平面2-DOF過驅動并聯機構控制系統設計

李云龍，何廣平

(北方工業大學機電工程學院，北京 100144)

平面2-DOF過驅動并聯機構控制系統設計

李云龍，何廣平

(北方工業大學機電工程學院，北京 100144)

并聯機構運動學控制器忽略了復雜的非線性動力學關系，因此控制器的實際性能往往有限。為此，以提高并聯機器人的操作精度為目標，針對2-DOF并聯機構，通過建立機構的動力學數學模型及剛度矩陣，設計了計算力矩控制器。基于計算力矩控制器的模型由于考慮了非線性補償而極大地提高了其控制品質。通過實驗將設計的控制器應用到2-DOF并聯機構，仿真和實驗結果驗證了算法的有效性和正確性。

過驅動并聯機構;非線性動力學特性;計算力矩控制

過驅動機構是指機構中獨立驅動關節數目大于機構自由度數目的一種并聯機構。在并聯機構中，采用過驅動的優點體現在可以優化輸入力、減小機構關節間隙、消除機構奇異點、提高機構的容錯性能［1］。例如文獻［2］的研究結果表明:過驅動機構能通過合適的非零內力控制來消除機構的結構間隙，提高機構的操作精度。過驅動機構只存在于并聯機構中［3］，采用過驅動技術，并聯機構的力奇異問題能得到緩解或消除［3］，從而提高了系統的力操作性能。過驅動并聯機構在工業領域中應用廣泛，例如并聯機床中［4］、仿生機械［5］和高性能戰機等。

目前，大多數機器人的控制器都采用運動學控制器。這類控制器忽略了各關節間的耦合關系和動力學特性，而并聯機構的非線性動力學特性尤為突出，因而在并聯機構的應用中往往無法達到預期控制品質。為此，非線性控制系統被提了出來，在非線性控制系統中，計算力矩控制是最簡單、有效的。它與PD控制相比，增加了內環控制，完成了線性補償，使得并聯機構系統跟蹤誤差小，抗干擾能力強。近些年，這一算法在機器人領域逐漸成為研究熱點。H CHENG等的研究結果表明:在高速下計算力矩控制的精度比PD控制要高得多［6］。L S GUO等將自適應的計算力矩控制用于2-DOF并聯機械手的軌跡跟蹤［7］。據此，以平面2-DOF四分支過驅動并聯機構為研究對象，根據拉格朗日方法建立其動力學模型。仿真和實驗結果表明，所設計的算法實現了滿意的控制品質。

1 系統結構

如圖1所示，平面2-DOF并聯機構擁有4條運動鏈，4條運動鏈結構相同，各個運動鏈的一端用鉸鏈連接于一點，該點為末端執行器，另一端與驅動電機相連，這端為驅動關節。機構末端執行器自由度數為2，而驅動關節數目為4，故該機構為過驅動并聯機構［10］。

由于該機構具有中心對稱結構，并聯機構的Lagrange函數就等于4個運動鏈的Lagrange之和，故對一個運動鏈進行動力學分析即可。圖2所示為并聯機構簡圖，坐標系XOY的原點位于正方形A1A2A3A4中心。機構的8個連桿長度均為0.2 m，基座X、Y方向的間距均為0.4 m。

圖1 平面四分支過驅動并聯機構實物

圖2 平面四分支過驅動并聯機構簡圖

2 動力學方程建模

針對過驅動并聯機構的特點，采用拉格朗日方法建立其動力學方程，拉格朗日方法是以系統動能和勢能建立動力學方程，其推導過程比較簡單，而且清楚地表示出各構件的耦合特性。

設機構的第i條分支鏈的2個連桿相對于重心的轉動慣量分別為Iai、Ibi，桿質量分別為mai、mbi，rai是連桿AiBi重心到點Ai的距離，rbi是連桿BiC到點Bi的距離。由于平面機構勢能為零，在建模過程中只考慮系統的動能，則該支鏈的拉格朗日函數為:

由于4個分支鏈的結構相同，所以并聯機構的Lagrange函數為:

記并聯機構關節向量為q=［qa1qa2qa3qa4qb1qb2qb3qb4］T，關節力矩向量為τ= ［τa1τa2τa3τa4τb1τb2τb3τb4］。并將Lagrange函數式 (2)代入如下的Euler-Lagrange方程:

可以得到并聯機構的動力學模型為:

由并聯機構的運動學關系，可以得到如下的閉鏈約束方程:

求式 (5)關于時間的微商，可以得到并聯機構的速度約束條件:

其中:A(q)是并聯機構的速度約束矩陣。

在式 (4)的動力學模型上，加入約束內力ATλ，可得:

式中:λ是一個未知乘子，代表了約束力的大小。

選擇并聯機構末端執行器坐標qe=(x，y)作為并聯機構動力學模型的獨立變量，記q關于qe的速度雅克比矩陣為S，可知:

將式(8)代入式(6)，可以得到如下關系式:

由于式 (9)的為任意末端執行器速度向量，故可推出AS為0矩陣，其轉置矩陣為:

用雅可比矩陣的轉置ST左乘式(7)，將式(8)和式(10)代入式(7)，可以將并聯機構的動力學模型簡化為如下形式:

記主動關節力矩為τa，記主動關節矢量關于末端qe的速度雅克比矩陣為J，可知STτ=JTτa，從而得到工作空間的動力學模型為:其中，J的定義為:

其中:Me=STMS表示工作空間的慣性矩陣;Ce=STM˙S+CS表示工作空間的科里奧利力與向心力矩陣。式 (12)所表示的動力學模型中僅含有兩個方程，而驅動力矩τa有4個獨立變量，因此驅動力矩τa的解不唯一。為了使得并聯機構的控制輸入最小、運動控制更平滑，可采用歐式范數最小的驅動力矩作為解:

式中:(JT)+=J(JTJ)－1為矩陣JT的偽逆。

3 運動控制系統設計及實驗

3.1 控制系統及穩定性分析

控制系統主要由上位控制計算機、四軸運動控制卡 (固高科技)、直流伺服驅動器和自帶光電編碼器的直流伺服電機四部分組成。計算機內的PCI插槽嵌有四軸運動控制卡，計算機通過運動控制卡獲取機構的當前狀態和完成相關控制，同時記錄實驗數據。圖3為控制系統簡圖。

圖3 運動控制系統組成

控制系統中的控制器采用計算力矩控制算法［8，11］，用計算力矩設計控制方案的基本思路是:先引入控制:

這樣受控機構方程為:

消去非線性項后化為:

因M是可逆陣，故上式轉化為一個解耦的線性定常系統:

式中Kp和Kv均為正定矩陣，這樣閉環系統方程為

從而由Kp和Kv的正定性知 (e，˙e)=(0，0)是全局漸進穩定的平衡點，這就實現了全局穩定的軌跡跟蹤。

針對平面2-DOF四分支過驅動并聯機構控制算法計算如下:

3.2 計算力矩控制器仿真驗證

在MATLAB軟件的Simulink［9］模塊中，建立過驅動并聯機構的物理模型和控制模型，運用控制模型驅動機構運動，得到末端的仿真軌跡，并將其與理論期望軌跡相比較，從而驗證控制模型的正確性。

給機構末端規劃圓軌跡運動:以 (0.06，0)為圓心，0.06 m為半徑的圓。圓軌跡的運動速度為0.2 m/s。圖4—6分別表示在計算力矩控制時圓軌跡的主動關節力矩輸出、主動關節角位移誤差和在操作空間末執行器的軌跡誤差。

圖6 圓軌跡的跟蹤誤差

從所得到的仿真曲線圖中可以看出，并聯機構在作圓周運動和正弦曲線運動時，末端運動比較平穩，跟蹤誤差收斂于0。這說明，計算力矩控制可以消除機構末端的軌跡跟蹤誤差及外部干擾的影響。

3.3 控制實驗及結果分析

搭建實驗平臺用于平面四分支過驅動并聯機構的軌跡跟蹤控制實驗。實驗平臺如圖1所示，并聯機構由4個直流伺服電機驅動，電機帶有光電編碼器進行角度測量，用固高科技公司的運動控制卡 (GT-400-SV-PCI)完成伺服電機控制。實驗中的運動控制程序用Visual C++編寫，控制算法中包含數字濾波運部分，可執行程序如圖7所示。

圖7 應用程序

選取工作空間中的圓周軌跡作為并聯機構末端執行器期望運動軌跡規劃操作末端運行一個以 (0.06，0)為圓心、0.06 m為半徑的圓。圖8、圖9分別表示末端執行器位置跟蹤曲線和軌跡跟蹤誤差。誤差產生的原因主要包括建模誤差、忽略了摩擦力、機構間隙等。

圖9 圓軌跡的跟蹤誤差

圖8 圓軌跡的末端執行器位置輸出

4 結論

針對平面2-DOF四分支過驅動并聯機構進行了動力學建模，將設計的控制算法應用于平面2-DOF四分支過驅動并聯機構，實現了圓軌跡實時控制。實驗結果表明:該控制系統相對于傳統PD控制［10］具有更好的軌跡跟蹤性能，實驗結果達到滿意精度。為了進一步提高控制精度，可以在末端執行器增加力傳感器和位置傳感器，形成全閉環控制系統。

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Control System Design for the Planar 2-DOF Overactuated Parallel Mechanism

LI Yunlong，HE Guangping
(College of Mechanical and Electrical Engineering，North China University of Technology，Beijing 100144，China)

In parallel mechanism kinematics controller，the complex nonlinear dynamics relationships are ignored，so the actual performance of the controller is often limited.For this，to improve the operation accuracy of parallel robot，aiming at the 2-DOF parallel mechanism，through establishing the dynamic mathematical model of mechanism and stiffness matrix，a computing torque controller was designed.Because in the model based on computing torque controller，nonlinear compensation was considered，so the control quality was enhanced greatly.The designed controller was applied to the 2-DOF parallel mechanism，simulation and experimental results verified the correctness and effectiveness of the algorithm.

Overactuated parallel mechanism;Nonlinear dynamics characteristic;Computing torque control

TH113

A

1001－3881(2014)9－029－4

10.3969/j.issn.1001－3881.2014.09.008

2013－03－27

北京市優秀人才培養基金資助項目 (20051D0500201)

李云龍 (1984—)，男，研究生，主要研究方向為并聯機構、運動控制等。E－mail:jd06063221@126.com。