(f0-δf，g0+δg)的取值為0，則

將Ps(Ω)+ δPs(Ω)用泰勒公式將展開，則(18)式和(19)式可寫成

u，v 與噪聲v(n)有關，則

且有

根據(30)式和(31)式，有

將(22)式～(26)式和(29)式分別帶入(32)式和(33)式，可以得到

根據(34)式和(35)式，可以得到參數估計均方誤差函數與輸入信號信噪比和觀察時間之間的關系，圖4為N=16 時估計均方誤差與輸入信噪比的關系，圖5為估計均方誤差與樣本觀察時間的關系。

圖4 N=16 時估計均方誤差與樣本信號SNR 的關系Fig.4 The relationship between signal SNR and estimation mean squared error for N=16

由圖4和圖5可知，當數據長度N 一定時，參數估計誤差隨著樣本數據的SNR 增大而減小，當SNR為定值時，參數估計誤差隨著觀測時間的增長而變小。

2.3 算法仿真分析

針對f1=10 MHz，Tz=30 ms，Tp=10 ms，g1=400 MHz/s，采樣周期Δ =10 ns，SNR 分別為-5 dB和-10 dB，觀測時間為140 ms 的信號經行500 次PWVHT，取其均值和方差，結果如圖6(a)～圖6(d)所示。

圖5 SNR= -10 dB 時估計均方誤差與樣本長度的關系Fig.5 The relationship between sample length and estimation mean square error for SNR= -10 dB

由圖6可知，當觀察時間很小時，f 和g 的估計參數會出現偏差，這說明當時間搜索域沒有達到最優時，估計結果會出現誤差，也就是說，可以通過增加觀察時間來提高參數的估計準確性，同時說明PWVHT 和最大似然估計一樣，屬于漸進有效估計算法。

3 結論

本文在分析了各種不同的LFM 脈沖信號參數估計算法優缺點的前提下，研究了一種基于PWVHT 的LFM 脈沖信號參數估計算法，得到了以下結論:

2)在高斯噪聲環境中，采用PWVHT 進行多分量LFM 脈沖信號參數估計時，信號起始頻率和調頻率的估計均方誤差分別為和是樣本信號信噪比SNR 和樣本長度N 的函數。

3)當樣本長度N 很小時，起始頻率f 和調頻率g 的估計值會出現偏差，這說明當時間搜索域沒有達到最優時，估計結果會出現誤差，也就是說，可以通過增加觀察時間來提高參數的估計準確性，同時說明PWVHT 和最大似然估計一樣，屬于漸進有效估計算法。

圖6 參數估計結果與信號觀察時間的關系Fig.6 The relationship between estimation results and signal observation time

4)在進行多分量LFM 脈沖信號參數估計時，PWVHT 不但提高了信號真值處的信噪比，還在不影響估計參數的頻率分辨率的前提下，解決了WVHT 在進行多分量LFM 脈沖信號參數估計時會出現的交叉項干擾問題。

References)

［1］ 溫景陽，張煥宇，王越.線性調頻脈沖壓縮雷達參數估計方法［J］.北京理工大學學報，2012，32(7):746 -750.WEN Jing-yang，ZHANG Huan-yu，WANG Yue.Parameters estimation algorithm of LFM pulse compression radar signal［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2012，32(7):746 -750.(in Chinese)

［2］ Geroleo F G，Brandt-Pearce M.Detection and estimation of multipulse LFMCW radar signals［C］∥Radar Conference.Washington，DC:IEEE，2010:1009 -1013.

［3］ 鄧兵，王旭，陶然.基于分數階傅里葉變換的線性調頻脈沖時延估計特性分析［J］.兵工學報，2012，33(6):764 -768.DENG Bing，WANG Xu，TAO Ran.Performance analysis of time delay estimation for linear frequency-modulated pulse based on fractional Fourier transform［J］.Acta Armamentarii，2012，33(6):764 -768.(in Chinese)

［4］ 劉鋒，孫大鵬，黃宇.基于聯合Wigner-Ville 分布隨機Hough 變換改進算法的線性調頻信號參數快速估計［J］.兵工學報，2009，30(12):1642 -1646.LIU Feng，SUN Da-peng，HUANG Yu.Fast parameter-estimation of LFM signal based on improved combined WVD and randomized Hough transform［J］.Acta Armamentarii，2009，30(12):1642 -1646.(in Chinese)

［5］ 陳鵬，侯朝煥，梁亦慧.基于離散分數階傅立葉變換的水下動目標線性調頻回波檢測算法的研究［J］.兵工學報，2007，28(7):834 -838.CHEN Peng，HOU Chao-huan，LIANG Yi-hui.Research on discrete fractional Fourier transform-based detection algorithm for LFM echo of underwater moving target［J］.Acta Armamentarii，2007，28(7):834 -838.(in Chinese)

［6］ 羅潔思，于德介，彭富強.基于多尺度線性調頻基信號稀疏分解的多分量LFM 信號檢測［J］.電子與信息學報，2009，31(11):2781 -2785.LUO Jie-si，YU De-jie，Peng Fu-qiang.Multi-component LFM signals detection based on multi-scale chirplet sparse signal decomposition［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2009，31(11):2781 -2785.(in Chinese)

［7］ 劉建成，王雪松，肖順平，等.基于Wigner-Hough 變換的徑向加速度估計［J］.電子學報，2005，33(12):2235 -2238.LIU Jian-cheng，WANG Xue-song，XIAO Shun-ping，et al.Radial acceleration estimation based on Wigner-Hough transform［J］.Acta Electronica Sinica，2005，33(12):2235 -2238.(in Chinese)

［8］ 李亞超，王虹現，邢孟道，等.STTFD 的特性分析及其在線性調頻信號參數估計中的應用［J］.電子學報，2009，37(9):2102 -2108.LI Ya-chao，WANG Hong-xian ，XING Meng-dao，et al.The analysis of the characteristic and the method of the parameters estimation of LFM signal based on STTFD［J］.Acta Electronica Sinica，2009，37(9):2102 -2108.(in Chinese)

［9］ Millioz F，Davies M E.Detection and segmentation of FMCW radar signals based on the chirplet transform［C］∥2011 IEEE International Conference on Acoustics，Speech and Signal Processing.Prague，CS:IEEE，2011:1765 -1768.

［10］ 王宏禹，邱天爽，陳喆.非平穩隨機信號分析與處理［M］.北京:國防工業出版社，2008:311 -313.WANG Hong-yu，QIU Tian-shuang，CHEN Zhe.Nonstationary random signal analysis and processing［M］.Beijing:National Defense Industry Press，2008:311 -313.(in Chinese)

［11］ Geroleo F G，Brandt-Pearce M.Detection and estimation of LFMCW radar signals［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2012，48(1):405 -418.

［12］ Barbarossa S.Analysis of multicomponent LFM signals by a combined Wigner-Hough transform［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1995，43 (16):1511 -1515.