高超聲速飛行器異步切換的魯棒H∞控制

吳振東 王 青

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

董朝陽

(北京航空航天大學 航空科學與工程學院，北京 100191)

由于高超聲速飛行器的飛行包線跨度大，其氣動力特性在飛行過程中改變顯著，導致動力學特征和模型參數沿飛行軌跡變化非常快，工程上常采用增益調度方法設計此類系統的控制器［1］，但該方法難以保證閉環控制系統的穩定性.為了彌補上述方法的不足，學者將切換系統理論應用于高超聲速飛行器的控制器設計中［2－6］，取得了很好的設計效果，這些研究工作均是基于子系統與控制器同步切換.考慮飛行器實際工作中，從辨識工作子系統到激活相應的子控制器需要一定的時間，即控制器切換時刻會滯后于子系統，極易導致高超聲速飛行器控制系統切換過程的動態跟蹤特性變差，甚至造成閉環系統的不穩定，因而有必要研究飛行器子系統與控制器的異步切換.

近年來對子系統與控制器異步切換研究取得了一些優秀的成果［7－10］.文獻［7］分析異步切換對狀態和控制受限系統的影響;文獻［8］針對切換信號的延遲，設計了異步切換控制器，并分析了閉環系統的穩定性.以上文獻均保證了異步切換系統的穩定性，且優化了控制器異步切換的過渡過程，但因采用駐留時間的方法，為子系統工作附加了時間約束，增加了設計的保守性.針對此問題，文獻［9－10］采用平均駐留時間方法，設計了離散和連續系統的異步切換控制器，但沒有考慮不確定性，難以直接應用于具有不確定性的高超聲速飛行器控制系統的分析與設計中.

本文為克服以上研究的局限，針對高超聲速飛行器子系統與控制器異步切換，提出了一種魯棒H∞控制策略.構造了依賴于控制器切換信號的Lyapunov函數，有利于異步切換系統的控制器設計，同時也適用于異步切換導致的閉環子系統不穩定情況.結合平均駐留時間和Lyapunov函數，設計了異步切換的魯棒H∞控制器.

1 異步切換系統建模

以高超聲速飛行器［11］的縱向飛行動態為例，不失一般性，僅考慮飛行器的縱向短周期運動，假定每一個工作點處的縱向短周期線性模型可以表征工作點附近的飛行動態，建立如下帶有擾動的不確定線性切換系統:

其中，x(t)=［α q］T為系統狀態，α，q分別為迎角和俯仰角速率;u(t)=［ξeη］T為控制輸入，ξe為升降舵偏轉角，η為節流閥調定指令;擾動輸入變量w(t)=［w wx］T，w和wx分別為垂向風速及其沿前向的梯度;z(t)為被控輸出;σ(t):N→Ω={1，2，…，k}為切換律，表征飛行器工作點隨時間變化規律;分別為第 i個工作點的不確定性系數矩陣，其描述如下:

其中，Ai，Bi，Ci，Di，Ei，Fi是標稱系數矩陣;Ui1，Ui2，Vi1，Vi2，Vi3是具有適當維數的實常數矩陣，由子系統系數矩陣的不確定項求解可得;Γ是滿足ΓTΓ≤I的未知參數矩陣.

飛行器控制系統設計任務是實現控制系統的穩定和對給定指令信號的跟蹤控制，考慮飛行器實際工作中，從辨識工作子系統到激活相應的子控制器需要一定的時間τi，如圖1所示.

圖1 子系統與控制器異步切換示意圖

設計如下形式的控制器:

其中，Kσ'(t)，Krσ'(t)(t)分別為控制器中的反饋控制律和前饋控制律;r(t)為給定的指令信號;σ'(t)為控制器的切換律.

假定控制器切換滯后時間τi均不大于常數τd，則 σ'(t)可表示為

2 控制器設計與分析

定義1［4］對于任意切換信號 σ(t)和任意時刻的 t＞t0，令 Nσ(t)(t0，t)表示 σ(t)在時間間隔(t0，t)的切換次數.如果對于任意給定的 N0，τa＞ 0 ，使得Nσ(t)(t0，t)≤N0+(t－t0)/τa成立，則稱τa為平均駐留時間.不失一般性，本文假設N0=0.

針對不確定線性切換系統(式(1))，設計控制器，并找到使得閉環切換系統全局一致漸近穩定且具有H∞性能上界的最小平均駐留時間.

定理1 對于給定常數 α ＞0，β＜α，γ＞0，εi＞0，εij＞0 和 μ ＞1，若存在正定矩陣 Xi，Xj，適維矩陣Wi，Wj，使得如下線性矩陣不等式成立:

其中

且切換律滿足平均駐留時間τa約束:

則控制器(3)中反饋控制器Kσ'(t)(t)選取如下參數:

證明 構造準Lyapunov函數V(x)=xTPσ'(t)x ，當 t∈［tk，tk+ τd)時有

其中

其中

式(13)對所有ΓTΓ≤I成立，當且僅當存在εij＞0，使得如下不等式成立:

由Schur補引理，式(14)等價于

將 Ψij，Mi和 Ni代入式(15)，并令 Wj=KjXj，即得到式(5).

綜上，當 t∈［tk，tk+ τd)時，可得

同理，當 t∈［tk+ τd，tk+1)時，由式(6)可得

對式(7)應用2次Schur補引理，得

由 V(x)=xTPσ'(t)x ，可得

下面基于式(16)～式(19)，給出系統全局一致漸近穩定和H∞性能上界的證明.

1)全局一致漸近穩定性分析.

令w(t)≡0，由式(16)和式(17)有

令Γa(T1，T2)表示［T1，T2)內控制器處于異步狀態的總時長，基于式(19)和式(20)進行如下推導，得

2)H∞性能分析.

基于式(16)、式(17)和式(19)可得

結合平均駐留時間條件式(8)，在零初始條件下，式(22)可得

對式(23)兩端進行積分，得

證畢

通過定理1可知，高超聲速飛行器子系統與控制器異步切換的穩定性和H∞性能由式(5)～式(8)保證;從V(x)=xTPσ'(t)x和式(20)可知，Lyapunov函數依賴于控制器的切換信號，有利于異步切換系統的控制器設計，同時也適用于異步切換導致的閉環子系統不穩定情況(β＜0)，放寬了激活子系統能量函數是單調遞減的條件，降低設計的保守性.

為了使系統的輸出z(t)跟蹤有界分段連續的參考指令信號r(t)，控制器(式(3))中前饋控制律Krσ'(t)選取如下參數:

其中，l∈σ'(t);C為系統輸出矩陣.在系統鎮定的情況下，按式(25)設計的前饋控制律Krσ'(t)可以實現對給定指令信號r(t)的無差跟蹤［12］.

3 仿真驗證

為驗證本文方法的有效性，采用文獻［11］的高超聲速飛行器模型，選擇不同區域的工作點進行切換系統分析，工作點的平衡狀態見表1.

表1 高超聲速飛行器工作點的平衡狀態

不確定線性切換系統(式(1))中各標稱系數矩陣如下:

系統的不確定系數矩陣是由標稱系數矩陣加上不確定矩陣，系統的不確定性主要考慮各氣動導數，因此在各氣動導數上分別加入±15%偏差，獲得系統不確定矩陣，按照式(2)進行分解獲得Ui1，Vi1，Vi2，Ui2=Vi3=0.選取 α =0.95，β = －0.5，τd=1.5s，γ =32.6，采用Matlab 的YALMIP 工具箱實現定理1，得到μ在10－3誤差精度下的極小值和平均駐留時間上界為μ=1.532和，解得切換系統反饋控制器Kσ'(t)如下:

圖2 飛行軌跡的馬赫數和高度變化曲線

圖3 子系統與控制器異步切換信號曲線

考慮在無外部干擾的條件下，子系統與控制器異步切換的響應曲線如圖4和圖5所示.仿真結果表明:飛行器對指令的跟蹤時間短，跟蹤精度高，具有良好的動態響應品質，俯仰角速率和舵偏角均處于安全工作范圍內，與未考慮異步切換的控制方法相比，本文方法的控制量在異步切換時刻無跳躍現象.

圖4 無擾條件下的系統狀態隨時間變化曲線

圖5 無擾條件下的舵偏角隨時間變化曲線

為驗證控制系統對擾動的抑制能力，在仿真模型中加入Dryden紊流干擾，子系統與控制器異步切換的響應曲線如圖6和圖7所示.仿真結果表明:控制器具有良好的擾動抑制能力，俯仰角速率和舵偏角均處于安全工作范圍內，控制量在異步切換時刻無跳躍現象.

圖6 擾動條件下的系統狀態隨時間變化曲線

圖7 擾動條件下的舵偏角隨時間變化曲線

4 結論

本文針對高超聲速飛行器子系統與控制器異步切換，提出了一種魯棒H∞控制策略，構造了依賴于控制器切換信號的Lyapunov函數，有利于異步切換系統的控制器設計，同時也適用于異步切換導致的閉環子系統不穩定情況，放寬了激活子系統能量函數是單調遞減的條件，降低設計的保守性，為高超聲速飛行器子系統與控制器異步切換方法提供了一種解決思路.仿真結果表明，異步切換魯棒H∞控制系統體現出良好的動態響應品質，控制量在異步切換時刻無跳躍現象，舵偏角處于安全工作范圍內;在模型中加入紊流干擾仿真，控制器體現出具有良好的擾動抑制能力.

References)

［1］ Holland SD，Woods W C，Engelund W C.Hyper-X research vehicle experimental aerodynamics test program overview［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2001，38(6):828 －835

［2］談樹萍，李智斌.高超聲速飛行器自適應切換控制及穩定性分析［J］.空間控制技術與應用，2011，37(1):21 －27 Tan Shuping，LiZhibin.Switching control design for a hypersonic flight vehicle［J］.Aerospace Control and Application，2011，37(1):21－27(in Chinese)

［3］宋磊，楊劍影，段志生.多模型切換系統H∞魯棒控制器的設計與應用［J］.控制理論與應用，2010，27(11):1531 －1536 Song Lei，Yang Jianying，Duan Zhisheng.Design and application of H∞robust controller for multi-model switching system［J］.Control Theory and Applications，2010，27(11):1531 － 1536(in Chinese)

［4］ Hou Yanze，Wang Qing，Dong Chaoyang.Gain scheduled control:switched polytopic system approach［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，2011，34(2):623 －628

［5］張增輝，楊凌宇，張晶，等.基于間隙度量的魯棒LPV控制律設計［J］.北京航空航天大學學報，2012，38(11):1430－1434 Zhang Zenghui，Yang Lingyu，Zhang Jing，et al.Robust LPV control design using the gap metic［J］.Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2012，38(11):1430 －1434(in Chinese)

［6］ Huang Yiqing，Sun Changyin，Qian Chengshan.Polytopic LPV modeling and gain-scheduled switching control for a flexible airbreathing hypersonic vehicle［J］.Journal of Systems Engineering and Electronics，2013，24(1):118 －127

［7］ Mhaskar P，El-Farra N H，Christ of ides P D.Robust predictive control of switched systems:satisfying uncertain schedules subject to state and control constraints［J］.International Journal of Adaptive Control Signal Process，2008，22(2):161 － 179

［8］ Xie D，Chen X.Observer-based switched control design for switched linear systems with time-delay in detection of switching signal［J］.IET Control Theory Applications，2008，2(5):437 －445

［9］ Zhang Lixian，Shi Peng.Stability l2-gain and asynchronous control of discrete-time switched systems with average dwell time［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2009，54(9):2193－2200

［10］ Zhang Lixian，Gao Huijun.Asynchronously switched control of switched linear systems with average dwell time［J］.Automatica，2010，46(5):953 －958

［11］ Bolender M A，Doman D B.Nonlinear longitudinal dynamical model of an air-breathing hypersonic vehicle［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2007，44(2):374 －387

［12］ Tan Feng，Duan Guangren，Zhao Lijun.Robust controller design for autopilot of a BTT missile［J］.Proceedings of the 6th World Congress on Intelligent Control and Automation，2006:6358 －6362