梁彎曲變形中關于幾何關系推導的教學探討

胡育佳

摘要：在梁彎曲變形中，幾何關系的研究是材料力學教學中的一個重要環節，然而在大多數材料力學的教材中，往往對這部分的說明過于簡單，特別是在幾何關系數學模型的建立上，存在很大的跨度，給教師的授課和學生的學習帶來了一定的困擾，甚至產生困惑。本文將嚴格從微分幾何關系和小變形基本假設出發，建立在小變形情況下梁彎曲變形的幾何關系。這種推導方式在數學上嚴格，容易讓學生理解，具有一定的教學推廣意義。

關鍵詞：彎曲變形；幾何關系；微分幾何

中圖分類號：G642.0？搖 文獻標識碼：A 文章編號：1674-9324（2014）03-0282-02

一、傳統的推導方式[1，2]

在小變形假設條件下，討論梁的彎曲變形，以變形前梁的軸線為x軸，垂直向上的軸為y軸（圖1），xy平面為梁的縱向對稱面。在對稱彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xy平面內的一條曲線，稱為撓曲線。撓曲線上橫坐標為的x任意點的縱坐標用u來表示，它代表坐標為x的橫截面的形心沿y方向的位移，稱為撓度。彎曲變形中，梁的橫截面對其原來位置轉過的角度θ，稱為截面轉角。根據平面假設，彎曲變形前垂直于軸線（x軸）的橫截面，變形后仍然垂直于撓曲線。所以，截面轉角θ就是y軸與撓曲線的夾角。它應等于撓曲線的傾角，即等于x軸與撓曲線的夾角。故：

tanθ=■ （1）

又由于在小變形情況下，截面轉角θ是一個小量，則：

■=θ；tanθ=■ （2）

其中，ρ為平面梁截面處任意位置的曲率半徑。公式（1）和（2）即為小變形情況下，平面直梁彎曲的幾何關系。

二、嚴格的推導方式

從上面的公式推導可以看出，公式（1）的得到并沒有嚴格的數學證明，完全從圖1和相應的假設近似得到，這不但給任課教師的課堂講授帶來困難，也給學生對梁的幾何關系的理解帶來了很大的困惑。下面我們將采用微分幾何的方法對具有任意構型的平面曲梁結構進行分析，得到這類曲梁結構在小變形情況下的幾何關系，進一步退化得到平面直梁在小變形情況下的幾何關系，即公式（1）和（2）。

假設l是曲梁的初始長度，w0（s）和u0（s）分別是曲梁任意位置處x和y方向的初始位移。其中s∈[0，l]是沿曲梁軸向的弧坐標。并且假設曲梁的初始構形所占有的區域為（圖2）：

Γ0：{（x，y）|x=w0（s），y=s+u0（s），0≤s≤l} （3）

其中θ0（s）表示初始構形上任意點C（w0，s+u0）處的切線和x軸之間的夾角。將公式（3）中的函數對弧長s求導得到：

■=sinθ0，■=cosθ0 （4）

其中，dx/ds=sinθ0，dy/ds=cosθ0.

一般起見，假設曲梁在外載荷的作用下，變形前初始構形Γ0上任意一點C（w0，s+u0）移動到點C'（w0+w，s+u0+u）處，曲梁變形后的構形所占有區域為

Γ={（x，y）|x=w0+w，y=s+u0+u，0≤s≤l} （5）

其中，w（s）和u（s）分別變形后曲梁上任意一點在x和y方向的位移（圖2）。忽略梁變形前后軸線的伸長，將公式（5）中的函數對弧長s求導得到：

■=sinθ，■=cosθ （6）

將公式（4）帶入公式（6），可以得到曲梁的幾何關系為：

■=sinθ-sinθ0，■=cosθ-cosθ0 （7）

當研究對象為直梁時，即將θ0=0帶入公式（7）可得到：

■=sinθ，■=cosθ-1 （8）

由公式（8）可以得到：

tanθ=■/■+1 （9）

在小變形忽略軸向變形的情況下，有tanθ≈θ，■≈0，則幾何關系（公式（9））可以進一步表示為：

■=θ≈■ （10）

從公式（10）和公式（2）可以看出，本文的推導結果是與傳統的推導結果是一致的。

三、結論

在梁的彎曲變形中，關于幾何關系的推導對于學生理解梁的彎曲變形有著重要的意義，傳統的教學上，對這部分內容討論不全面，給教師的授課和學生的學習帶來了一定的困擾。本文嚴格從微分幾何關系和小變形基本假設出發，通過退化得到了梁彎曲變形中的幾何關系。這種推導方式在數學上嚴格，使學生容易理解，具有一定的教學推廣意義。

參考文獻：

[1]劉鴻文.材料力學[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學[M].北京：高等教育出版社，2009.endprint

摘要：在梁彎曲變形中，幾何關系的研究是材料力學教學中的一個重要環節，然而在大多數材料力學的教材中，往往對這部分的說明過于簡單，特別是在幾何關系數學模型的建立上，存在很大的跨度，給教師的授課和學生的學習帶來了一定的困擾，甚至產生困惑。本文將嚴格從微分幾何關系和小變形基本假設出發，建立在小變形情況下梁彎曲變形的幾何關系。這種推導方式在數學上嚴格，容易讓學生理解，具有一定的教學推廣意義。

關鍵詞：彎曲變形；幾何關系；微分幾何

中圖分類號：G642.0？搖 文獻標識碼：A 文章編號：1674-9324（2014）03-0282-02

一、傳統的推導方式[1，2]

在小變形假設條件下，討論梁的彎曲變形，以變形前梁的軸線為x軸，垂直向上的軸為y軸（圖1），xy平面為梁的縱向對稱面。在對稱彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xy平面內的一條曲線，稱為撓曲線。撓曲線上橫坐標為的x任意點的縱坐標用u來表示，它代表坐標為x的橫截面的形心沿y方向的位移，稱為撓度。彎曲變形中，梁的橫截面對其原來位置轉過的角度θ，稱為截面轉角。根據平面假設，彎曲變形前垂直于軸線（x軸）的橫截面，變形后仍然垂直于撓曲線。所以，截面轉角θ就是y軸與撓曲線的夾角。它應等于撓曲線的傾角，即等于x軸與撓曲線的夾角。故：

tanθ=■ （1）

又由于在小變形情況下，截面轉角θ是一個小量，則：

■=θ；tanθ=■ （2）

其中，ρ為平面梁截面處任意位置的曲率半徑。公式（1）和（2）即為小變形情況下，平面直梁彎曲的幾何關系。

二、嚴格的推導方式

從上面的公式推導可以看出，公式（1）的得到并沒有嚴格的數學證明，完全從圖1和相應的假設近似得到，這不但給任課教師的課堂講授帶來困難，也給學生對梁的幾何關系的理解帶來了很大的困惑。下面我們將采用微分幾何的方法對具有任意構型的平面曲梁結構進行分析，得到這類曲梁結構在小變形情況下的幾何關系，進一步退化得到平面直梁在小變形情況下的幾何關系，即公式（1）和（2）。

假設l是曲梁的初始長度，w0（s）和u0（s）分別是曲梁任意位置處x和y方向的初始位移。其中s∈[0，l]是沿曲梁軸向的弧坐標。并且假設曲梁的初始構形所占有的區域為（圖2）：

Γ0：{（x，y）|x=w0（s），y=s+u0（s），0≤s≤l} （3）

其中θ0（s）表示初始構形上任意點C（w0，s+u0）處的切線和x軸之間的夾角。將公式（3）中的函數對弧長s求導得到：

■=sinθ0，■=cosθ0 （4）

其中，dx/ds=sinθ0，dy/ds=cosθ0.

一般起見，假設曲梁在外載荷的作用下，變形前初始構形Γ0上任意一點C（w0，s+u0）移動到點C'（w0+w，s+u0+u）處，曲梁變形后的構形所占有區域為

Γ={（x，y）|x=w0+w，y=s+u0+u，0≤s≤l} （5）

其中，w（s）和u（s）分別變形后曲梁上任意一點在x和y方向的位移（圖2）。忽略梁變形前后軸線的伸長，將公式（5）中的函數對弧長s求導得到：

■=sinθ，■=cosθ （6）

將公式（4）帶入公式（6），可以得到曲梁的幾何關系為：

■=sinθ-sinθ0，■=cosθ-cosθ0 （7）

當研究對象為直梁時，即將θ0=0帶入公式（7）可得到：

■=sinθ，■=cosθ-1 （8）

由公式（8）可以得到：

tanθ=■/■+1 （9）

在小變形忽略軸向變形的情況下，有tanθ≈θ，■≈0，則幾何關系（公式（9））可以進一步表示為：

■=θ≈■ （10）

從公式（10）和公式（2）可以看出，本文的推導結果是與傳統的推導結果是一致的。

三、結論

在梁的彎曲變形中，關于幾何關系的推導對于學生理解梁的彎曲變形有著重要的意義，傳統的教學上，對這部分內容討論不全面，給教師的授課和學生的學習帶來了一定的困擾。本文嚴格從微分幾何關系和小變形基本假設出發，通過退化得到了梁彎曲變形中的幾何關系。這種推導方式在數學上嚴格，使學生容易理解，具有一定的教學推廣意義。

參考文獻：

[1]劉鴻文.材料力學[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學[M].北京：高等教育出版社，2009.endprint

摘要：在梁彎曲變形中，幾何關系的研究是材料力學教學中的一個重要環節，然而在大多數材料力學的教材中，往往對這部分的說明過于簡單，特別是在幾何關系數學模型的建立上，存在很大的跨度，給教師的授課和學生的學習帶來了一定的困擾，甚至產生困惑。本文將嚴格從微分幾何關系和小變形基本假設出發，建立在小變形情況下梁彎曲變形的幾何關系。這種推導方式在數學上嚴格，容易讓學生理解，具有一定的教學推廣意義。

關鍵詞：彎曲變形；幾何關系；微分幾何

中圖分類號：G642.0？搖 文獻標識碼：A 文章編號：1674-9324（2014）03-0282-02

一、傳統的推導方式[1，2]

在小變形假設條件下，討論梁的彎曲變形，以變形前梁的軸線為x軸，垂直向上的軸為y軸（圖1），xy平面為梁的縱向對稱面。在對稱彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xy平面內的一條曲線，稱為撓曲線。撓曲線上橫坐標為的x任意點的縱坐標用u來表示，它代表坐標為x的橫截面的形心沿y方向的位移，稱為撓度。彎曲變形中，梁的橫截面對其原來位置轉過的角度θ，稱為截面轉角。根據平面假設，彎曲變形前垂直于軸線（x軸）的橫截面，變形后仍然垂直于撓曲線。所以，截面轉角θ就是y軸與撓曲線的夾角。它應等于撓曲線的傾角，即等于x軸與撓曲線的夾角。故：

tanθ=■ （1）

又由于在小變形情況下，截面轉角θ是一個小量，則：

■=θ；tanθ=■ （2）

其中，ρ為平面梁截面處任意位置的曲率半徑。公式（1）和（2）即為小變形情況下，平面直梁彎曲的幾何關系。

二、嚴格的推導方式

從上面的公式推導可以看出，公式（1）的得到并沒有嚴格的數學證明，完全從圖1和相應的假設近似得到，這不但給任課教師的課堂講授帶來困難，也給學生對梁的幾何關系的理解帶來了很大的困惑。下面我們將采用微分幾何的方法對具有任意構型的平面曲梁結構進行分析，得到這類曲梁結構在小變形情況下的幾何關系，進一步退化得到平面直梁在小變形情況下的幾何關系，即公式（1）和（2）。

假設l是曲梁的初始長度，w0（s）和u0（s）分別是曲梁任意位置處x和y方向的初始位移。其中s∈[0，l]是沿曲梁軸向的弧坐標。并且假設曲梁的初始構形所占有的區域為（圖2）：

Γ0：{（x，y）|x=w0（s），y=s+u0（s），0≤s≤l} （3）

其中θ0（s）表示初始構形上任意點C（w0，s+u0）處的切線和x軸之間的夾角。將公式（3）中的函數對弧長s求導得到：

■=sinθ0，■=cosθ0 （4）

其中，dx/ds=sinθ0，dy/ds=cosθ0.

一般起見，假設曲梁在外載荷的作用下，變形前初始構形Γ0上任意一點C（w0，s+u0）移動到點C'（w0+w，s+u0+u）處，曲梁變形后的構形所占有區域為

Γ={（x，y）|x=w0+w，y=s+u0+u，0≤s≤l} （5）

其中，w（s）和u（s）分別變形后曲梁上任意一點在x和y方向的位移（圖2）。忽略梁變形前后軸線的伸長，將公式（5）中的函數對弧長s求導得到：

■=sinθ，■=cosθ （6）

將公式（4）帶入公式（6），可以得到曲梁的幾何關系為：

■=sinθ-sinθ0，■=cosθ-cosθ0 （7）

當研究對象為直梁時，即將θ0=0帶入公式（7）可得到：

■=sinθ，■=cosθ-1 （8）

由公式（8）可以得到：

tanθ=■/■+1 （9）

在小變形忽略軸向變形的情況下，有tanθ≈θ，■≈0，則幾何關系（公式（9））可以進一步表示為：

■=θ≈■ （10）

從公式（10）和公式（2）可以看出，本文的推導結果是與傳統的推導結果是一致的。

三、結論

在梁的彎曲變形中，關于幾何關系的推導對于學生理解梁的彎曲變形有著重要的意義，傳統的教學上，對這部分內容討論不全面，給教師的授課和學生的學習帶來了一定的困擾。本文嚴格從微分幾何關系和小變形基本假設出發，通過退化得到了梁彎曲變形中的幾何關系。這種推導方式在數學上嚴格，使學生容易理解，具有一定的教學推廣意義。

參考文獻：

[1]劉鴻文.材料力學[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]孫訓方，方孝淑，關來泰.材料力學[M].北京：高等教育出版社，2009.endprint