基于裝配自由度分析解決欠約束問題

王 浪， 張京英， 楊 薇， 樊 瓊

（北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081）

基于裝配自由度分析解決欠約束問題

王 浪， 張京英， 楊 薇， 樊 瓊

（北京理工大學機械與車輛學院，北京 100081）

裝配是機械制造過程中的一個重要環節，在裝配過程中，經常會遇到欠約束問題。在復雜裝配環境下，某個裝配零件的欠約束會對其他零件的裝配產生意想不到的結果。裝配時，約束條件和零件自由度之間存在一種內在聯系，通過建立基體和目標零件的自由度空間坐標系，對約束條件和自由度關系分析，得到約束條件和自由度關系的邏輯值，通過邏輯值判斷剩余自由度的個數和類型，從而為快速解決欠約束問題提供了一種途徑。

欠約束；自由度分析；邏輯值；裝配；空間坐標系

裝配是機械制造過程中的一個重要環節。產品裝配所需工時占產品生產制造總工時的40%～60%[1]。裝配求解問題是三維幾何造型中的基本問題，其實質是約束滿足問題，即通過一組幾何裝配約束推理求得實體的空間位置和方向[2]。

欠約束是指零件在裝配時，沒有被完全約束，能在某個方向運動。在裝配體比較簡單時，欠約束問題不明顯，但是在大型復雜的裝配體中，如果某個零件存在欠約束，那么以此零件表面為約束條件的零件以及其他相關的零件就會在裝配時發生錯亂，產生意想不到的結果，這就是欠約束問題帶來的麻煩。欠約束問題經常體現在軸與孔的裝配約束中，當某個螺釘需要裝配在板件的孔上時，通常采用軸對齊和貼合兩種約束方式就能在外觀上達到基本的裝配要求，但螺釘還是可以繞軸線旋轉，這就是欠約束。傳統上習慣的做法是置之不理，因為零件已經達到基本的裝配要求。如果要解決這個欠約束，傳統通常是在螺釘和板件上新建兩個平面，利用平面約束關系來限制螺釘的轉動，但在大型復雜的裝配體中操作非常繁瑣。

針對欠約束問題，為使得零件完全被約束，本文通過建立自由度空間坐標系，找出自由度和約束條件的相互關系，得到邏輯值，為快速解決欠約束問題提供了一條有效的途徑。

1 剛體自由度和常見約束類型歸類

1.1 剛體自由度

自由度分析法是一項用以求解一組剛體的位置和方向以滿足特定幾何約束的技術[3]。自由度是確定一個幾何體或系統所必需的獨立的坐標或參數的個數[4]。一個剛體在空間任意運動時，可分解為 3個平動自由度和 3個轉動自由度。如圖1所示，在空間坐標系中，一個沒有受到平任動何自約由束度的可剛表體示，為沿、著X，和Y→，, Z繞軸X方，向Y，的Z3個軸方向的3轉動自由度可表示為 Rx、 Ry和 Rz。

圖1 剛體的自由度空間坐標系

1.2 常見約束類型

零件裝配的過程實際上就是使被裝配的零件逐步滿足約束的過程[5]，零件之間的約束是通過兩個零件上的幾何元素的不同配合來完成的[6]。常見約束類型如表1所示，這些約束類型在本質上是一致的，都是由平面+平面、線+線或平面+線的約束組成，因此，零件裝配過程主要是由這3種約束來限制零件的運動，使零件的自由度完全為零。

表1 約束類型

2 建立約束條件和自由度的關系，計算邏輯值

2.1 建立自由度空間坐標系

在零件裝配過程中，平面約束和軸約束是裝配過程中遇到最多的約束，下面主要對這兩種約束類型的自由度進行分析。在零件裝配過程中，定義已經被完全約束自由度為零的零件稱為基體，建立基體的空間自由度坐標系如圖2(a)所示，定義這個基體的空間自由度坐標系為基坐標系，基體自由度為零，但是平動和轉動的自由度方向依然存在。定義待裝配的零件為目標零件，建立目標零件的空間自由度坐標系如圖2(b)所示，目標零件有沿 X1， Y1， Z1軸方向的平動自由度和繞 X， Y， Z軸

111的轉動自由度 Rx1、 Ry1、 Rz1。對裝配→過程中目標零件自由度的分析就轉變為分析 i1、 →j1、 k→1和 Rx1、 Ry1、 Rz1這 6個由自由度構成的矢量相對基坐標系的位置關系。

圖2 自由度空間坐標系

2.2 面+面約束和自由度關系的分析與計算

表2 面+面約束和自由度關系

表3 A1、A2和A3邏輯與運算

2.3 線+線約束和自由度關系的分析和計算

表4 線+線約束和自由度關系

表5 B1、B2和B3邏輯與運算

3 復合約束條件和自由度關系的實例分析計算

下面以螺釘和板的裝配關系為例說明，將螺釘裝入板上的孔中，采用線+線和面+面的聯合約束方式對螺釘的自由度進行分析。

使用軸對齊方式使螺釘的軸線和孔的軸線對齊，建立如圖3所示的自由度空間坐標系，目標零件的軸線方向向量為孔的軸線的方向向量為，根據表4中可得到如圖3所示的結果，圖3中的紅色×符號表示目標零件螺釘的自→由度被限制住，螺釘只剩下兩個自由度，即和 Rz1（一個平動自由度和一個轉動自由度），得到的邏輯值為B3=001001。

圖3 軸對齊約束方式

使用平面貼合約束方式使螺釘的下表面和板的上表面相貼合，如圖4所示建立自由度空間坐 根k→1據，標 表作系 為，2基中目體標(的零 ，板件的螺)上 ，釘表可下面得表的到面方如的向圖方向4向量所向為示量的，為結果，圖中螺釘處有紅色×符號的 3個自由度被限制，只剩下 、 和 Rz13個方向的自由度，得到的邏輯值為A3=110001。

圖4 平面貼合約束方式

通過軸對齊和平面貼合的復合約束方式，得到的螺釘的自由度如圖5所示，螺釘只剩下Rz1方向的自由度，而采用邏輯值直接進行與運算可得A3·B3=000001，結果中的1表示的是 Rz1方向的自由度，與實際復合約束結果一致。

裝配過程中，為使得螺釘完全被約束，自由度為零，還需要利用其他平面的約束方式，使得 Rz1方向的自由度被限制，但是由于目標零件的裝配已經達到基本要求，就沒必要再重新構建平面，新建約束。對于欠約束，系統可以向用戶彈出一個提醒對話框，告知約束不足，同時系統可通過邏輯值的運算，進行(，)或(，)操作，使得邏輯值為 000000，這樣目標零件螺釘被完全約束，自由度為零。

圖5 復合約束方式

4 結 論

約束條件和自由度之間存在內在聯系，通過建立基體和目標零件的自由度空間坐標系，對約束條件和自由度關系進行分析，得到約束條件和自由度關系的邏輯值，邏輯值中1的個數和位置決定了目標零件的自由度的個數和具體類型。在裝配過程中，通過控制或來控制目標零件的自由度，使邏輯值為000000，目標零件自由度變為零，目標零件被完全約束，這為快速解決欠約束問題提供了一種有效途徑。

[1] 陳萬領, 嚴曉光, 陳卓寧, 賓鴻贊. 面向三維 CAD的裝配順序建模系統研究[J]. 中國機械工程, 2005, 16(20): 1839-1842.

[2] 周 昀, 袁 波, 胡事民, 孫家廣. 基于自由度歸約分析的裝配求解新方法[J]. 計算機輔助設計與制造, 1998, (11): 33-35.

[3] 張紅哲, 侯文彬, 胡 平, 李運興. 模具裝配中求解約束的自由度分析算法[J]. 機械設計與制造, 2003, (1): 38-39.

[4] 程志明, 韓兆洲. 自由度的認識與應用[J]. 統計與決策, 2011, (12): 167-169.

[5] 張 翀, 周經野, 韓忠愿. 基于自由度分析的裝配體約束求解[J]. 湘潭大學自然科學學報, 2006, 28(1): 41-45.

[6] 彭 享, 郭連水. 自由度描述與裝配約束圖求解方法的研究[J]. 機械工程師, 2007, (12): 57-59.

Resolution of Under-Constraint Problem Based on DOF Analysis During Assembly Process

Wang Lang, Zhang Jingying, Yang Wei, Fan Qiong
(School of Mechanical Engineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China )

Assembly is an important part in the process of mechanical manufacturing. Under-constraint often exists in the assembly process. If a part is in an under-constraint situation during a large and complex assembly process, it will bring an unexpected result to the related parts which take the surface of the part as constraint reference. To solve the under-constraint problem, the relationship between degrees of freedom (DOF) and constraints is established by building space coordinate system. Logical values can be obtained from the tables. The numbers and types of DOF are determined by logical values, and it provides a quick method to solve the under-constraint problem.

under-constraint; DOF analysis; logical value; assembly; space coordinate system

TP 391.72

A

2095-302X (2014)02-0226-04

2013-04-18；定稿日期：2013-06-13

王 浪（1989-），男，湖北武漢人，碩士研究生。主要研究方向為機械設計。E-mail：603787864@qq.com