航空重載面齒輪三維裂紋分析與疲勞壽命預測

王延忠 田志敏 侯良威 蘭 州

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191)

疲勞與斷裂是引起工程結構和構件失效的最主要原因［1］，應用于航空重載傳動的面齒輪也不例外.在重載工況下工作的面齒輪其循環應力較大，有相當數量的塑性變形，在經歷足夠多次的載荷擾動作用之后，從高應力或高應變處開始，形成裂紋，此后在擾動載荷作用下，裂紋進一步擴展，直至到達臨界尺寸而發生完全斷裂.疲勞破壞一般要經歷裂紋萌生、裂紋穩定擴展和裂紋失穩擴展(斷裂)3個階段，而裂紋失穩擴展是快速擴展，對壽命的影響很小，因此在估算壽命時只考慮裂紋萌生壽命和裂紋擴展壽命兩部分:裂紋萌生壽命即產生規定長度初始可測裂紋的循環次數;裂紋擴展壽命為由初始可測裂紋擴展到臨界長度的循環次數.

裂紋萌生壽命分析時，一般按應變-壽命關系進行;而裂紋擴展壽命分析則必須考慮裂紋的存在，需用線彈性斷裂力學理論［2］.

1 裂紋萌生壽命

應用應變-壽命關系進行裂紋萌生壽命分析，使用循環應力-應變模型和應變-壽命(ε-N)曲線，根據關鍵點的應變來預測裂紋萌生壽命.

1.1 循環應力-應變模型

材料的應力-應變遲滯回線如圖1所示，其總應變由彈性應變和塑性應變兩部分組成，即

式中，Δεt為總應變;Δεe為彈性應變;Δεp為塑性應變.

圖1 應力-應變遲滯曲線

彈性應變Δεe和塑性應變Δεp可以分別寫為

式中，Δσ為總應力;E為彈性模量;K'為循環強度系數;n'為循環應變硬化系數.

將材料疲勞強度系數σ'f和疲勞延性系數ε'f代替式(2)中的Δσ和Δεp可得

即

由式(1)～式(3)可得循環應力-應變曲線的表達式為

1.2 應變-壽命(ε-N)曲線

Basquin發現在對數坐標下，應力-壽命數據之間的關系是簡單的直線關系，表示為

式中，2Nf是以反向數計的疲勞壽命，是以循環數計的疲勞壽命的2倍;b為疲勞強度指數.

則彈性應變可寫為

Coffin和Manson發現塑性應變Δεp的對數與發生破壞的載荷反向次數2Nf的對數存在直線關系，即

式中c為疲勞延性指數.

總應變-壽命曲線(見圖2)可用Basquin方程和Manson-Coffin方程的疊加來表示:

圖2 總應變-壽命曲線

1.3 影響裂紋萌生壽命的因素

疲勞裂紋常萌生于試件表面，因此表面狀況對其萌生壽命有顯著影響.表面狀況主要包括表面粗糙度、表面層的組織結構和表層應力狀態，本文只分析表面粗糙度及氮化、噴丸工藝對裂紋萌生壽命的影響規律［3］.

1.3.1 表面粗糙度

表面光潔度修正系數Csur與表面粗糙度Ra和材料抗拉強度Rm有關，其關系曲線如圖3所示.

圖3 表面光潔度修正系數C sur

而疲勞強度削弱系數Kf與表面光潔度修正系數Csur的轉換關系式為

1.3.2 氮化、噴丸工藝

考慮氮化、噴丸工藝對裂紋萌生壽命的影響需進行表面敏感系數的修正.這些工藝改變表面層的組織結構或應力狀態，使得疲勞強度得到提高，而表面敏感系數的確定依賴于試驗［4］.

2 裂紋擴展壽命

以線彈性破壞力學(LEFM，Linear-Elastic Fracture Mechanics)理論為基礎，根據材料斷裂韌性與疲勞裂紋擴展速率，預測有初始缺陷或裂紋面齒輪的裂紋擴展壽命.

2.1 裂紋擴展理論

按裂紋的力學特征，可以分為張開型裂紋(Ⅰ型裂紋)、滑開型裂紋(Ⅱ型裂紋)和撕開型裂紋(Ⅲ型裂紋).在一般受力情況下，裂紋通常屬于復合型裂紋.

確定裂紋的開裂角和臨界擴展條件，已有最大周向應力理論、最大能量釋放率理論及應變能密度因子理論等脆性斷裂理論.由于面齒輪產生的裂紋屬于Ⅰ型+Ⅱ型+Ⅲ型復合型裂紋的擴展問題，因而采用應變能密度因子理論，其2個假設如下:

1)裂紋沿著應變能密度因子最小的方向開始擴展;

2)裂紋的擴展是由于最小應變能密度因子達到了材料的臨界值Sc.

根據上述假設，建立起相應的斷裂判據:

式中，ν為泊松比;μ為剪切彈性模量;KIc為Ⅰ型裂紋斷裂韌度值.

2.2 裂紋擴展壽命計算

在研究高強度合金材料的疲勞裂紋擴展時，Paris應用線彈性斷裂力學概念，將裂端應力強度因子和裂紋擴展速率聯系起來［5］，其關系在雙對數坐標上是一條S形曲線，如圖4所示.

圖4 疲勞裂紋擴展lgd a/d N-lgΔK關系

第Ⅱ階段d a/d N與ΔK在雙對數坐標上呈線性關系，可用Paris公式表示為

式中，ΔK為應力強度因子范圍，ΔK=Kmax－Kmin;C和m為材料常數，m為曲線的斜率.

將Paris公式積分，可得疲勞裂紋擴展壽命:

式中，a0為初始裂紋尺寸;ac為臨界裂紋尺寸［6］.

3 算例

根據以上理論，針對表1參數的齒輪進行壽命預測，包括裂紋萌生壽命和裂紋擴展壽命2部分.選用材料42CrMo4，E=2.1 ×105MPa，ν=0.3，且經熱處理:810℃淬火 2min，油冷 3min，180℃回火2 h.

表1 齒輪參數

3.1 裂紋萌生壽命

利用MSC.Fatigue軟件進行裂紋萌生分析，可以考慮表面粗糙度、表面處理工藝等因素對裂紋萌生壽命的影響.式(8)中，經查詢所用材料42CrMo4對應的參數值分別為:n'=0.14，σ'f=1820 MPa，ε'f=0.65，b= － 0.08，c= － 0.76，σs=930MPa，σb=1080MPa.根據以上材料參數值添加材料屬性，在材料庫中建立42CrMo4模型，其應變-壽命曲線如圖5所示.

圖5 42CrMo4應變-壽命曲線

3.1.1 齒根最大彎曲應力計算

利用Abaqus進行面齒輪加載接觸分析，定義2個分析步:第1個分析步圓柱齒輪繞自身軸線旋轉微小角度使2齒面接觸;第2個分析步在圓柱齒輪上施加旋轉角速度1.74 rad/s，在面齒輪上分別施加 3000，4000，4 500，5 000，6 000N·m 的負載扭矩.通過模擬齒輪間的相互嚙合過程，仿真得面齒輪齒根最大彎曲應力和齒面上的接觸法向力.以負載扭矩5000N·m為例，其加載接觸分析模型如圖6所示.齒根最大彎曲應力為859.6MPa，該點的坐標為(－3.161 798，－122.359 635，－27.7794)，齒面上的接觸法向力為 35720.6N，其結果見圖7.

圖6 面齒輪加載接觸分析模型

圖7 面齒輪齒面接觸法向力

3.1.2 裂紋萌生壽命預測

將Abaqus生成的fil結果文件導入MSC.Fatigue中，進行裂紋萌生的仿真計算.

面齒輪傳動是圓柱齒輪和面齒輪間的點接觸，發生齒面變形最終接觸區為以接觸點為中心的橢圓.為了方便仿真，考慮最危險情形，簡化其載荷歷程為作用于齒頂上一點的集中力，大小隨時間的變化如圖8所示.

圖8 加載歷程曲線

在Material Information菜單中，Finish選擇默認的No Finish，Treatment選擇默認的 No Treatment，KfValue 選擇默認值 1.0.

從生成的壽命結果云圖(圖9)可以看出面齒輪齒根壽命最短的節點Node 6488即為面齒輪齒根最大彎曲應力的節點.

圖9 Fatigue壽命結果云圖

1)表面粗糙度影響.

上述結果未考慮齒面粗糙度，現分析Ra=0.8，1.6，3.2，6.3 μm 等粗糙度情況下的裂紋萌生循環次數，研究面齒輪齒面粗糙度對其裂紋萌生壽命的影響規律.由Csur曲線查得

相應的

設置不同表面粗糙度對應的Kf數值，仿真得到相應情況下的裂紋萌生循環次數，其結果如圖10所示.

圖10 粗糙度對裂紋萌生壽命影響

從圖10知，在相同載荷作用下隨著粗糙度的減小，裂紋萌生循環次數在增大，可見提高齒面粗糙度有利于增加面齒輪裂紋萌生壽命.

2)表面處理影響.

對面齒輪齒面進行氮化和噴丸，分析其對裂紋萌生壽命的影響，部分結果為Beyond Cutoff，說明應力未達到材料的疲勞極限，由應變-壽命曲線知循環次數大于108.結果如圖11所示.氮化處理后循環次數均超過108，噴丸處理應力約小于630MPa循環次數超過108，可見氮化最有利于裂紋萌生循環次數的增大，其次是噴丸.

圖11 表面處理工藝對裂紋萌生壽命影響

3.2 裂紋擴展壽命

3.2.1 裂紋擴展模型建立

3.2.2 應力強度因子計算

利用Franc3D進行裂紋擴展，其中第10和第20擴展步的擴展結果如圖12所示.

圖12 裂紋擴展過程中擴展步的擴展結果圖

從裂紋擴展過程中應力強度因子的變化看出，隨著裂紋的進一步擴展，Ⅱ和Ⅲ型應力強度因子與Ⅰ型相比可以忽略不計，因此可以用Ⅰ型應力強度因子作為判定裂紋斷裂的依據［8］.以5000N·m為例，其Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型應力強度因子的變化規律曲線如圖13所示.

圖13 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型應力強度因子隨裂紋擴展變化曲線

當負載不同時，應力強度因子變化歷程曲線也不同，即擁有不同的裂紋擴展壽命.負載對應力強度因子變化歷程的影響趨勢如圖14所示，負載越大，其裂紋擴展循環次數越少，斷裂時裂紋擴展總長度越短.

圖14 不同負載下的Ⅰ型應力強度因子隨裂紋擴展變化曲線

3.2.3 裂紋擴展壽命預測

根據應力強度因子變化歷程曲線求得不同負載下的裂紋擴展循環次數［9－10］，見表 2.

表2 不同負載下的裂紋擴展壽命

3.3 疲勞壽命曲線

綜合以上分析計算的裂紋萌生壽命和裂紋擴展壽命，考慮表面粗糙度和表面處理工藝，得到不同表面粗糙度和表面處理工藝下的齒根最大彎曲應力-總循環次數曲線，即疲勞壽命曲線，如圖15所示.它可以用來指導實際生產活動中面齒輪的設計工作，預測面齒輪產品的使用壽命，避免產品失效導致的重大事故和經濟損失.

圖15 不同表面粗糙度、表面處理工藝下的疲勞壽命曲線

4 結論

本文應用應變-壽命關系和斷裂力學理論，以MSC.Fatigue和Franc3D為工具，考慮面齒輪齒面粗糙度及氮化、噴丸表面處理工藝，分析計算在不同負載扭矩情況下的面齒輪齒根裂紋萌生壽命和裂紋擴展壽命，得到以下結論:

1)面齒輪齒面粗糙度的提高有利于增加其裂紋萌生壽命;

2)提高面齒輪齒根裂紋萌生壽命，表面處理工藝氮化優于噴丸;

3)面齒輪齒根裂紋屬于復合型裂紋，但Ⅰ型應力強度因子占主導作用，可以作為斷裂判據;

4)不同表面粗糙度、工藝下的疲勞壽命曲線為面齒輪的設計和使用壽命的預測奠定基礎.

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