近拱點映射在平動點軌道設計中的應用研究

殷 毅，袁建平，方 群

（西北工業大學 航天飛行動力學技術重點實驗室，陜西 西安710072）

20世紀50年代以來，平動點附近軌道的理論和應用在空間科學和技術領域成為研究的熱點之一[1-2]。在限制性三體問題中，航天器受力比較復雜，這對軌道設計就提出了新的要求。根據共線平動點的不穩定特性，其附近的周期軌道在受到較小擾動后就會發生大的偏移，滿足軌道轉移機理；而連接周期軌道的不變流形，是幾乎不消耗能量的低能軌道，這就使得平動點附近軌道設計成為深空探測的重點研究對象[3]。

平動點軌道，就是平動點周期軌道及其附近區域軌道。Hénon[4]通過研究連接于L1和L2點Lyapunov周期軌道的不變流形預測圓限制性三體問題中較小主天體附近的軌道性質。利用龐加萊映射,對流形空間進行分析研究，可以有效降低空間維數，使復雜問題變得簡單可視化。Anderson和Lo，Koon 等[5]，Gómez 等[6]，Howell[7]等學者針對該問題做了大量研究。區別于物理空間龐加萊映射面，Villac和 Scheeres[8]首次提出了近拱點龐加萊映射面，并研究了Hill問題下P2附近的逃逸，捕獲問題。Howell和Davis[9]利用近拱點映射和不變流形計算分析了P2附近的特定軌道。Haapala[10]還利用近拱點龐加萊映射研究了日-土系中土星附近短期和長期軌道的演化規律，并進行轉移軌道的設計。

文中針對圓型限制性三體問題，利用近拱點龐加萊映射，研究較小主天體P2附近的軌道特性，利用不同范圍的近拱點通道結構，獲得具有特定特征的軌道設計初始解，利用一種自由時間的多點打靶微分修正方法，對軌道位置和速度不連續進行修正處理，獲得近似零消耗的同宿和異宿連接軌道；對順行條件和逆行條件下的初始轉移狀態進行研究，給出了轉移軌道和準周期軌道形成的理論分析。

1 基礎理論

1.1 動力學模型與坐標系選取

在圓形限制性三體問題模型（CRTBP）下，動力學模型坐標系為：質量為m3的航天器質點P3在主天體P1-P2組成的旋轉坐標系下運動，其中旋轉坐標系原點為P1-P2質心，x軸在P1-P2運行平面，由P1指向P2，z軸為P1-P2連線繞公共質心旋轉角速度ω方向，y軸與之成右手坐標系。這里，質量m3相對于 P1-P2質量 m1，m2可忽略，即 m1＞m2＞＞m3，P3不影響 P1-P2運動。如圖1。

圖1 限制性三體示意圖Fig.1 of RTBP

動力學方程為描述方便，可對系統進行無量綱化。單位質量m*=m1+m2，單位長度為主天體P1-P2間距離 l*=L,單位時間，G為萬有引力常量。無量綱化后，主天體P1-P2繞其質心旋轉周期為 2π ，ω=1,G=1，L=1，m1+m2=1。該系統中唯一的參數為質量參數，即較小主天體相對于兩主天體的質量分數μ。這里，μ=m2/m1+m2系統相空間情形高度取決于該參數。

旋轉坐標系下，主天體的坐標分別為，(-μ0 0），（1-μ0 0），P3相對于 P1-P2的位置矢量為因此，一階無量綱化向量方程表示為：

這里，

式（2）中下標表示關于旋轉坐標系下變量的偏導。當z=z˙=0時，即為平面圓型限制性三體問題運動方程。

該方程存在5個特解，稱之為平動解，相應點為平動點。其中，3個為不穩定共線平動點 （L1,L2和L3），2個為穩定三角平動點（L4,L5）。由式（2）還可得限制性三體問題中唯一的積分常量，表達式為：

式（3）稱為Jacobi積分(也稱為廣義能量積分)，表征運動狀態流形，v表示航天器速度。Jacobi積分定義了零速度曲線（ZVCs），-2Ω-C(x,y,z,x˙,y˙,z˙)=0，即航天器運動在 v2≥0 的區域。

1.2 不變流形

L1和L2點Lyapunov周期軌道為不穩定軌道，連接在這些周期軌道的穩定和不穩定流形作為分界線可以提供零速度面內相鄰區域非常有價值的轉移通路結構。這種不變流形通路結構作為低能轉移通道在深空探測的初始軌道設計中有極大地應用價值。

穩定和不穩定流形的產生是通過對周期軌道上的點沿著穩定或不穩定特征向量方向施加小擾動實現的。假設一條初始點為t0，周期為T的L1點或者L2點Lyapunov軌道，單值矩陣為 Φ(t0+T,t0)穩定和不穩定特征值為 λs＜1，λu=1/λs，相應的特征向量 Ws和 Wu則可通過方程 Φ(t0+T,t0)ws=λsws，Φ(t0+T,t0)wu=λuwu獲得。定義單位向量w+和w-為每一個特征向量的正向和負向，那么負向的局部半個流形，w和w，則是通過對固定點x*在和方向上施加小擾動獲得的。同理，正向的局部半個流形，和，也是對固定點x*在和和方向上施加小擾動獲得。沿著特征向量方向的小擾動步長一般表示為d，則局部穩定流形的初始狀態可以表示如下：

d的取值非常關鍵，決定著局部流形的準確性。太小，則流形延拓過程緩慢；太大，則流形精度較低。一般情況，d取值為10-6［6］。對局部穩定流形進行負向時間推演延拓，可得到全局穩定流形；對局部不穩定流形進行正向時間推演延拓，可得到全局不穩定流形。

1.3 近拱點龐加萊映射

龐加萊映射是經典的分析動力學方法，不僅能將某點的流狀態與后續的流狀態關聯起來，而且能以n-1維離散系統來代替n維連續系統的流，使得問題變得簡單直觀。在平面限制性三體問題中，固定Jacobi積分，選擇合理龐加萊截面，這樣就可以將問題由四維降為二維。因此，整個狀態空間可以完全由平面的龐加萊投影截面代替。

近拱點龐加萊映射將近拱點通道作為投影截面，這里近拱點指相對于P2距離最近的點。近拱點龐加萊映射面首次由Villac和Scheers［8］定義并應用，表示為˙=0，0，這里，r為 P3相對 P2的位置矢量。 記P3在旋轉坐標系下的狀態為，近拱點可表示為：

應用近拱點龐加萊映射不僅降低了問題的維數，更進一步縮小了初步設計空間，使得初始解被限制在零加速度曲線內。其次，根據近拱點的定義，近拱點處P3相對P2的速度模值為零，選擇此處的點作為軌道初始拼接點，微分修正的速度誤差也比較小。

2 近拱點截面演化與應用

2.1 近拱點截面演化

近拱點截面創建相對比較簡單，對于給定的Jacobi常量，在零加速度曲線內內，每一條軌道的初始條件都對應近拱點區域內的一點。因此可以認為，初始條件都反映著近拱點。給定初始位置和速度，就可以產生順行或者逆行軌道。這些對應著軌道的初始狀態正向時間迭代特定的周期就產生一系列近拱點。首次近拱點用相同顏色描述，將狀態繼續進行時間積分演化，滿足下一個近拱點條件就進行評判著色，最終直到預定時間或者特定周期結束。這樣，就產生了獨立的特定范圍和類型的近拱點映射截面。

文中以地-月系為例，在特定Jacobi積分常量下，將平動點附近Lyapunov軌道進行離散，得到8 000個狀態點作為初始條件，利用近拱點演化結構對軌道類型進行了區分，以此獲得具有特定設計特征的軌道。

圖2給出了C=3.170時利用Lyapunov軌道不變流形延拓獲得的首次近拱點映射圖，在流形軌道上用黑點表示。可以看出，這些近拱點完美的定義了識別逃逸軌道的“瓣”狀區域。這些瓣狀區域代表了優先直接逃離較小主天體附近的軌道區域，任何包含這種區域內近拱點的軌道在下一個近拱點之前優先逃離。相反的，近拱點在這些區域外的軌道在下一個近拱點之前不會逃離。因此，這些瓣狀區域可以被看作是逃逸關口，任何逃逸軌道在最終逃逸之前都會最后經過這樣的關口區域。另外，一些流形軌道在平動點附近也產生了近拱點，這些近拱點在本文軌道設計中是被忽略的。圖中，為方便說明，用表示Li點Lyapunov軌道穩定流形上第m個近拱點所形成的區域等高線；同理，表示Lj點Lyapunov軌道不穩定流形上第n個近拱點所形成的區域等高線。

圖 3（a）（b）分別給出了P2附近 L1點和L2點穩定和不穩定流形的近拱點區域范圍的圖形。圖3中，穩定流形和不穩定流形的近拱點區域，即等高線包含區域分別用黑色、白點黑、深灰色、灰點白、斜白線灰和淺灰色進行填充。可以看出L1點和L2點首個穩定流形的近拱點等高線與圖2中是一致的。由于穩定流形是負向時間積分獲得，因此圖3（a）表示了負向時間下穿過邊界-0.01的L1逃逸軌道和x=xL2+0.02的L2逃逸軌道近拱點區域[10]；同樣的，圖3（b）表示了正向時間下的逃逸軌道近拱點區域。從圖3（b）中還可以看出，穩定和不穩定流形的近拱點映射關于x軸對稱。這樣在軌道設計中，我們就能利用這種對稱性，有效地減少軌道設計中的計算量。圖3中所有的近拱點都位于一條淺灰色的輪廓線內，這條輪廓線就是之前提到的零加速度曲線。

2.2 近拱點截面應用

根據2.1節的理論可知，近拱點截面是逃逸軌道進出P2附近區域的必經通道關口。利用這種性質，并結合不變流形理論，可以設計出入該區域的低能轉移軌道。轉移軌道的運動路線可以表示為：從Lj的不穩定流形出發，通過流形間的交點進入Li點穩定流形。這種方法的關鍵在于，如何找到不同流形間的交點，提供軌道設計的初始解。

圖2 C=3.170時L1正向穩定流形和L2負向穩定流形首次近拱點示意圖Fig.2 Map of first periapese alongandfor C=3.17

圖3 地-月系近拱點映射截面圖點示意圖Fig.3 Periapse structure in the Earth-Moon system

正如前述，近拱點龐加萊映射截面的一大特點就是在軌線可以表示為：從Lj的不穩定流形出發，通過流形間的交點進入Li點穩定流形。這種方法的關鍵在于，如何找到不同流形間的交點，提供軌道設計的初始解。

正如前述，近拱點龐加萊映射截面的一大特點就是在軌道設計中，解空間位于位形空間，初始解可以在位置空間中直觀的描述出來。在可視化的近拱點截面圖中，選擇同時位于近拱點等高線和上的點作為初始解，正向時間積分可以獲得不穩定流形上的軌道段Υ+，負向時間積分獲得穩定流形的軌道段Υ-。這樣，就可以經過Lj通道，進入Li通道的轉移軌道Υ。可以看出，當j=i時，軌道Υ為類似于同宿軌道的內部-內部轉移軌道或外部-外部轉移軌道；j≠i時，軌道Υ為類似于異宿軌道的外部-內部或內部-外部轉移軌道[11]。如果定義軌道Υ經過一個近拱點和一個遠拱點為一個周期，那么，軌道Υ在逃逸P2附近區域時共運行了m+n-1個近拱點，m+n-2個遠拱點，即共運行了m+n-2圈加一個遠拱點。因此，軌道Υ繞P2附近運行的周期可以表示為：

轉移軌道設計一定滿足這個規律。

3 軌道設計結果

3.1 同宿連接和異宿連接軌道

近拱點映射截面在進行同宿連接和異宿連接時更具優勢，根據2.2節理論，利用近拱點截面區域，可以直接獲得設計初始值。不過實際中，位于的近拱點，只能產生同同宿連接或異宿連接軌道的近似值。這個近似值只能作為實際軌道的初始猜測值，并需要多步打靶法被用來修正初始狀態。

文中采用自由時間的多點打靶微分修正法，具體見文獻[11]。進行了同宿連接和異宿連接軌道的設計。圖4給出了L1點和L2點部分近拱點截面的放大圖，利用圖中分別距離A、B點十分接近初始狀態，進行了的典型的同宿軌道連接和異宿軌道連接。

圖4 近拱點截面局部放大圖Fig.4 Close view of partof periapese lobs

圖5給出了典型的同宿軌道連接和異宿軌道連接示意圖。圖5（a）為圖4中A點附近狀態設計結果，（b）為B點附近初始狀態設計結果。結果表明，連接軌道繞P2附近運行的周期與2.2節的理論結果完全一致。雖然這里只給出了L1點的同宿連接軌道，但L2點也同樣存在。正如之前所述，同宿連接和異宿連接設計時，由于初始狀態的不連續，要進行多點打靶的微分修正使其滿足一定誤差精度。表1給出了微分修正設計前后微分修正前后的位置和速度誤差對比。

表1的設計結果表明，微分修正后，同宿連接和異宿連接軌道的誤差明顯減小。在空間位置上，已經成為一條連續的連接軌道，而速度誤差也保持在0.5m/s的量級。

表1 微分修正設計前后位置和速度誤差Tab.1 The pre-and post-correction error of position and velocity

圖5 同宿和異宿連接軌道Fig.5 Homoclinic and Heteoclinic connection orbit

3.2 L1和L2通道轉移軌道設計

根據2.2節所述，L1點和L2點Lyapunov軌道不穩定流形所描述的近拱點區域是進入P2附近區域的通道關口；與之相反，穩定流形所描述的近拱點區域則是逃離通道關口。因而，一條同時包含L1點穩定流形和L2點不穩定流形 （或者L1點不穩定流形和L2點穩定流形）近拱點的軌道就可稱之為“雙穿越”軌道；也就是說，這條軌道同時穿過L1和L2通道關口。

應用近拱點龐加萊映射進行軌道設計，一般步驟可以描述為：選擇同時位于穩定流形和不穩定流行近拱點截面和重疊部分的點作為初始狀態，對其狀態同時正向時間和負向時間演化延拓，就產生一條正向時間通過Li通道，負向時間通過Lj通道的轉移軌道。設計的關鍵在于如何獲得精確地初始狀態值。近拱點映射的優勢在于解空間位于位形空間，初始狀態的位置坐標(x,y)可由近拱點映射截面直接讀出，速度坐標可以根據 Jacobi積分和近拱點條件求出。見（7）式：

根據軌道動力學知識可知式（7）中，當x˙取“+”號，得到逆行軌道條件；反之，則得到順行軌道條件。本文分別針對順行條件和逆行條件進行了研究，選擇與圖4類似的近拱點映射

當式（7）取其逆行條件時，獲得軌道示意圖如圖8。截面放大圖，如圖6所示，選擇初始狀態A、B兩點，進行轉移軌道研究。

針對圖6中的初始狀態A、B，當式（7）選擇其順行速度條件時，獲得轉移軌道圖如圖7所示。圖7（a）為L1通道關口向L2通道轉移軌道；（b）為L2通道關口向L1通道轉移軌道。利用這種轉移軌道，可以實現主天體之間的探測。

圖6 近拱點截面局部放大圖Fig.6 Close view of part of periapese lobs

圖7 順行條件關口轉移軌道示意圖Fig.7 of prograde gateway transit orbit

圖8 逆行條件準周期軌道示意圖Fig.8 of retrograde Lissajours orbit

由圖7和圖8的設計結果可以看出，當式（7）取“-”號時，即取順行條件，得到的是雙穿越軌道；反之，即取逆行條件，得到的是準周期軌道.

對于這種差異，本文也從理論上進行了分析。在軌道力學中，運動矢量的加速度，我們可以描述為：

在式（8）中，等號右邊最后一項為科氏加速度。可以看出，本文三體條件下，順行條件時，其科氏加速度由P2指向外，對軌道起到擾動作用，這樣就滿足平動點附近轉移軌道機理，能實現雙穿越軌道；當取逆行條件時，科氏加速度則指向P2，對軌道起到穩定作用，這樣就產生準周期軌道。這一點與D.PHamilton[12]在研究小行星軌道穩定區域的結論相一致。

4 結論

本文針對平面圓型限制性三體問題，利用近拱點龐加萊映射面，研究了同宿異宿連軌道接和雙通道穿越轉移軌道。采用自由時間的多點打靶微分修正法，對軌道連接過程中的位置、速度不連續進行了修正，獲得了近似零消耗的同宿異宿連接軌道；在轉移軌道研究中，首次對其順行轉移條件和逆行轉移條件進行了研究，并對其形成的軌道進行了理論分析。

本文是在地-月系三體條件下進行的研究，該研究方法適用于太陽系中所有m1-m2系統。文中的設計方法，為三體系統下特定任務的初步軌道設計提供了理論保障，并提供了快速、有效地設計方案。

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