機床大規模公差設計策略與數字化方法

黃強

(重慶理工大學機械工程學院，重慶400054)

機械產品的公差設計質量，是影響其功能、質量和成本的決定性因素［1］。公差的優化設計，可以實現保障功能前提下的公差最大化，最終實現產品成本的合理控制［2］。隨著計算機輔助公差設計(CAT)的誕生和發展，大量相關研究工作在國際范圍內展開并取得了一系列進展，包括公差的數學語義、數學模型、公差網絡自動生成、公差分析以及優化等［3－8］。目前，完全數字化的公差設計與優化理論及技術水平距離工程應用仍有不小的差距。首先，公差設計包含大量的智力工作，如公差項目選擇、封閉環及修配環選擇等，而智力恰恰是當前計算機的短板;其次是大規模優化問題，如機床擁有數目眾多的幾何尺寸及公差，其優化模型必然十分龐大，這可能導致優化模型的可計算性下降甚至不可行。以機床為對象，探討大規模公差設計的策略及其數字化實現方法。

1 策略及其總體實施方案

公差設計包含兩項主要工作:(1)公差項目及數值的確定，(2)公差檢驗及調整。在完全采用數字化技術實施機床大規模公差設計與優化成為現實之前，研究一種基于人機結合、充分利用數字化手段的公差設計策略及方法是必要的。基本策略為:利用數字化手段最大限度地為這兩項工作提供需要的量化依據，由人工完成計算機不能勝任的那一部分智力工作。其總體實施方案如圖1所示。

圖1 基于人機結合的機床公差設計方案簡圖

1.1 基于誤差敏感性分析的公差數值分配

以機床裝配層公差設計為例進行闡述。機床每一個部件視為一個誤差單元，即公差控制對象。在該層面上，只對各個部件中的部分功能表面進行公差限定，即針對影響機床整機輸出精度的裝配結合面。在傳統的設計模式下，公差項目及數值的確定主要依據國家標準和企業的設計經驗沉淀，即經驗結合類比。限于目前計算機智能及推理能力的發展水平，形位公差類型仍只能采用人工制定，如床身－立柱安裝面與工作臺－導軌安裝面之間的平行度、主軸軸線與主軸箱主軸輸出端面的垂直度等。但在尺寸公差分配和形位公差數值確定中，則可以利用數字化分析方法獲得重要的設計依據——誤差敏感性分析。

(1)誤差敏感性分析

所謂誤差敏感性，即各個源誤差對輸出誤差的影響權重。機床的輸出精度是各個誤差單元綜合作用的結果。機床盡管具有多個誤差單元，但它們對機床輸出精度的影響程度不同，通過誤差敏感性分析掌握其量化規律，可以為公差數值的初步確定提供有力的依據:越敏感的誤差制定越嚴格的公差。

(2)機床誤差模型

實施機床誤差敏感性分析及后續的公差控制效果預測，均需要依托目標機床的誤差模型。機床誤差建模基于多體系統運動學和齊次坐標變換原理［9］，在裝配層面，該模型能準確反映機床各個部件之間的幾何位置、姿勢、運動關系以及誤差傳遞規律，是計算機輔助系統精度分析及公差設計的核心。

1.2 公差控制效果檢驗及公差調整

依據國標、經驗和誤差敏感性分析結果完成機床大規模公差的初步設計之后，其控制效果是否滿足設計要求是未知的，此時可以通過數字化手段對各項相關公差的綜合控制效果預測檢驗。如果預測檢驗的結果不合格或者不理想，就需要結合敏感性分析的結果選擇公差調整對象并進行針對性調整，而確定調整量大小，則需要先分析該項公差對系統輸出精度的量化作用規律。這是一項人機交互式的循環工作，直到設計結果滿意為止。

2 機床通用誤差模型的建立

不同種類和型號的機床具有不同的空間結構、尺寸及相對運動，所以目前的機床誤差建模與分析通常只針對特定的目標機床，這就意味著不同的機床需要單獨誤差建模并進行所需的分析，建立一個具有一定通用性的機床誤差模型十分有利于機床誤差分析及公差設計。

2.1 機床拓撲結構的共性

一個通用的機床誤差模型，首先是一個面向任意拓撲結構的機床模型。金屬切削機床均需要通過刀具和工件之間的相對切削運動來實現工件的加工，因此，除并聯機床外，切削機床在拓撲結構上應存在共性。圖2 為一臺臥式車床的結構示意圖，其拓撲結構如圖3所示。機床以基礎支承件床身7 為基點，各個相關部件分成兩支，一支從床身7 到工件10，另一支從床身7 至刀具1。所以，不同結構的機床具有相同的拓撲結構特征，即任意一臺金屬切削機床的部件鏈均由一系列相鄰的部件串接而成。部件鏈分成兩個部分:工件鏈和刀具鏈，連接點為床身。部件鏈中的各相鄰部件之間的關系可以是固聯、移動或轉動。

圖2 機床結構示意圖

圖3 機床拓撲結構示意圖

2.2 部件鏈關系的數學描述及其共性

機床部件鏈由一系列相鄰部件串接而成，部件鏈起始兩端部件的相對位姿、運動及其誤差關系，是各個相鄰的部件的相對位姿、運動及其誤差關系的綜合作用結果。在機床的各個部件上分別設置各自的局部坐標系，則各個部件坐標系在6 個自由度上的變動可準確表征機床各部件的相對位姿、運動及其誤差關系。

(1)兩個相鄰部件

在機床中選取兩個相鄰的部件i 和j。在無誤差狀態下，部件j 相對于部件i 的位姿和運動關系可用兩個部件坐標系的齊次坐標變換矩陣表示［9］:

其中:Tijp為兩部件的位姿變換矩陣，Tijs為運動變換矩陣;c 表示cos，s 表示sin;xijp、yijp和zijp分別表示坐標系j 相對于坐標系i 在x、y 和z 方向上的相對位置;xijs、yijs和zijs分別表示坐標系j 相對于坐標系i 沿x、y 和z 軸的相對直線運動量;當兩部件間沒有相對運動時，Tijs為單位矩陣;α、β 和γ 分別表示兩個坐標系的x、y 和z 軸之間的夾角或角位移，其下標含義同線位移。

有誤差狀態下，部件j 與部件i 之間至少存在相對位姿誤差，其總誤差矩陣的原始形式與式(2)和式(3)相似(將xijp、yijp、zijp、αijp、βijp和γijp分別置換為誤差參量 Δxijp、Δyijp、Δzijp、Δαijp、Δβijp和Δγijp)。由于Δαijp、Δβijp和Δγijp均為微小量，故兩個部件之間總的位姿誤差矩陣在忽略高階誤差項后可表示為:

如果兩個部件之間存在相對運動，則其運動誤差矩陣ΔTijs可用與式(4)相同的形式表示(下標換為ijs)。因此，部件j 相對于部件i 的關系可完整表示為:

Tij稱之為部件j 相對于部件i 的特征變換矩陣［10］。

(2)完整部件鏈

切削加工誤差可直觀描述為刀具與工件偏離理想的相對位姿和相對運動關系，因此，為分析機床各個部件誤差對加工精度的作用效應以及累計效應，部件鏈一般應表示為:刀具→部件1→中間部件2→…→中間部件n→工件，其總特征變換矩陣應為部件鏈中各相鄰部件間特征變換矩陣的順序連乘:

式(6)即為“刀具－工件”鏈的總特征變換矩陣，完整地描述了刀具與工件之間相對位姿、運動和誤差的來源以及相互關系。

2.3 機床通用誤差模型的建立

上一節的分析結果顯示:盡管不同種類和型號的金屬切削機床具有不同的空間結構、尺寸以及運動，但刀具與工件之間的相對位姿、運動及其誤差關系均可用式(6)所示的特征變換矩陣表征，而該特征變換矩陣又取決于部件鏈中各個相鄰部件之間的相對位姿、運動及其誤差矩陣如式(5)，且式中的Tijp、Tijs、ΔTijp及ΔTijs統一具有固定格式的4 ×4 形式，這就給建立通用的機床誤差模型提供了條件，即編制一個交互式的計算機軟件，就可以實現不同機床的數字化誤差建模與分析。

數字化機床誤差建模與分析的基本原理及結構如圖4所示。

圖4 數字化機床誤差建模與分析的基本原理及結構

其中建模工作包括3 個部分:

(1)建模準備

針對一臺目標機床，首先需要人工分析其拓撲結構，理清該機床從刀具到工件的部件順序，并按“刀具－工件”鏈順序對機床部件進行編號并建立部件坐標系。然后根據目標機床的設計資料確定“刀具－工件”鏈上各個相鄰部件間的相對位置、姿勢和運動參數:

①兩個局部坐標系在x、y、z 軸方向上的相對位置xijp、yijp和zijp以及這兩個局部坐標系的3 個坐標軸的夾角αijp、βijp和γijp。

②局部坐標系j 相對坐標系i 的相對運動:在x、y、z 軸方向上的相對直線運動xijs、yijs和zijs以及繞著3 個坐標軸的相對轉動αijs、βijs和γijs。

(2)機床部件相對位姿和運動參數輸入

將上述機床參數逐一輸入圖4所示界面。計算機首先將這些參數轉換為對應的4 ×4 矩陣并儲存，然后按照式(2)和式(3)計算并儲存各個相鄰部件間的相對位姿關系矩陣Tijp及運動矩陣Tijs。根據通用化需求，程序的原始設置為兩個相鄰部件間同時存在6 自由度的相對位姿關系和6 自由度的相對運動關系。輸入實際的關系值后，其余關系參數自動置零。

(3)誤差矩陣設置及其初始化

在實際狀況下，兩個相鄰部件相對位姿和運動均存在誤差，所以程序預置兩個相鄰部件的相對位姿和運動均存在如式(4)所示的6 自由度誤差ΔTijp和ΔTijs。由于誤差參量是被分析參量，故兩個誤差矩陣中的相關誤差項均初始化為零，即此時ΔTijp和ΔTijs均為單位矩陣。

完成上述3 項工作后，目標機床的部件層誤差模型自動在計算機中建立并儲存在對應的數據庫中。目標機床各相鄰部件之間的關系如式(5)所示，刀具與工件的關系如式(6)所示。完成建模后即可進行相應的分析工作。圖5 是一個誤差單元的敏感性分析結果，對象是圖2所示機床的中拖板。機床誤差敏感性分析的基本原理及具體方法可參閱文獻［10］。

圖5 中托板單元誤差的敏感性分析

3 面向系統的公差語義及其數學模型

利用機床的誤差模型，不僅可以分析源誤差的傳遞與積累規律，也可以實現公差控制效果的預測檢驗。進行數字化公差檢驗工作，首先必須建立對應的公差數學模型。

對于單個零件，其公差語義為公差的原始定義，主要用于零件的加工工藝編制及檢驗等工作，此處不再贅述。但在系統公差設計的實施中，則需要零件功能表面的公差具有面向系統的公差語義。仍以圖2所示機床為例，設床身7 上與主軸箱8 結合的表面為P，其公差為T，平面P 在公差范圍內的變動，必然造成部件8 位置和姿勢(以后簡稱位姿)的變化，并通過部件9 傳遞到工件10，導致工件10 偏離理論位姿，從而最終影響零件的加工精度。公差T 的直接作用效應，是使部件8 在6 自由度上偏離其理想位姿，即沿x 向、y 向和z 向平移;繞x 軸、y 軸和z 軸轉動，文中用Δx、Δy、Δz、Δα、Δβ 和Δγ 表示。這一組輸出變量表征了公差T 在系統中對其廣義配合件的作用輸出，即公差T 面向系統的公差語義。

在公差控制效果預測中，最被關注的是該項公差對“刀具－工件”相對位姿的最終約束效果，所以，公差的對外作用語義應表示為與機床誤差模型兼容的形式，即與式(4)相同的形式:

不同的公差項目具有不同的公差帶，這些公差帶均可用式(7)表示，其區別只是約束不同。因此，不同幾何要素的公差，需要建立不同的約束模型。

對一個指定的表面，根據需求可以有不同的公差約束形式，如尺寸公差、相對其他要素(平面和直線)的平行度、垂直度、傾斜度、對稱度以及本身的形狀。公差域由4 個要素決定，公差域的形狀可統一用式(7)表示，所以不同的表面公差約束體現為位置、大小和方向的不同。機床裝配中最常見的結合表面為平面和圓柱面，下面以平面為例介紹公差數學模型的建立方法。

如圖6所示，平面公差的自由度變量為線位移自由度變量Δy、轉動自由度變量Δα 和Δγ。在平面P的中心建立局部坐標系Oixiyizi，xi和zi軸分別平行于矩形的兩條邊，yi軸垂直平面P。設矩形邊長分別為2a 和2b，平面P 上點坐標為(x，0，z)，其中－b≤x≤b，－a≤z≤a。實際平面P'偏離理想平面P，即平面 P 上點(x，0，z)偏離到(x'，y'，z')。平面P' 上的所有點應約束在距離為T 的上下兩平行平面之內。在該局部坐標系內，局部坐標系在公差T 范圍內的自由度變量的取值范圍和相互關系可表示為:

圖6 平面公差的幾何模型示意圖

4 公差控制效果的預測方法示例

由于整機的公差設計效果預測(積累效應分析)包括一系列的公差項目，涉及過多的設定與分析描述，所以文中選取一個單項公差的控制效果及作用規律分析作為方法示例。

圖7 為YK3610 滾齒機的三維裝配示意圖，圖中工件主軸部件2 安裝在床身9 上，圖8 為兩者接觸面以及工件主軸部件的坐標示意圖，此處將床身上的該平面簡稱為P。工件主軸軸線應平行于軸向進給導軌(部件8 和部件9 之間的導軌)是機床設計的一項重要要求，床身上的平面P 與軸向進給導軌安裝面之間的平行度要求，是保障該項設計要求的主要因素之一。

分析目標:預測分析平面P 在平行度公差Tp約束下工件芯棒軸線的變動范圍及規律，用圖8 中x1和y1兩個方向的跳動值表征。

圖7 YK3610 樣機的三維裝配示意圖

圖8 工件主軸部件安裝表面坐標示意圖

在工件芯棒軸線上設定分析點Q(0，0，L)，L的取值范圍為工件安裝范圍。根據機床系統誤差建模結果，點Q 到床身坐標系的傳遞關系為:

基于這一傳遞關系，設此時工件主軸部件到工件芯棒之間無誤差，即ΔT21為單位矩陣，再將ΔT92設為式(7)所示公差，就可以預測平面P 的平行度公差Tp在指定目標下的約束效果及調整量。

(1)Tp的約束效果預測

設圖6 中x1和y1兩個方向跳動值的設計要求為300:0.015 mm。如果公差Tp的初始設計值為0.02 mm，P 平面誤差可以引起的最大跳動值為:

x1方向:小于0.001 mm

y1方向:0.020 8 mm

預測結果表明:如果Tp=0.02 mm ，即使在不考慮主軸芯棒自身誤差及軸向進給導軌誤差的情況下，y1方向的最大跳動值已超標，所以Tp需要調整。另外，x1方向的跳動值對Tp十分不敏感，這對后續分析及今后的設計和加工十分有利。

(2)Tp與作用結果之間的關系

圖9(a)是Tp大小與y1方向最大跳動值之間的映射關系;如果P 平面誤差在Tp范圍內服從正態分布，則造成的y1方向最大跳動值的統計分布如圖9(b)所示。依據圖9 可反求滿足要求的Tp值。注:影響x1和y1兩個方向跳動值的因素包括Tp、軸向進給導軌誤差以及主軸芯棒自身誤差等，所以Tp的調整應建立在合理的精度分配基礎之上。

圖9 P 平面公差與y1 方向最大跳動值之間的關系

5 結論

(1)在目前數字化公差設計理論和技術沒有系統完善的情況下，可以采用人機結合的方式，充分利用數字化手段進行機床的大規模公差設計與優化。即利用數字化手段最大限度地為公差設計、檢驗及調整工作提供需要的量化依據，由人完成計算機不能勝任的智力工作。

(2)機床的誤差敏感性分析、公差檢驗及調整必須依托機床的誤差模型。由于機床在拓撲結構和部件鏈關系的數學描述上均具有共性，所以可以采用編程方式建立一個通用的機床誤差模型。

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