基于Washout濾波器的Van der Pol－Duffing系統的Hopf分岔控制

杜文舉，張建剛，俞建寧，安新磊

（蘭州交通大學 數學系，蘭州 730070）

Van der Pol－Duffing方程的非線性部分含有Van der Pol系統維持自激振動的非線性阻尼項和Duffing系統三次非線性恢復力項.文獻［1－6］研究了Van der Pol－Duffing系統的動力學行為；文獻［7］研究了Hopf分岔的控制問題；文獻［8］設計了閉環系統，并對一個三維熱對流混沌模型的Hopf分岔進行控制；文獻［9］對一個七維連續非線性系統的Hopf分岔進行了控制；文獻［10］利用設計的轉換控制器研究了光滑平面系統極限環的產生、幅值及其穩定性；文獻［11］利用設計的二次非線性控制器，將具有潛在威脅的亞臨界Hopf分岔控制為超臨界Hopf分岔；文獻［12］對耦合的Van der Pol振子采用攝動法和多尺度法研究極限環幅值控制；文獻［13］基于 Wash－out－filter方法為非線性系統設計Hopf分岔狀態反饋控制器，在保持平衡點不變的情況下，使系統在期望的參數值處，將原來發生的亞臨界Hopf分岔轉化為超臨界Hopf分岔，并保證了系統在參數值范圍內是漸近穩定的；文獻［14］介紹了動分岔的相關理論及目前非線性系統中常用的兩種分岔控制方法，并論述了用Washout－filter法對電力系統的動分岔進行控制.本文基于Washout濾波器設計一種狀態反饋控制器，并討論控制增益對Hopf分岔的存在性及極限環幅值的影響.

本文對同時含有平方項和5次冪項的Van der Pol－Duffing系統進行研究，其動力學方程為

其中：b1，b2，b3分別為非線性剛性系數；f為振幅；Ω為外干擾力頻率；ω0為系統的固有頻率.

1 自治系統的Hopf分岔分析

因此，當μ＝0時，系統（2）在平衡點E0處發生余維一的亞臨界Hopf分岔.如圖1所示.由圖1可見，當μ＝－0.05＜0時，系統存在不穩定的焦點；當μ＝0.5＞0時，系統存在為穩定的焦點和不穩定的極限環.

圖1 μ取不同值時系統（2）的相圖Fig.1 Phase diagram of system （2）with different values ofμ

2 基于Washout濾波器的反饋控制

對方程（3）施加Washout濾波器控制，則受控系統為

其中u＝k1（y－mv）＋k2（y－mv）3，k1和k2分別為線性和非線性控制增益.實際應用中可通過調節k1和k2值的大小控制Hopf分岔的產生、極限環幅值的大小和Hopf分岔的類型及其穩定性.

Washout濾波器不改變平衡點的類型，系統（9）在平衡點E0＝（0，0，0）處的Jacobi矩陣為

相應的特征多項式為

根據Hopf分岔定理［17］，系統（9）在平衡點E0發生Hopf分岔時滿足的參數條件為

圖2 線性控制增益k1與分岔參數μ的關系曲線Fig.2 Relation curve between the linear control gain k1and the bifurcation parameterμ

當參數ε＝0.2，ω0＝1，m＝0.5時，線性控制增益k1與分岔參數μ的關系如圖2所示.由圖2可見，μ隨k1的增大而增大.

當k1＝0時，系統在μ＝0處發生Hopf分岔，與未加控制器的情況一致.若k1＝0.5，k2＝0.2，則可求得分岔臨界值μ0＝2.071 1，即線性控制器使系統的Hopf分岔點延后，消除了μ＝0處的Hopf分岔現象，如圖3所示.若k1＝－0.5，k2＝0.2，則可求得分岔臨界值μ0＝－1.909 8，即線性控制器使系統的Hopf分岔點提前，如圖4所示.

圖3 k1＝0.5，k2＝0.2，μ＝2.071 1時系統（9）的時間響應圖（A）和相圖（B）Fig.3 Time history（A）and phase diagram （B）of system （9）with k1＝0.5，k2＝0.2，μ＝2.071 1

圖4 k1＝－0.5，k2＝0.2，μ＝－1.909 8時系統（9）的時間響應圖（A）和相圖（B）Fig.4 Time history（A）and phase diagram （B）of system （9）with k1＝－0.5，k2＝0.2，μ＝－1.909 8

下面討論非線性控制增益k2對系統的影響.固定參數ε＝0.2，ω0＝1，m＝0.5，b1＝3，b2＝1.2，b3＝2.5，Washout控制器設計為

若μ2＞0（μ2＜0），則Hopf分岔是超臨界的（亞臨界的），當m＞m0（m＜m0）時存在周期解；若β2＜0（β2＞0），則周期解在中心流形上是穩定的（不穩定的）；當τ2＞0（τ2＜0）時，周期是遞增的（遞減的）.若非線性控制增益k2＝0.5，則u＝0.5（y－0.5v）＋0.5（y－0.5v）3，通過計算可得

此時，受控系統（9）在平衡點E0發生超臨界Hopf分岔.

受控系統（9）的極限環幅值近似解為受控系統（9）的極限環幅值r與非線性控制增益k2的關系曲線如圖5所示.由圖5可見：若k2＞0，則極限環的幅值增大；若k2＜0，則極限環的幅值減小；當k2→－0.007時，r→0，即不再發生 Hopf分岔.

圖5 極限環幅值r與非線性控制增益k2的關系曲線Fig.5 Relation curve between the limit cycle amplitude and the nonlinear control gain

若k2＝0，即未添加非線性控制器時，系統（9）的極限環幅值r＝0.344 5，此時的極限環如圖6（A）所示；若k2＝－0.007，則系統（9）的極限環幅值r＝0.098 1，即添加非線性控制器減小了極限環幅值，此時的極限環如圖6（B）所示；若k2＝0.1，則系統（9）的極限環幅值r＝1.295 1，即添加非線性控制器增大了極限環幅值，此時的極限環如圖6（C）所示；將上述3個極限環在相同坐標下比較，其控制效果如圖6（D）所示.

圖6 不同非線性控制增益k2下的極限環Fig.6 Limit cycle amplitude under different nonlinear control gains

綜上，本文研究了同時含有平方項和5次冪項的Van der Pol－Duffing系統.先對自治的Van der Pol－Duffing系統進行了Hopf分岔分析，通過非線性動力學理論，得到了Hopf分岔的存在性及發生Hopf分岔的條件.然后基于Washout濾波器設計了狀態反饋控制器，討論了控制增益對Hopf分岔的存在性及其極限環幅值的影響，并用數值模擬方法研究了參數對系統分岔的影響.

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