定量方法對比研究重復(fù)測量設(shè)計Bland-Altman一致限LoA的可信區(qū)間估計

南方醫(yī)科大學南京臨床醫(yī)院（南京軍區(qū)南京總醫(yī)院醫(yī)務(wù)部）（210002） 劉玉秀 繆華章 陸夢潔 陳 林

定量方法對比研究重復(fù)測量設(shè)計Bland-Altman一致限LoA的可信區(qū)間估計

南方醫(yī)科大學南京臨床醫(yī)院（南京軍區(qū)南京總醫(yī)院醫(yī)務(wù)部）（210002） 劉玉秀 繆華章 陸夢潔 陳 林

目的本文將介紹兩種不同重復(fù)測量設(shè)計情形一致性評價的Bland-Altman一致限LoA及其可信區(qū)間估計方法，并探討兩種不同設(shè)計情形中分別涉及的兩種不同可信區(qū)間估計方法的統(tǒng)計學性能，為方法學的選擇應(yīng)用提供理論依據(jù)。方法根據(jù)所測量樣本真值是否變化，將重復(fù)測量設(shè)計分為兩種類型，分別給出其Bland-Altman一致限LoA及其可信區(qū)間估計的兩種方法（一種是Bland-Altman法，簡稱B-A法；另一種是方差估計反推法，簡稱MOVER法），借助Monte-Carlo模擬技術(shù)，在正態(tài)分布假定下，設(shè)定不同的樣本量、不同的個體內(nèi)變異性，分別采用B-A法和MOVER法，模擬獲得95%LoA范圍的95%可信區(qū)間對總體設(shè)定的覆蓋率，用覆蓋率與95%的接近程度評價不同方法的統(tǒng)計學性能，理論上該覆蓋率與95%越接近，反映方法的統(tǒng)計學性能越好。結(jié)果用B-A法估計LoA可信區(qū)間的覆蓋率隨樣本量的增大而增大，樣本量為20以下時覆蓋率不足90%，即使在樣本量達到250時，其覆蓋率仍在94%以下，而MOVER法覆蓋率始終緊緊圍繞事先設(shè)定的可信度95%微小波動，甚至在樣本量為10時覆蓋率也能接近95%。結(jié)論MOVER法用于方法對比研究重復(fù)測量設(shè)計的LoA可信區(qū)間估計具有很好的統(tǒng)計學性能。

方法對比研究 重復(fù)測量 Bland-Altman法 一致限 可信區(qū)間 MOVER法

醫(yī)學研究中常常會遇到兩種測量方法對比研究的一致性評價問題。就兩種測量方法對同一樣本各測量一次的設(shè)計情形，進行一致性評價的統(tǒng)計學方法可考慮使用Bland和Altman提出的一致限（lim its of agreement，LoA）方法［1］，通過計算兩種方法結(jié)果間差異的均數(shù)及其標準差獲得LoA，根據(jù)其是否在可接受的誤差范圍內(nèi)來判定兩測量方法間的一致性。目前，應(yīng)用Bland-A ltman一致限LoA進行方法對比研究的一致性評價得到普遍認可［2］，但有兩方面的問題并未引起足夠的重視。第一個問題是，LoA在概念上只能屬于統(tǒng)計描述的范疇，反映的是所測量樣本特征，并未涉及對總體的推斷，會誤導(dǎo)一致性的評價，甚至得出錯誤的結(jié)論。正是由于這一極其重要并帶有普遍性的問題，引起不少學者的注意，強烈呼吁要進行一致性的正確評價，必須考慮樣本抽樣誤差的問題［3-5］。甚至有學者指出，LoA不能作為一致性判定的限值，其可信區(qū)間的限值才是真正的一致性限值［5］。第二個問題是，在方法對比研究中，即使采用了重復(fù)測量設(shè)計，但未能很好地按照重復(fù)測量機制應(yīng)用Bland-Altman法進行一致性評價，甚至還存在方法學上的錯誤［6］。

本文將對方法對比研究重復(fù)測量設(shè)計兩種不同情形一致性評價的Bland-Altman一致性限值LoA及其可信區(qū)間估計方法進行介紹，并通過對兩種不同設(shè)計情形中分別涉及的兩種不同可信區(qū)間估計方法的Monte-Carlo模擬實驗，評價其統(tǒng)計學性能，為方法學的選擇應(yīng)用提供理論依據(jù)。

樣本真值即時變化的重復(fù)測量設(shè)計情形

Bland和Altman曾多次引用Bow ling提供的數(shù)據(jù)作為例子［7-8］。測量心排量的兩種方法分別是阻抗心動描記術(shù)（impedance cardiography，IC）和放射性核素心室顯像術(shù)（radionuclide ventriculgrraphy，RV），RV是一種侵入性的方法，而IC是非侵入性的，為了評價測量心排量兩種方法的一致性，以考察IC方法是否可以替代RV方法，研究者測量了12例病人，不同的病人用兩種方法分別進行了3～6次測量。

基于通用性考慮，以x和y分別代表RV和IC測量方法，n為病人例數(shù)，令mxi和myi分別代表測量次數(shù)（i＝1，2，…，n），xij代表RV方法第i例病人的第j次測量結(jié)果（j＝1，2，…，mxi），yij代表IC方法第i例病人的第j次測量結(jié)果（j＝1，2，…，myi）。由于兩方法結(jié)果成對出現(xiàn)，則mxi＝myi＝mi。LoA估計基于每對結(jié)果差值進行，記dij為第i例病人用兩種測量方法的第j次測量結(jié)果差值，dij＝xij-yij，對dij建立單因素的隨機效應(yīng)模型（one-way random effectsmodel）為

其中，d是兩種方法的真實差值，ai和eij為相互獨立的均數(shù)為0、方差分別為的正態(tài)分布變量。一致限可定義為兩方法真實差值、個體間和個體內(nèi)隨機變異的和。

其期望值為

則100（1-β）%LoA的限值估計分別為

為了獲得上述LoA兩個限值的可信區(qū)間，按照常規(guī)的可信區(qū)間估計方法獲得各限值的標準誤估計。經(jīng)數(shù)理統(tǒng)計研究，該標準誤的平方計算公式為

則計算LoA下限的100（1-α）%可信區(qū)間的公式為

zα/2為標準正態(tài)分布的100（1-α/2）%分位數(shù)。同理，計算LoA上限的100（1-α）%可信區(qū)間的公式為

以上是用Bland-Altman法計算的可信區(qū)間，可見Bland-Altman法可信區(qū)間估計值對參數(shù)的點估計值具有對稱性。但是，由于LoA的兩個限值是正態(tài)分布均數(shù)和方差的組合量函數(shù)，根據(jù)均數(shù)和方差的統(tǒng)計學性質(zhì)，均數(shù)的抽樣分布仍服從正態(tài)分布，但方差的抽樣分布并不服從正態(tài)分布，因此通過均數(shù)和方差合成而獲得的LoA的兩個限值其分布在理論上并不服從正態(tài)分布。Bland-Altman法強行進行對稱處理所計算的可信區(qū)間其統(tǒng)計學性能值得懷疑。Efron和Tibshanri認為，將偏態(tài)分布統(tǒng)計量強行對稱化進行可信區(qū)間估計是“最嚴重的錯誤”［9］。

為此，基于Zou和Donner提出的方差估計反推法（themethod of variance of estimates recovery，簡稱為MOVER法）［10-11］，兩個參數(shù)之和或之差的可信區(qū)間估計，均可根據(jù)兩個參數(shù)各自的可信區(qū)間限值而獲得的原理，Zou導(dǎo)出了LoA的可信區(qū)間估計方法［12］，100（1-β）%LoA的下限LoAl的100（1-α）%可信區(qū)間下限和上限的計算公式分別為LoAl-LME和LoAl＋RME。同理，100（1-β）%LoA的上限的100（1-α）%可信區(qū)間下限和上限的計算公式分別為LoAu-RME和LoAu＋LME。其中

樣本真值相對不變的重復(fù)測量設(shè)計情形

在方法對比研究中，當樣本中欲測定的指標真值恒定或者在一定時間內(nèi)相對不變時，例如頸動脈狹窄程度、影像載體上的病變大小、血標本中的某指標含量等，用兩種方法進行多次測量，并不需要像真值結(jié)果具有隨時變化特性時那樣，必須保證兩方法測定同時進行、結(jié)果成對出現(xiàn)，兩種方法對同一樣本的測量次數(shù)可以不同，即不必要求mxi＝myi。對兩方法的測量結(jié)果xij和yij分別建立單因素的隨機效應(yīng)模型

式中μx為x的真值，axi和exij為服從均數(shù)為0、方差分別為的正態(tài)分布變量。

式中μy為y的真值，ayi和eyij為服從均數(shù)為0、方差分別為的正態(tài)分布變量。

為了對LoA及其可信區(qū)間進行估計，分別計算出各個體x和y的均數(shù)和方差計算個體內(nèi)隨機誤差的合并方差估計值

計算每一個體兩種方法的均數(shù)差值

則兩種方法均差的均數(shù)及其方差分別為

根據(jù)Bland和Altman的方法，100（1-β）%LoA的限值估計分別為

為了獲得上述LoA兩個限值的可信區(qū)間，按照Bland-Altman法，獲得各限值的方差估計

有關(guān)100（1-β）%LoA的兩個限值的100（1-α）%可信區(qū)間估計采用MOVER法的計算公式與前面介紹的完全相同，只是計算可信區(qū)間公式中涉及到的l和u需按下式求算

M onte-Carlo模擬實驗

在模擬研究之前，首先對前面用RV和IC兩種方法重復(fù)測量12例病人心排量結(jié)果的例子進行分析。此例本為樣本真值即時變化的重復(fù)測量設(shè)計，為節(jié)省篇幅，這里也作為樣本真值相對不變的重復(fù)測量設(shè)計分析的例子，結(jié)果顯示，兩種方法的均差為0.71，表明IC方法測量結(jié)果較RV方法平均低0.71，按真值結(jié)果是變化的情形考慮，兩方法95%一致限LoA為（-1.30，2.72），按照BA法計算的95%LoA范圍的95%可信區(qū)間為（-2.61，3.63），按MOVER法計算的可信區(qū)間為（-2.66，4.08）。如果按真值結(jié)果是不變的情形考慮，兩方法95%一致限LoA為（-1.35，2.77），按照BA法計算的95%LoA范圍的95%可信區(qū)間為（-2.35，3.67），按MOVER法計算的可信區(qū)間為（-2.70， 4.12）。鑒于本例只有12例病人，累計測量次數(shù)也僅有60次，所求算的LoA可信區(qū)間結(jié)果（MOVER法）下限為-2.66，上限達到4.08，與臨床能夠允許的誤差限值相比似乎偏大，尚不足以得出兩方法具有一致性的結(jié)論，這與原研究者Bow ling認為IC測量與RV測量間缺少一致性的結(jié)論一致。

為了考察上述可信區(qū)間估計的統(tǒng)計學性能，針對兩種不同重復(fù)測量設(shè)計類型，基于測量結(jié)果服從正態(tài)分布，分別設(shè)定不同的樣本量和不同的個體間變異占總變異的比例（個體間方差比例），進行Monte-Carlo模擬實驗。本文隨機模擬實驗借助SAS 9.2系統(tǒng)編程實現(xiàn)。

對于真值變化的重復(fù)測量設(shè)計情形，在不同的樣本量和重復(fù)測量次數(shù)設(shè)定下，按照兩種方法測量結(jié)果差值的總體均數(shù)為0，個體間方差為個體內(nèi)方差為產(chǎn)生第i例個體的第j次測量結(jié)果即dij。具體步驟為，先按個體例數(shù)產(chǎn)生服從分布的隨機數(shù)，然后針對不同個體再產(chǎn)生與個體內(nèi)重復(fù)測量次數(shù)對應(yīng)的服從分布的隨機數(shù)，最后對兩個隨機數(shù)變量求和即可。如果限定則產(chǎn)生的dij是一服從標準正態(tài)分布N（0，1）的隨機數(shù)變量。隨機模擬產(chǎn)生足夠多的隨機變量，分別計算95%LoA范圍的95%可信區(qū)間，如果可信區(qū)間估計方法統(tǒng)計學性能優(yōu)良，則根據(jù)正態(tài)分布特點，計算出的可信區(qū)間理論上將會有95%的比例覆蓋-1.96到1.96范圍因此，我們采用覆蓋率來評價可信區(qū)間估計方法的統(tǒng)計學性能，模擬實驗的覆蓋率愈接近95%，表明所用的可信區(qū)間估計方法統(tǒng)計學性能愈好。為了盡量模擬實際中的不同情形，我們將樣本量設(shè)定為10、20、50、100、150、200、250共7種情形，個體間方差比例從0.5開始，每次增加0.1，直至0.9，共5種情形（該比例小于0.5時表明個體內(nèi)變異大于個體間變異，顯然對一致性評價不具有實際意義），統(tǒng)一設(shè)定每例的重復(fù)測量次數(shù)為5次，每一組合的模擬次數(shù)為10000次。模擬結(jié)果見表1。

對于真值不變的重復(fù)測量設(shè)計情形，需要對兩種測量方法分別產(chǎn)生隨機數(shù)變量。隨機變量xij來自于兩個均數(shù)為0，個體間方差和個體內(nèi)方差分別為的隨機變量之和，限定同理yij隨機變量來自于兩個均數(shù)為0，個體間方差和個體內(nèi)方差分別為的隨機變量之和，限定計算95%LoA范圍的95%可信區(qū)間，根據(jù)正態(tài)分布特點，模擬實驗次數(shù)足夠多時，計算出的可信區(qū)間理論上將會有95%的比例覆蓋范圍按照真值變化的重復(fù)測量設(shè)計情形給定模擬參數(shù)組合，x和y變量的重復(fù)測量次數(shù)分別設(shè)為5次和4次。模擬結(jié)果見表1和圖1。

可見，Bland-Altman法LoA可信區(qū)間估計方法在樣本例數(shù)較小時覆蓋率偏低，而MOVER法甚至在樣本例數(shù)僅為10時，也較為接近95%，表明采用MOVER法進行LoA范圍可信區(qū)間估計具有很好的可靠性，是一種較為理想的LoA范圍可信區(qū)間估計方法。

討 論

盡管Bland和A ltman給出了針對重復(fù)測量設(shè)計的LoA可信區(qū)間估計方法［7-8］，但研究表明，在小樣本量時該方法達不到應(yīng)有的統(tǒng)計學性能。而本文介紹的重復(fù)測量設(shè)計LoA可信區(qū)間估計的新方法即MOVER法，經(jīng)Monte-Carlo模擬實驗表明，甚至在小樣本量時仍然具有優(yōu)良的統(tǒng)計學性能。不僅如此，該方法無論是在兩種重復(fù)測量設(shè)計的哪一種情形下，都不要求個體重復(fù)測量次數(shù)相等，具有相當?shù)撵`活性和實用性［12］。另外，盡管MOVER法的計算過程貌似復(fù)雜，但從其推導(dǎo)和構(gòu)建過程可見，除一般的統(tǒng)計運算外，也只是涉及到正態(tài)分布和卡方分布的分位數(shù)，這在方法學實現(xiàn)上并不困難。因此，MOVER法是一種值得推薦用于方法對比研究重復(fù)測量設(shè)計的LoA可信區(qū)間估計方法。

表1 方法對比研究重復(fù)測量設(shè)計兩種不同情形分別采用兩種不同的方法進行95%LoA范圍的95%可信區(qū)間估計覆蓋率（%）的模擬結(jié)果（模擬次數(shù)為10000次）

當然，本文模擬是在假定測量結(jié)果服從正態(tài)分布的前提下進行的，對于不同的重復(fù)測量次數(shù)包括個體重復(fù)測量次數(shù)不同的情形，我們另外進行了模擬，結(jié)果顯示各方法的統(tǒng)計學性能具有類似的特點和規(guī)律，鑒于篇幅這里未予列舉。至于重復(fù)測量設(shè)計Bland-Altman法一致性評價的應(yīng)用條件考察，可參照單樣本兩種測量方法僅測量一次的情形，通過圖示方法，例如繪制Bland-Altman圖和差值的直方圖，粗略判定兩種測量方法結(jié)果及其差值是否服從正態(tài)分布、在測量范圍內(nèi)差值的變異是否隨測量結(jié)果變化而變化等。對于不能滿足Bland-Altman法應(yīng)用條件即數(shù)據(jù)行為不良的重復(fù)測量設(shè)計的一致性評價，還需進一步的方法學探討。

圖1 方法對比研究重復(fù)測量設(shè)計兩種不同情形分別采用兩種不同的方法進行95%LoA范圍的95%可信區(qū)間估計覆蓋率（%）模擬結(jié)果（模擬次數(shù)為10000次）

國內(nèi)目前對采用Bland-Altman法評價一致性的研究僅局限于簡單的方法學介紹，也僅限于兩種測量方法單次測量的情形，對LoA范圍可信區(qū)間估計更是較少深入涉及，尚未見到有關(guān)重復(fù)測量設(shè)計的方法學介紹［13-17］，這需要我國的方法學研究者和應(yīng)用者，無論從理論研究和實際應(yīng)用都應(yīng)給予高度關(guān)注。

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（責任編輯：郭海強）

Confidence Interval Estimation for the Bland-Altman Lim its of Agreement w ith Repeated M easurements in Quantitative M ethod Com parison Studies

Liu Yuxiu，M iao Huazhang，Lu Mengjie，et al（Nanjing General Hospital of Nanjing Military Command，Southern Medical University（210002），Nanjing）

ObjectiveThis paper w ill introduce agreement evaluation by using the Bland-Altman LoA and is confidence interval estimatemethod in two different repeated measurement design scenarios，and explores the statistical performance of two different confidence intervalestimationmethods in each scenario，and provides a theoreticalbasis for the selection and application of themethodology.MethodsAccording to themeasured sample true value whether changed，the repeated measurement design is divided into two types，and gives the Bland-Altman LoA w ith its two confidence interval confidence interval estimatemethods（one is Bland-Altman method，another is the MOVER method），respectively.By using Monte-Carlo simulation technique，set the different sample sizes and individual variability under the assumption of the normal distribution，and obtain the coverage rates of the B-A and MOVERmethodswhich be used to simulate the 95%confidence interval of the 95%LoA for the population.The adjacency degree between the coverage rates and 95%can be used for evaluating the statistical performance，theoretically，the coverage ratesmore close to 95%，reflect the statistical performance of themethod ismuch higher.ResultsThe coverage rate of LoA confidence interval estimation by using the B-A method is increasesw ith the sample size，but less than 90%when the sample sizewas under20，and still below 94%even when the sample size is250，while the MOVERmethod coverage closely around the small fluctuations in the credibility of 95%predefined，it can close to 95%even when sample size is 10.ConclusionThe confidence interval estimation for LoA by using MOVER method in method comparison studies w ith repeated measurements design works well and deserves recommendation.

Method comparison study；Repeatedmeasurements；Bland-Altmanmethod；Lim its of agreement；Confidence intervals；MOVER