可乘性組合逼近的一個下界

高桂寶，杜鴻科

（1.運城學院 應用數學系，山西 運城 044000；2.陜西師范大學 數學與信息科學學院，西安 710062）

1 預備知識

本文子空間是Hilbert空間H中的閉子空間.如果W?H，則其正交補記為W⊥，W上的正交投影記為PW.關于Hilbert空間中兩個子空間的性質研究目前已有許多結果［1－6］.本文用算子矩陣的分塊技巧證明了與Hilbert空間H的兩個子空間W和L有關的可乘性組合逼近的一個定理.文獻［3］得到了關于其可加性組和逼近的一個類似定理.

記H中有界線性算子全體組成的集合為B（H）.若A?B（H），A的伴隨算子記為A＊.若A滿足A＝A＊，則稱其為自伴隨的.若A對任意的x∈H滿足（Ax，x）≥0，則稱其為正的.若A是正算子，其平方根記為A1／2.算子A滿足‖A‖≤1稱為壓縮的.

文獻［7－8］討論了冪等矩陣線性組合的冪等性，本文討論關于W和L的可乘性組合逼近與W＋L上正交投影的差在范數上的估計，其定義［4］為

2 主要結果

［1］鄧春源，杜鴻科.兩子空間的公共補與 Groβ問題 ［J］.數學學報：中文版，2006，49（5）：1099－1112.（DENG Chunyuan，DU Hongke.Common Complements of Two Subspaces and an Answer to Groβ’s Question［J］.Acta Mathematica Sinica：Chinese Series，2006，49（5）：1099－1112.）

［2］DU Hongke，DENG Chunyuan.A New Characterization of Gaps between Two Subspaces［J］.Proc Amer Math Soc，2005，133（10）：3065－3070.

［3］杜鴻科，高桂寶，王月清.兩個子空間之間的幾何特征 ［J］.數學物理學報，2012，32A（5）：879－891.（DU Hongke，GAO Guibao，WANG Yueqing.Geometry Characterizations between Two Subspaces［J］.Acta Mathematica Scientia，2012，32A（5）：879－891.）

［4］Hegland M，Garcke J，Challis V.The Combination Technique and Some Generalizations［J］.Linear Algebra and Its Applications，2007，420（2／3）：249－275.

［5］Spitkovsky I.Once More on Algebras Generated by Two Projections［J］.Linear Algebra Appl，1994，208／209：377－395.

［6］DENG Chunyuan，DU Hongke.A New Characterization of the Closedness of the Sum of Two Subspaces［J］.Acta Mathematica Scientia，2008，28B（1）：17－23.

［7］Baksalary K J，Baksalary O M.Idempotency of Linear Combinations of Two Idempotent Matrices［J］.Linear Algebra Appl，2000，321（1／2／3）：3－7.

［8］Baksalary O M.Idempotency of Linear Combinations of Three Idempotent Matrices，Two of Which Are Disjoint［J］.Linear Algebra Appl，2004，388（1）：67－78.