三次平面H-Bézier螺線

蔡華輝， 柳炳祥， 程 燕

（1. 景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院信息工程學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333000；2. 景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院設(shè)計(jì)藝術(shù)學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333000）

三次平面H-Bézier螺線

蔡華輝1， 柳炳祥1， 程 燕2

（1. 景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院信息工程學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333000；2. 景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院設(shè)計(jì)藝術(shù)學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333000）

基于光順曲線設(shè)計(jì)需求，一條曲率單調(diào)且曲率正負(fù)不變的三次平面H-Bézier螺線段被構(gòu)造。由于此螺線具有起點(diǎn)曲率為零的特性，它可以替代回旋曲線作為道路設(shè)計(jì)中的緩和曲線。同時(shí)螺線還含有形狀參數(shù)，故它具有曲線形狀可調(diào)性的優(yōu)點(diǎn)。最后，利用此H-Bézier螺線，構(gòu)造了兩直線間滿足G2連續(xù)的緩和曲線。

H-Bézier螺線；單調(diào)曲率；緩和曲線

螺線，是曲率恒正或恒負(fù)，且曲率單調(diào)變化的平面曲線[1]。由于螺線在曲線內(nèi)部不包含曲率極值點(diǎn)、拐點(diǎn)，它非常適合軌道路徑設(shè)計(jì)、曲線光順等工程應(yīng)用。例如歐拉螺線，即回旋曲線，具有曲率和弧長(zhǎng)成比例的優(yōu)美特性，在道路軌道設(shè)計(jì)[2]和物體輪廓缺失邊界的修復(fù)[3]等領(lǐng)域都有大量應(yīng)用。盡管Bézier多項(xiàng)式曲線在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)中被廣泛地使用，但其曲率單調(diào)性判別是困難的， 因此許多學(xué)者提出構(gòu)造多項(xiàng)式螺線用來設(shè)計(jì)光順曲線。Mineurl等[4]提出了一類單調(diào)的多項(xiàng)式曲線，但其沒有拐點(diǎn)（曲率為零點(diǎn)），這大大限制了它的作用。Walton和Meek[5]模仿歐拉螺線，提出了一條起點(diǎn)曲率為0的三次Bézier螺線段，同時(shí)利用這條三次螺線替代歐拉螺線作為道路設(shè)計(jì)中的緩和（過渡）曲線，取得了良好效果。后來，Walton和Meek[6-7]推廣三次螺線用于G2Hermite插值。Habib和Sakai[8-9]也對(duì)多項(xiàng)式螺線進(jìn)行了廣泛研究。Yoshida等[10-11]推廣歐拉螺線曲率和弧長(zhǎng)成比例的特性為曲率對(duì)數(shù)與弧長(zhǎng)成比例，設(shè)計(jì)了一類用超越函數(shù)表示的

曲線：Log-aesthetic curves(LACs)，用于汽車輪廓和字體設(shè)計(jì)取得了良好的效果。

另一方面，為了克服Bézier曲線不能精確表示雙曲線、懸鏈線等超越曲線的弊端，許多學(xué)者提出了不同函數(shù)空間的類Bézier曲線。Zhang[12]提出了基于空間的三次C-Bézier曲線，Chen和Wang[13]把它推廣到任意高階。在空間中，Wang和 Yang[14]提出了三次 H-Bézier曲線，王媛和康寶生[15]把它推廣到任意高階，檀結(jié)慶等[16-17]討論了H-Bézier曲線的降階、拼接等算法。這些類Bézier曲線充分顯示出其既能統(tǒng)一表示自由曲線與懸鏈線等超越曲線，又有通過變動(dòng)參數(shù)因子來調(diào)節(jié)形狀的優(yōu)越性與應(yīng)用潛力。為了便于類Bézier曲線用于緩和曲線和光順曲線設(shè)計(jì)，研究類Bézier螺線段的構(gòu)造及其應(yīng)用是十分必要的。蔡華輝和王國(guó)瑾[18-19]構(gòu)造了一條含參數(shù)的三次C-Bézie螺線并應(yīng)用與道路設(shè)計(jì)，但一直以來，三次H-Bézier螺線的構(gòu)造方法一直沒有給出。

1 三次H-Bézier螺線

以Zi(t) 為基，以qi(i=0,1,2,3) 為控制頂點(diǎn)的三次H-Bézier參數(shù)曲線形式如下所示[14]：

式中：

顯然，K和M滿足利用式(2)，三次H-Bézier曲線 Qα(t)的導(dǎo)數(shù)可表示為

下面給出平面三次 H-Bézier螺線的構(gòu)造方法：

定理1.形如式(1)的平面H-Bézier曲線，若其控制頂點(diǎn)滿足下列約束：式中，T0，T1分別是曲線首末端點(diǎn)的單位切向量，θ（0〈θ ＜π/2）為T0到T1的有向轉(zhuǎn)角，κα為終點(diǎn)處的曲率，L滿足

則H-Bézier曲線 Qα(t)的有向曲率 κ（ t）滿足：

證明：由式(3)～式(6)有

則曲線有向曲率

式中：

再計(jì)算 κ（ t）的導(dǎo)數(shù)，利用數(shù)學(xué)軟件Maple整理得：

式中：

由于 cosht在 t≥ 0單增，易判定0 ＜ t＜ α?xí)rgi（t） ＞ 0,（ i= 0,1），則故在0 ＜ t ＜ α內(nèi) κ′(t) ＞ 0,再把 t = 0,α代入式(7)、式(8)，可證定理。

可以看到，在形狀參數(shù)α確定以后，定理1確定的起點(diǎn)為0的H-Bézier螺線，實(shí)際上有5個(gè)自由度：起點(diǎn)P0的2個(gè)坐標(biāo)，起點(diǎn)單位切向量T0, T0到終點(diǎn)單位切向量T1轉(zhuǎn)角θ，以及終點(diǎn)處曲率κα。其他3個(gè)控制頂點(diǎn)可由這5個(gè)自由度通過式(4)～(6)求出。同時(shí)由于三次 H-Bézier曲線在α →0是三次Bézier曲線，且當(dāng)α→0時(shí)，有所以，定理1中定義的H-Bézier螺線當(dāng)α →0時(shí)就是Walton和Meek[5]中定義的三次Bézier螺線段。且當(dāng)α＞0時(shí)，K/S＞1，所以q1是在q0q2上靠近q0一側(cè)，這與C-Bézier螺線[18]是相反的。

圖1給出了H-Bézier螺線的例子，點(diǎn)線表示α=3的 H-Bézier螺線，虛線是α=2的 H-Bézier螺線，實(shí)線是α→0時(shí)的三次Bézier螺線。

圖1 三次H-Bézie螺線

在文獻(xiàn)[5,18]中，分別利用 Bézier螺線和C-Bézier螺線替代回旋曲線作為直線和圓弧之間的緩和曲線。很自然地，此中方法也可以推廣到H-Bézier螺線，并且α 可做為形狀參數(shù)來控制緩和曲線的形狀。由于利用H-Bézier螺線設(shè)計(jì)緩和曲線與C-Bézier的方法[18]非常類似，因此，下面只討論兩直線間的緩和曲線的構(gòu)造方法，其他幾類緩和曲線構(gòu)造在文中不加以詳述。

2 兩直線間的緩和曲線

定理2.如圖2，給定平面上不共線的三點(diǎn)P0, P,P1，則直線P0P,P1P單位方向向量及其夾角分別為

再令

式中：對(duì)κα＞0的任意常數(shù)，存在一對(duì)三次H-Bézier螺線

式中：

這對(duì)三次 H-Bézier螺線 Aα(t),Bα(t)滿足在起點(diǎn)處分別與直線 P0P,P1P光滑 G2接觸，且Aα(α) =B (α)，在端點(diǎn)處曲率的絕對(duì)值都為κα。證明：由于兩條螺線的首個(gè)控制頂點(diǎn) A0,B0分別在直線 P0P,P1P上，可設(shè)

α由圖2可知，曲線 Aα(t)起點(diǎn)切向量T0和端點(diǎn)切向量T的有向轉(zhuǎn)角是式(9)所給的θ，則 Bα(t)起點(diǎn)切向量T1和端點(diǎn)切向量T的有向轉(zhuǎn)角為-θ。不妨設(shè) Aα(t)在終點(diǎn)處的曲率為κα, 于是 Bα(t)在終點(diǎn)處的曲率就是-κα。設(shè)N是與端點(diǎn)切向量T成右手系的法向量，則

由定理1和式(11)，可得

再利用式(12)，上式可化為

同理可得

由于 Aα(α) =Bα(α)，則由上面兩式可得式(10)，因此定理得證。

圖2 兩直線間的一對(duì)H-Bézier螺線過渡

3 結(jié) 束 語

本文構(gòu)造了一條起點(diǎn)曲率為零的含形狀參數(shù)α的平面三次H-Bézier螺線段。這條螺線段可以替代傳統(tǒng)的回旋曲線，在路徑設(shè)計(jì)等領(lǐng)域作為直線與圓弧之間的緩和曲線，并且還具有在保持曲率單調(diào)性不變的前提下，可通過形狀參數(shù)α微調(diào)曲線形狀的優(yōu)點(diǎn)。但是，緩和曲線不是兩點(diǎn)間 Herimite插值曲線。因此，利用三次H-Bézier螺線段研究 Herimite插值是今后值得研究的一個(gè)問題。

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A Plane Cubic H-Bézier Spiral

Cai Huahui1, Liu Bingxiang1, Cheng Yan2
(1. School of Information Engineering, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen Jiangxi 333000, China; 2. School of Art & Design, Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen Jiangxi 333000, China)

Based on the requirement of fairing curves design, a planar cubic H-Bézier spiral with monotone curvature of constant sign is discussed. Since this spiral segment has zero curvature at the beginning point, it is suitable for applications such as highway design where the clothoid has been traditionally used. And since the spiral also contains a shape parameter, it has the advantage of adjustable curve shape. Finally, G2continuous transition curves between the two lines are constructed by the use of the H-Bézier spirals.

H-Bézier spiral; monotone curvature; transition curve

TP 391

A

2095-302X (2014)03-0374-05

2013-10-23；定稿日期：2013-12-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61262038, 61164014）；江西省自然基金資助項(xiàng)目（2012BAB201044）

蔡華輝（1975-），男，浙江東陽人，副教授，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。E-mail：huahuicai@gmail.com