兩桿欠驅動機器人的多層嵌套滑模控制方法

韓秀英，郭愛芳

(河南科技大學機電工程學院，河南洛陽 471003)

兩桿欠驅動機器人的多層嵌套滑模控制方法

韓秀英，郭愛芳

(河南科技大學機電工程學院，河南洛陽 471003)

目前對于兩桿欠驅動機器人的滑模控制方法大多不能保證子滑模趨近各自滑模面的可達性和魯棒性，表現為系統的穩定過度依賴參數的選取，控制運行擁塞，參數調整難度大，實現困難。為此提出一種多層嵌套滑模控制方法，以改善子滑模趨向各自滑模面的可達性、魯棒性和快速性。進行了系統滑模面的可達性和穩定性分析，并就Pendubot和Acrobot兩類欠驅動機器人進行了位置鎮定控制數值仿真。仿真結果表明該方法能夠使系統的控制參數調整保持一定的連續性，降低控制擁塞和參數調整難度，并有效地提高子滑模趨向各自滑模面的快速性和魯棒性。

欠驅動系統;Pendubot;Acrobot;位置鎮定控制;滑模控制

欠驅動系統是指系統的獨立控制變量個數小于系統自由度個數的一類非線性系統，其例子很多，如空間機器人、水下機器人、移動機器人、無人自行車、倒立擺、橋式吊車等，同時在實際中某些系統由于驅動器的減少或損壞，整個系統也會變為欠驅動系統，其中人為主動地將驅動器減少，也會使整個系統體積減小、質量減輕、成本降低。因此欠驅動系統的控制研究具有重要意義。

包括Pendubot和Acrobot在內的兩桿欠驅動機器人是人們較為關注的典型的欠驅動系統，其兩個關節中一個是自由的，另一個是有電機驅動的。目前對于這兩種欠驅動機器人的控制方法很多，總的來說主要包括智能控制方法［1］、能量控制方法［2－3，9］、無源性控制方法［4］、混雜控制方法［5－9］以及滑模控制方法［10－11］等，其中滑模控制是一種簡單實用的控制方法，在其滑動模態上運動時對于系統不確定性和外界擾動具有完全的魯棒性，因此滑模控制的研究對于欠驅動機械系統具有重要的實際價值，王偉等人［12］針對Pendubot提出了一種分層滑模控制方法，實現了對兩個被控輸出量的同時控制，有效避免了其它控制方法存在切換力矩大、穩定時間長等不足;姜文超等［11］提出了一種從中間變量出發構造滑模函數的方法，使得滑模控制器變得更為簡單。然而目前的滑模控制方法大多不能保證子滑模趨近各自滑模面的可達性和魯棒性，表現為系統穩定過度依賴參數的調整，很多情況下無法調整出合適的參數，控制擁塞無法運行，甚至發散，控制任務難以實現。

為此，提出了一種多層嵌套滑模控制方法，以提高子滑模趨向各自滑模面的可達性、魯棒性和快速性。

1 兩桿欠驅動機器人的動力學模型

圖1為兩桿欠驅動機器人，它在鉛直平面內運動，其中圖1(a)為第一關節驅動，第二關節自由的Pendubot機器人，圖1(b)為第一關節自由，第二關節驅動的Acrobot機器人。

圖1 兩桿欠驅動機器人

如圖1，q1，q2分別為機器人第一和第二關節的廣義坐標。m，l分別為兩桿的質量和桿長，這里假設兩桿為等截面勻質桿。τ為驅動關節的驅動力矩。根據第二類拉格朗日方程，可得到兩種機器人的動力學模型

對于圖1(a)和圖1(b)所示的機器人，其驅動力分別為

模型(1)中慣性矩陣M(q)是對稱正定矩陣，因此式(1)可寫為

2 欠驅動機器人的多層嵌套滑模控制器

在鉛直平面內運動的機器人有兩個平衡狀態，一個是機器人垂直指向上方，這種狀態是不穩定狀態，另一個是機器人垂直向下，這種狀態是穩定狀態。

在此，控制任務就是將機器人在有限時間內由垂直向下的穩定狀態鎮定到垂直向上的平衡狀態。

這里首先構造兩個子系統的滑模函數作為多層滑模函數的第一層

式中:c1＞0，c2＞0。

然后利用子滑模函數s1，s2構造第二層滑模函數

式中:h為常數。

最后再構造第三層滑模函數

式中:λ1為常數，λ2為正常數。

這樣就實現了對滑模s1的嵌套，以利于避免集成控制造成的擁塞。

選取Lyapunov能量函數

3 各層滑模面的可達性分析

定理1:對于系統(2)，采用式(3)—(5)所構造的滑動平面，如果選取控制律 (7)，則滑模面S滿足可達性條件。

證明 系統(2)在控制律(7)作用下，由式(8)得，當S≠0時有

因此滿足滑模面S的可達性條件。證畢。

定理2:對于系統(2)，采用式(3)—(5)所構造的滑動平面，如果選取控制律 (7)，且參數h的選取滿足式 (9)，則在滑模S滿足可達性條件的同時，子滑模s1，s2至少有一個滿足可達性條件。

4 各層滑模面的穩定性分析

定理3:對于系統(2)，采用式(3)—(5)所構造的滑動平面，若采用控制律 (7)，則滑模面S是漸近穩定的。

定理4:對于系統(2)，采用式(3)—(5)所構造的滑動平面，如果選取控制律 (7)，且參數λ1的選取滿足式 (11)，則子滑模面s1，s2也是漸近穩定的。

由式 (11)可知，當s1z≥0時，λ1=a，又λ2＞0，a＞0，因此可保證λ1λ2s1z≥0;當s1z＜0時，λ1=－a，因此可保證λ1λ2s1z≥0，從而保證了式(13)成立，即s1∈L2，s2∈L2成立。

(2)其次證明s1∈L∞，1∈L∞，s2∈L∞，2∈L∞。

5 仿真

欠驅動機器人的參數為m=3 kg，l=0.8 m。

首先以圖1(a)所示的Pendubot機器人為控制對象，將其由垂直向下的靜止初始狀態 (q1=π，q2=0)鎮定到垂直向上的狀態 (q1=0，q2=0)，仿真結果如圖2所示。

圖2 Pendubot控制仿真

然后以圖1(b)所示的Acrobot機器人為控制對象，將其由垂直向下的靜止初始狀態 (q1=π，q2= 0)鎮定到垂直向上的狀態 (q1=0，q2=0)，仿真結果如圖3所示。

圖3 Acrobot控制仿真

6 結論

針對目前的滑模控制方法大多不能保證所有滑模趨近各自滑模面的可達性和魯棒性，控制運行容易擁塞，系統穩定難于調整的問題，提出了一種多層嵌套滑模控制方法，并進行了滑模可達性分析和穩定性分析。通過仿真表明，該方法能使系統的控制參數調整保持一定的連續性，降低調整難度，有效地提高所有滑模趨向各自滑模面的快速性和魯棒性。

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Hierarchical Nested Sliding-mode Control of Under-actuated Two-link Manipulators

HAN Xiuying，GUO Aifang
(School of Mechatronics Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang Henan 471003，China)

Currently，the greatest number of sliding-mode control means for the under-actuated two-link manipulators could not be assured of the reach-ability and robustness when all sub-sliding-modes approached one's own sliding-mode planes.It was appeared as stability of the system depended overly on selection of the parameters，and control running congested，and it was difficult to adjust the control parameters and implement.Therefore，a hierarchical nested sliding-mode control method was proposed to improve the reach-ability，robustness and rapidity.Both reach-ability and stability of all the sliding-mode planes were analyzed and numerical simulation of the position stabilization control of the pendubot and acrobot of the under-actuated two-link manipulators was done.The simulation results show that the control means can make adjustment of the control parameters keep more continuous，and decrease the control running congestion and difficulty of the parameters adjustment，and improve effectively the rapidity and robustness when all subsliding-modes approached one's sliding-mode planes.

Under-actuated systems;Pendubot;Acrobot;Position stabilization control;Sliding-mode control

TH112

A

1001－3881(2014)9－033－4

10.3969/j.issn.1001－3881.2014.09.009

2013－05－04

河南省教育廳基礎研究重點項目 (13A460237)

韓秀英 (1971—)，女，學士，實驗師，研究方向為機械系統測試及控制。E－mail:lhybxy@163.com。