全跨和半跨荷載組合下兩鉸拋物線鋼拱平面內承載力計算方法對比

蔣友寶，謝銘武，廖 強

（1.長沙理工大學 土木與建筑學院，長沙410004；2.東南大學 混凝土及預應力混凝土結構教育部重點實驗室，南京210096；3.湖南湘創建材科技有限公司，長沙410000）

鋼拱結構因具有良好的力學性能及優美流暢的建筑造型，已在工程結構中得到了廣泛的應用，如大跨度的公共建筑、橋梁等。由于鋼拱受力一般較鋼壓彎構件復雜一些，因此很多學者對其平面內穩定承載力設計方法進行了深入研究。Komatsu等［1］較早研究了兩鉸拋物線鋼拱的極限承載力。隨后，Kuranishi等［2］提出了一個針對兩鉸鋼拱的承載力計算公式，該公式由兩段不同的彎矩和軸力相關方程組成。Pi等［3］分析了鋼拱在全跨荷載、半跨荷載、拱頂集中荷載和拱四分點集中荷載單獨作用下的平面內穩定極限承載力，并基于澳大利亞結構設計規范的柱子曲線給出了相應的設計公式。中國學者在鋼拱平面內穩定承載力設計方法方面也開展了較多研究。郭彥林等［4－6］采用試驗研究與彈塑性有限元分析相結合的思路，對不同截面形式的拋物線鋼拱平面內穩定承載力進行了分析；得到了殘余應力對壓彎圓弧鋼拱平面內穩定承載力的影響較小的結論；在此基礎上提出了相應的設計方法。此外，童根樹等［7］考慮實際工程中鋼拱水平支座的非剛性性質，給出了水平彈性支承圓弧鋼拱的平面內穩定承載力設計方法。目前，中國已制定了相應的拱形鋼結構技術規程［8］。但需說明的是，現行規程中的鋼拱平面內承載力驗算式主要是在單一荷載工況下鋼拱承載力分析結果的基礎上得到的［9］；且承載力分析時主要是按一致缺陷（按第1階屈曲模態確定的缺陷）分布來考慮缺陷的不利影響，而已有較多的研究［10－11］表明，一致缺陷分布并非結構的最不利缺陷，甚至可能會高估結構的承載力。例如，蔣友寶［10］對一正交拱式結構在不同缺陷分布情形下的承載力進行了分析，結果表明當缺陷分布按前8階屈曲模態分別考慮時，第8階屈曲模態對應的缺陷最不利，其承載力最低，而按第1階屈曲模態對應的缺陷考慮的承載力則要高出約20%。設計鋼拱結構時一般需考慮全跨荷載和半跨荷載的作用組合，其中半跨分布荷載可為雪荷載［12］等。蔣友寶等［13－14］研究了全跨和半跨荷載組合下鋼拱結構荷載效應函數模型及承載力可靠性設計方法。結果初步表明，由于半跨荷載對鋼拱承載性能的不利影響，導致按現行荷載分項系數設計的鋼拱結構的安全性可能偏低。本文以全跨和半跨荷載組合作用下的兩鉸拋物線鋼拱結構為研究對象，對比分析了不同截面和矢跨比下現行規程方法、文獻［2］建議方法、考慮二階效應的強度設計方法、基于完善和一致缺陷拱模型的有限元分析方法的承載力計算結果的差異，得到了一些有益的結論。

1 鋼拱結構彎矩軸力相關方程

1.1 鋼拱結構技術規程

鋼拱一般承受軸壓力和平面內彎矩的共同作用，現行規程［8］給出的實腹式截面圓弧及拋物線鋼拱的平面內穩定承載力計算公式為

其中：N和M 為拱中截面的最大軸力和最大彎矩；φ為軸心受壓拱的平面內穩定系數；A為截面面積；f為鋼材抗壓和抗拉屈服強度；γx為截面塑性發展系數，可按現行鋼結構設計規范［15］的規定取值；Wx為拱軸線平面內彎曲的毛截面模量；α為一與支承條件、截面形式有關的系數，可按規程中表6.2.3確定，對于兩鉸拋物線箱型截面拱，其取值為0.83。

1.2 文獻［2］方法

該方法選用鋼拱四分點處的截面彎矩M和軸力N來驗算承載力。當N／Ny＞ncr時，驗算式為

當N／Ny≤ncr時，驗算式為

式中：ncr＝（1－bmcr－amcr2）／c；a、b、c、α、β 和 mcr等系數的計算式參見文獻［2］；而Ny和My分別為鋼拱截面受壓屈服軸力和邊緣屈服彎矩，可分別計算為Ny＝Af和My＝Wxf。

1.3 典型鋼拱結構彎矩軸力相關方程對比

設有一兩鉸拋物線鋼拱結構，其跨度為60m，彈性模量Es＝206GPa，按Q345鋼材考慮，屈服強度值為315MPa，矢跨比f1＝0.15，箱型截面尺寸b×h×t1×t2（寬度×高度×翼緣厚度×腹板厚度）。考慮3種截面尺寸，見表1。

表1 不同截面尺寸及對應的長細比

其中長細比λ按式（4）計算。

其中：S為拱軸弧線長度；ix為鋼拱平面內彎曲的截面回轉半徑；fy為鋼材屈服強度標準值。

對于3種截面的鋼拱結構，規程方法和文獻［2］方法對應的彎矩軸力相關方程見圖1。可知，在鋼拱截面給定的情形下，當彎矩值大于某一很小的數值時，規程方法的N－M 相關曲線在文獻［2］建議方法的N－M 相關曲線的上方，即此時按文獻［2］建議方法設計的鋼拱驗算截面所能承受的內力要小一些；但當彎矩很小時，規程方法的N－M相關曲線卻反而位于文獻［2］建議方法的N－M相關曲線的下方，即此時按規程方法設計的鋼拱驗算截面所能承受的內力要小一些。

圖1 規程方法和文獻［2］方法的N－M 相關曲線比較

而兩種方法選用的驗算截面并不相同，規程方法采用內力最大值截面，文獻［2］方法采用四分點截面。顯然規程方法采用的內力更為不利，因此當彎矩很小時按規程方法設計所能承受的極限荷載較小，要保守一些，見4.2節；而當彎矩較大時，兩種設計方法的保守程度還需進一步深入分析方能確定，具體見4.3節。

2 鋼拱結構極限荷載計算方法

2.1 基于彎矩軸力相關方程的計算方法

對于承受全跨荷載g和半跨荷載q的兩鉸拋物線鋼拱結構，見圖2。當采用一階分析、內力線性組合的原則來求得截面軸力和彎矩值時，一般有

其中：c1（q／g）和c2（q／g）分別表示加載比例為q／g時彎矩和軸力對應的荷載效應系數；F為加載幅值。

圖2 全跨和半跨荷載組合下兩鉸鋼拱結構計算模型

由于規程方法和文獻［2］方法的承載力驗算式均是按一階分析內力來考慮的，因此將式（5）和式（6）分別代入式（1）、式（2）和式（3）即可求得加載比例為q／g時的極限荷載值。

2.2 基于一致缺陷拱模型的有限元方法

該方法是指在建立鋼拱有限元模型時，按照拱軸線線形和最低階屈曲模態分布的變形來確定鋼拱節點的位置。文中一致缺陷拱模型中考慮的最大缺陷幅值為S／500。

選用ANSYS軟件進行分析，為提高分析精度，采用能同時考慮幾何非線性和材料非線性特性的beam188單元來模擬鋼拱，其中鋼材按理想彈塑性材料考慮。由于按中國建筑鋼材考慮的殘余應力對壓彎鋼拱平面內承載力的影響較小［6］，因而分析時暫不考慮殘余應力的影響。

2.3 基于完善拱模型的有限元方法

考慮到一致缺陷拱模型的承載力并非最低，如文獻［2］建議的承載力驗算式（2）和式（3）即是在完善拱模型承載力計算結果的基礎上得到的。

作為對比，文中還建立了完善拱的有限元模型。有限元分析仍選用ANSYS軟件，其建模、求解思路與一致缺陷拱模型相同。

2.4 考慮二階效應的強度設計方法

德國鋼結構規范DIN18800［16］建議了一種鋼拱平面內穩定承載力設計方法，即對鋼拱進行二階彈性分析，并使計入等效幾何缺陷影響的最大應力不超過0.9f。

這種方法實際上是一種強度設計方法［6］。考慮到殘余應力的影響不大，且分析時尚未考慮截面進入塑性，因而其最大應力可放寬至1.0f。考慮二階效應的強度設計方法對應的承載力驗算式為

其中：σ為截面正應力；N2nd和M2nd為考慮二階效應的截面軸力和彎矩，其余變量同式（1）。

由于一致缺陷可能并非最不利，因此下文采用該方法計算極限承載力時按完善鋼拱考慮。

3 全跨和半跨滿布荷載下極限荷載計算對比

3.1 參數分析說明

此處對比各種計算方法的差異時，半跨荷載先考慮為半跨滿布荷載。對于兩鉸拋物線鋼拱，其承載力的影響因素主要有矢跨比和截面等參數。為此，以1.3節中的截面2鋼拱結構為基準模型，通過變化截面和矢跨比參數，得到多個鋼拱模型。然后采用5種方法：規程方法、文獻［2］方法、基于一致缺陷拱模型的有限元方法、基于完善拱模型的有限元方法和考慮二階效應的強度設計方法分別計算其極限荷載。

3.2 不同截面下的對比分析

對于表1中3種不同截面的鋼拱結構，其在不同荷載組合比例下的極限荷載計算結果見圖3。

由圖3可知，在各種截面下不同方法計算得到的極限荷載結果差異較大。但總體來說，極限荷載計算結果大致可分為3類：規程方法和基于一致缺陷拱模型的有限元方法得到的極限承載力較為接近，為第1類；考慮二階效應的強度設計方法與文獻［2］建議方法的計算結果較為接近，為第2類；基于完善拱模型的有限元方法得到的計算結果與上兩類結果有不小的差異，可歸為第3類。

圖3 不同截面下按各種方法計算的極限荷載對比

當半跨滿布荷載占高比重時，即q／g大于某一臨界值r0時，第1類計算結果最高，第3類計算結果次之（截面3稍微不滿足），第2類計算結果最低。對于截面1、截面2和截面3，這一臨界值r0均約為0.20。而當全跨荷載占高比重時，即q／g小于某一值時，第3類計算結果最高，第2類計算結果次之，第1類計算結果最低。

3.3 不同矢跨比下的對比分析

在基準模型中拱矢跨比f1為0.15，當其變化為0.1和0.2時，其極限荷載的計算結果見圖4。

從圖4中可以看出，5種方法得到的鋼拱結構極限荷載的變化趨勢與矢跨比f1＝0.15時的情形（圖3（b））基本相同。但對于矢跨比f1＝0.2時的情形，臨界值r0約為0.10。

圖4 不同矢跨比下按各種方法計算的極限荷載對比

3.4 計算結果總結

依據上述不同截面、矢跨比下的兩鉸拋物線鋼拱結構極限荷載計算結果，可知5種方法得到的計算結果雖有較大差異，但大致可分為3類。

由于精確地確定鋼拱最不利缺陷分布較為困難，因此當無法得知何種缺陷分布較為不利時，基于完善拱模型的有限元方法的計算結果可作為一個較好的比較參考值。而參數分析結果表明：當半跨滿布荷載占高比重時，規程方法得到的極限荷載值會大于同荷載比例下的參考值，最高可超出約20%。這表明此時規程方法計算得到的極限荷載值偏于不保守，因而按規程方法設計鋼拱結構將偏于不安全。

另外，當全跨荷載占高比重時，如僅有全跨荷載（q／g＝0），規程方法得到的極限荷載值最低，這表明此時按規程方法設計鋼拱結構將偏于保守。

4 主要計算結果的原因分析

4.1 計算結果可歸為3類

需說明的是，規程方法和文獻［2］方法給出的平面內穩定承載力計算式也是在大量鋼拱結構承載力有限元分析結果的基礎上得到的。因此文中討論的5種方法都可歸為有限元方法。

由于影響鋼拱結構極限荷載值的因素有初始缺陷、殘余應力和塑性發展程度等，而全面考慮這些因素精確求解鋼拱結構極限荷載值的難度非常大，因此分析時往往會根據實際需要而作出一些簡化。上述5種方法對這些因素的考慮情形見表2。可見不同方法對這些因素的考慮方式均不完全相同，因此得到的計算結果必然有較大差異。

表2 不同方法考慮的影響因素對比

已有的較多研究［6，10－11］表明，初始缺陷對壓彎受力結構的承載力影響較大。因此根據這一特點，可首先將上述5種方法歸為兩類，即不考慮缺陷的文獻［2］方法、基于完善拱模型的有限元方法和考慮二階效應的強度設計方法為一類；考慮初始缺陷的規程方法和基于一致缺陷拱模型的有限元方法為一類。再考慮殘余應力和塑性發展對結構承載力的影響，其中殘余應力為不利因素而塑性發展為有利因素；顯然若只考慮兩個因素的其中之一，則要么會過低估計結構承載力，要么會過高估計結構承載力，即導致承載力計算結果會有一個較大的偏差；從這個角度考慮可將不考慮殘余應力而僅考慮塑性發展的基于完善拱模型的有限元方法的計算結果單獨列選出來作為一類。因此最終可判定5種方法的計算結果大致可分為3類。

4.2 全跨荷載占高比重時規程結果保守較多

規程方法較基于完善拱模型的有限元方法保守的原因較為簡單，即當全跨荷載占高比重時不考慮初始缺陷的完善拱結構的受力狀況接近于純壓受力狀態，彎矩很小，這是一種較理想的情形，顯然高估了鋼拱結構的極限荷載。因而以下主要分析全跨荷載占高比重時規程方法較文獻［2］方法保守的原因。

規程方法和文獻［2］方法都是基于彎矩軸力相關方程來計算極限荷載值的。區別在于，規程方法的承載力計算式（1）是按各截面最大軸力和彎矩考慮的，而文獻［2］方法卻是按l／4截面軸力和彎矩考慮的，因此即使對于同一鋼拱結構，兩種方法計算承載力時所用的荷載效應系數值也會不同。為此定義兩個系數rM和rN，其計算式分別為

可見這兩個系數反映了截面最大內力與l／4截面內力的比值。表3給出了f1＝0.15的鋼拱結構基準模型和將f1變化為0.1和0.2情形時rM和rN的計算結果。

由表3可知，鋼拱結構最大軸力和l／4截面軸力的效應系數比值隨荷載比例q／g的變化較明顯，即rN可取區間［1.05，1.37］內的多個分散的相應值。而最大彎矩和l／4截面彎矩的效應系數比值則隨q／g的變化較不明顯，基本上僅取兩個值，即q／g＝0時取較大值，約為1.33，其余荷載比例值下均約為1.0。

表3 rM和rN隨荷載比例的變化

可見，當全跨荷載占高比重時，按最大彎矩和軸力考慮的規程方法對應的設計內力（尤其是彎矩）取值較文獻［2］方法大。但需指出的是，全跨荷載占高比重時，總體上鋼拱結構受力將以受壓為主，總彎矩將較小，這樣規程方法對應的設計抗力取值將較小（見圖1）。綜合設計內力和抗力兩個方面，可知采用規程方法設計鋼拱結構將較文獻［2］方法保守較多。

4.3 半跨滿布荷載占高比重時規程結果較不保守

采用的分析思路為：在完善拱模型上施加規程方法計算所得的極限荷載，然后考慮幾何非線性效應進行有限元分析，檢驗完善拱結構中應力的大小。以文中兩鉸拋物線鋼拱基準模型為例，圖5給出了不同q／g時完善拱模型的應力分布情形。

可看出，在規程方法計算所得的極限荷載作用下，當q／g在［0.2，∞］內取值時，完善拱結構的較多區域內的應力比均超過1.0較多，最高達1.4（q／g＝0.5和q／g＝1.0）。這表明當施加的荷載值尚未達到規程方法計算的極限荷載時，完善拱截面已開始進入塑性，因而半跨滿布荷載占高比重時規程方法計算結果要偏于不保守。同時，由于規程方法是按一致缺陷模態來考慮的，這亦表明半跨滿布荷載占高比重時完善拱結構的受力較一致缺陷拱結構不利一些。

圖5 規程方法求得的極限荷載下完善拱的應力分布

由于半跨滿布荷載占高比重的情形涵蓋了大部分荷載組合比例值，因此按現行規程設計兩鉸拋物線鋼拱承載力會偏于不安全的現象應引起重視。

5 全跨和半跨最不利荷載組合下承載力計算

為進一步明確不同計算方法的差異，繼續考察半跨荷載為按最不利影響線布置的情形。

5.1 基于彎矩影響線的半跨不利荷載確定

一般來說，鋼拱結構受較大彎矩時較為不利，因此為確定最不利荷載組合下的半跨荷載，分別選用l／8、l／4、3l／8、l／2截面作為控制截面，以截面的彎矩影響線作為確定最不利半跨荷載位置的依據。各截面的彎矩影響線如圖6所示。

圖6 控制截面彎矩影響線

可知，當半跨荷載按影響線加載時，l／4截面的彎矩最大（對于等截面鋼拱，此時較為不利），對應的半跨荷載布置區域為0～0.43l。

5.2 承載力計算結果

為明確比較重點，此處僅對比規程方法、完善結構有限元方法和一致缺陷結構有限元方法的差異。當半跨荷載按上述最不利荷載布置時，對于表1中三種不同截面的鋼拱結構，其在不同荷載組合比例下的極限荷載計算結果如圖7所示。

圖7 不同截面下按各種方法計算的極限荷載對比

可見，與半跨滿布荷載情形類似，考慮半跨荷載的最不利布置后，規程方法計算結果與一致缺陷有限元分析結果仍較為接近；全跨荷載占高比重時規程結果仍會保守較多；半跨滿布荷載占高比重時規程結果仍然較不保守。

但需說明的是，當鋼拱長細比較小時，如圖7（c），半跨不利荷載占高比重情形下規程結果較不保守的程度會變得不明顯一些。另外，由于上述半跨不利荷載（0～0.43l）布置與半跨滿布荷載（0～0.5l）布置較為接近，因而按半跨不利荷載情形計算得到的極限荷載值僅略低于半跨滿布荷載下的對應值。

6 結論

考慮全跨荷載與半跨荷載的組合，對兩鉸拋物線鋼拱承載力計算的多種方法進行了對比分析，得出以下結論：

1）按規程方法計算得到兩鉸拋物線鋼拱結構極限荷載值與考慮一致缺陷、幾何非線性和材料非線性影響，但不考慮殘余應力影響的有限元分析結果較為接近。

2）當全跨荷載占高比重時，按規程方法得到的極限荷載值在文中分析參數范圍內均較保守。

3）當半跨荷載占高比重時，按規程方法設計兩鉸拋物線鋼拱結構會偏于不安全。原因主要是此時一致缺陷分布并非最不利的缺陷形式，其對應的極限荷載值甚至會高于完善拱模型的極限荷載值。

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