結(jié)構(gòu)模糊非概率混合可靠性分析方法

許孟輝 邱志平

(北京航空航天大學 固體力學研究所，北京 100191)

工程領(lǐng)域總是存在各種不確定性，其數(shù)據(jù)類型和可用信息容量決定其數(shù)學描述形式.工程結(jié)構(gòu)不確定性源于因果關(guān)系不充分或界限不明確，前者引起的結(jié)果不可預知性本質(zhì)為因果律的缺失而導致的隨機性，可由概率統(tǒng)計規(guī)律描述，后者引起的邊界不清晰性本質(zhì)上為排中律的缺陷導致的模糊性，可由模糊可能性理論描述.在新工藝新材料廣泛應(yīng)用的結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)參數(shù)有限的試驗數(shù)據(jù)造成概率統(tǒng)計理論及可能性理論實際應(yīng)用的困難，即在小樣本條件下擬合結(jié)構(gòu)參數(shù)的概率密度函數(shù)或隸屬度函數(shù)具有較大誤差，且在后續(xù)分析與設(shè)計中因結(jié)構(gòu)非線性等因素造成誤差超出可接受范圍.參數(shù)區(qū)間模型僅需確定參數(shù)分布范圍的上下界而無需參數(shù)分布類型，在結(jié)構(gòu)分析設(shè)計領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用.

結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性會引起結(jié)構(gòu)功能波動而無法發(fā)揮其規(guī)定效用甚至造成結(jié)構(gòu)失效.結(jié)構(gòu)可靠性是研究結(jié)構(gòu)在各種因素作用下的安全問題，描述結(jié)構(gòu)在規(guī)定條件下和規(guī)定時間內(nèi)完成規(guī)定功能的能力.傳統(tǒng)可靠性分析采用概率模型來描述結(jié)構(gòu)不確定性，設(shè)計要求為結(jié)構(gòu)失效概率小于允許失效概率［1］.但概率模型需要足夠數(shù)據(jù)確定概率密度函數(shù)，這些數(shù)據(jù)往往不易準確獲知，若對概率密度函數(shù)作人為假設(shè)，則分析結(jié)果可能存在較大誤差［2］.對于統(tǒng)計數(shù)據(jù)不足而難以確定概率密度函數(shù)的情況，文獻［2］主張采用凸集模型描述不確定性，將不確定性視為有界量，通過反優(yōu)化予以考慮.與此同時，結(jié)構(gòu)分析設(shè)計過程存在許多模糊不確定性，如機械零件的失效磨損尺寸、結(jié)構(gòu)允許的最大變形位移等［3］.模糊理論是處理模糊不確定性的重要工具.傳統(tǒng)模糊可靠性分析是基于模糊隨機干涉可靠性理論［4－5］.文獻［6 －7］修改了概率可靠性兩個基本假設(shè)，提出了模糊狀態(tài)和可能性假設(shè)可靠性理論.文獻［8］基于可能性理論，提出了結(jié)構(gòu)的能度可靠性方法.然而，實際工程結(jié)構(gòu)可能存在多種不確定性共存的情形，如在機翼結(jié)構(gòu)初始設(shè)計階段，某些結(jié)構(gòu)參數(shù)由于試驗數(shù)據(jù)不足而大多采用區(qū)間變量或模糊變量，而隨試驗數(shù)據(jù)的增加將某些結(jié)構(gòu)參數(shù)定量化為隨機變量.如何對多種不確定性共存的結(jié)構(gòu)進行可靠性分析［9－11］成為一個具有實際意義的問題.對概率非概率不確定性［9－12］、概率模糊不確定性［3］及模糊非概率不確定性共存［13－14］下的可靠性分析已有部分研究.文獻［13－14］方法基于“逐層分析”思想，將非概率區(qū)間變量或模糊變量取其某一實現(xiàn)，進一步按照能度可靠性或非概率可靠性理論分析結(jié)構(gòu)可靠性.根據(jù)模糊性與非概率不確定性的“可縮減”性質(zhì)，即模糊性與非概率不確定性隨相關(guān)數(shù)據(jù)信息的增加而減少，可將這兩種形式不確定性統(tǒng)一考慮.

針對含模糊非概率混合變量的可靠性問題，現(xiàn)有研究主要從模糊失效準則出發(fā)刻畫結(jié)構(gòu)可靠度分析過程中的模糊性.本文基于模糊數(shù)學分解原理，將模糊非概率混合可靠性問題轉(zhuǎn)化為一系列不同隸屬度下非概率可靠性分析問題，通過在［0，1］內(nèi)遍歷隸屬度值實現(xiàn)結(jié)構(gòu)可靠度的模糊性定量化.在非概率可靠性分析中，可靠度的求解存在計算量與精度間的顯著矛盾.本文基于逐維策略和Chebyshev模型將結(jié)構(gòu)功能函數(shù)最值的計算轉(zhuǎn)化為最值點向量的逐維確定過程，通過功能函數(shù)在最值點向量處的精確值確定功能函數(shù)的界限以計算結(jié)構(gòu)可靠度.

1 模糊非概率混合可靠性問題

含有模糊變量和區(qū)間變量的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)可表示為

根據(jù)模糊數(shù)學分解原理，模糊變量等價于在［0，1］內(nèi)連續(xù)分布的隸屬度水平下的閉區(qū)間變量.本文將區(qū)間向量yI視為具有特殊隸屬度函數(shù)的模糊向量，即對于任意的 j∈{1，2，…，n}，區(qū)間變量的隸屬度函數(shù)可以表示為μj(yj)≡1，且在任意隸屬度λ∈［0，1］下的截集仍為其本身，即

因此，模糊非概率混合變量分析問題轉(zhuǎn)化為一系列隸屬度下的非概率分析問題，且通過下面的命題可以證明:由自變量在隸屬度λ下誘導的定義域所決定的函數(shù)值域為相同隸屬度下因變量的截集.

命題 若結(jié)構(gòu)功能函數(shù)M是具有連續(xù)隸屬度函數(shù)的結(jié)構(gòu)參數(shù) x～，yI的連續(xù)函數(shù)，且由定義域確定的函數(shù)M的值域為緊集，則在可能度λ下結(jié)構(gòu)功能函數(shù)M的截集Mλ可以表示為

即

證明 對于任意給定的m1，滿足條件:

則存在向量x1和y1，滿足:

且有

由 Zadeh 擴張原理［15］可得

式中符號∧表示取小運算，則有m1∈Mλ，從而

相反地，對于任意的m2∈Mλ，有

滿足:

且

從而

綜上所述有

證畢

一般而言，工程領(lǐng)域結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為結(jié)構(gòu)參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，并且其值域為緊集.給定隸屬度λ，模糊向量轉(zhuǎn)化為區(qū)間向量，區(qū)間向量yI亦為該隸屬度下的區(qū)間向量，即相應(yīng)地，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)轉(zhuǎn)化為在給定隸屬度下僅含區(qū)間向量和 yI的函數(shù)，即

根據(jù)非概率區(qū)間可靠性分析的最短距離模型［16］，設(shè)在可能度λ下結(jié)構(gòu)功能函數(shù)Mλ的中心值和半徑分別表示為和，則結(jié)構(gòu)可靠度可表示為

即結(jié)構(gòu)在隸屬度λ下是安全可靠的.若ηλ＜－1，則

即結(jié)構(gòu)在隸屬度λ下必然失效.

2 模糊非概率混合可靠性分析算法

在結(jié)構(gòu)分析設(shè)計領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)往往表現(xiàn)為非線性高維隱式函數(shù).由式(7)可知，結(jié)構(gòu)可靠度由功能函數(shù)的界限值決定，頂點法和優(yōu)化法等常用于功能函數(shù)界限值的計算，但頂點法對非線性函數(shù)界限值估計誤差較大，優(yōu)化法對隱式高維函數(shù)界值的計算存在精度和效率間的矛盾.本文基于函數(shù)Chebyshev近似模型及配點方法提出功能函數(shù)最值點逐維確定策略以高效精確地計算功能函數(shù)在給定可能度下的界限值.

為說明的方便，在給定可能度λ下，記

因此向量Zλ可分解為均值和半徑的線性組合形式，即

式中，zλ表示絕對值不大于1的變量組成的m+n維向量;符號×表示向量對應(yīng)元素作乘積運算.因此，結(jié)構(gòu)功能函數(shù)可以表示為

選擇 zλ，i，i∈{1，2，…，m+n}為逼近參數(shù)且zλ，j(j=1，2，…，m+n;j≠i)取均值，并記退化的功能函數(shù)為

為本文理論推導的需要，式(14)簡記為

本文提出的逐維策略是基于Chebyshev多項式模型和配點方法.為此，首先引入第1類Chebyshev 多項式［17］:

記前p階Chebyshev正交多項式的張成子空間為Hp=span{T0(z)，T1(z)，…，Tp(z)}，則根據(jù)函數(shù)的Chebyshev正交展開理論，對退化的功能函數(shù)G(z)，有

式中

由Gauss-Chebyshev求積公式，有

式中 zk(k=1，2，…，q)為 Tq(z)的零點，可以表示為

且 Ck(k=1，2，…，q)為求積系數(shù)，可以表示為

則有

因此退化功能函數(shù)可以表示為

將式(24)寫成矩陣形式有

式中

其中

為求解退化的功能函數(shù)G(z)的上下界，首先計算導函數(shù) G'(z)的零點)，記，計算退化功能函數(shù)在zextre中各元素處的值并以zmin和zmax分別表示G(z)的最小值點和最大值點.按照相同的處理方法，將式(14)中下標i從1～m+n遍歷，并以和)分別表示第個變量變化，其余m+n－1個變量取均值下退化功能函數(shù)的最小值點和最大值點，記

則結(jié)構(gòu)功能函數(shù)在給定隸屬度λ下的最小值和最大值分別為

根據(jù)非概率可靠性理論，在給定隸屬度λ下結(jié)構(gòu)可靠度可以表示為

由式(29)可知，模糊非概率區(qū)間混合變量下結(jié)構(gòu)可靠度具有模糊性，其模糊性是由結(jié)構(gòu)模糊參數(shù)的內(nèi)在模糊性傳遞而來.為實現(xiàn)結(jié)構(gòu)可靠度的模糊性定量化，本文通過在區(qū)間［0，1］內(nèi)遍歷隸屬度λ的取值擬合在模糊非概率混合變量情形下結(jié)構(gòu)可靠度的隸屬度函數(shù).

3 算法分析

在給定隸屬度下，基于逐維策略將結(jié)構(gòu)功能函數(shù)最值計算過程轉(zhuǎn)化為最值點向量的逐維確定過程，并通過結(jié)構(gòu)功能函數(shù)確定其分布范圍，從而根據(jù)結(jié)構(gòu)非概率可靠性理論計算結(jié)構(gòu)可靠度，將分別從算法精度和算法效率2個方面進行理論分析.

3.1 精度分析

實際工程結(jié)構(gòu)的復雜性造成其功能函數(shù)數(shù)學形式上表現(xiàn)為非線性高維隱式函數(shù)，如對高層建筑進行可靠度分析時，其頂層最大位移與結(jié)構(gòu)的梁、柱截面面積、截面慣性等幾何特征關(guān)系不能用一個簡單計算式來明確表達.對于隱式功能函數(shù)問題，代理模型已經(jīng)發(fā)展成為一種有效處理方法.

傳統(tǒng)代理模型包括響應(yīng)面模型、Kriging模型、徑向基函數(shù)模型及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等，均是在設(shè)計向量的全空間范圍內(nèi)對精確函數(shù)進行逼近，效率和精度之間矛盾顯著，尤其是對高維變量情形，即代理模型高精度要求造成計算量非常可觀，而在可接受計算代價下精度有限.本文基于逐維策略在一維空間內(nèi)對退化功能函數(shù)進行近似，其精度取決于Chebyshev展開式系數(shù)求解的精度和近似模型精度.對于近似模型展開式系數(shù)計算的截斷誤差可以表示為

式中，q表示Gauss-Chebyshev求積節(jié)點個數(shù);p表示Chebyshev模型的階數(shù).根據(jù)式(30)，有

即通過求積節(jié)點個數(shù)可將給定近似模型階數(shù)的系數(shù)求解誤差控制為0.在工程問題中一般選擇p=3～11，相應(yīng)地可以確定求積節(jié)點個數(shù)q的取值.對于后者而言，由于在一維空間對退化功能函數(shù)進行逼近，更高階多項式的應(yīng)用使得截斷誤差更小，精度更高.

3.2 效率分析

對于工程復雜結(jié)構(gòu)可靠性分析問題，本文算法的主要計算量為式(26)中Gcoe的有限元分析計算.在給定隸屬度λ下，需要進行(m+n)(q+2)次結(jié)構(gòu)有限元分析.與結(jié)構(gòu)有限元計算相比，系數(shù)矩陣T及導函數(shù)G'(z)零點的求解計算量可忽略不計.在滿足精度要求計算響應(yīng)函數(shù)范圍前提下，本文方法較優(yōu)化方法計算量明顯減小，尤其在結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為隱式功能函數(shù)的情況下.

值得注意的是，本文算法基于逐維策略通過確定特定范圍內(nèi)極值點向量而計算功能函數(shù)界限，雖針對參數(shù)向量的每維變量計算過程與效率相同，并可實現(xiàn)維度并行計算，但在變量空間具有很高維數(shù)的情況下，計算過程仍略顯繁瑣，這也將成為本文算法的改進方向之一.

4 算例與應(yīng)用

4.1 管狀懸臂梁結(jié)構(gòu)可靠性分析

對文獻［18］中如圖1所示管狀懸臂梁結(jié)構(gòu)進行可靠性分析，其總長度為L1，內(nèi)外直徑分別為d1和 d2，受到外力載荷 F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3及扭矩 T的作用.結(jié)構(gòu)安全需滿足條件:懸臂梁固定端圓周下表面處最大應(yīng)力值σmax不超過強度S，即結(jié)構(gòu)功能函數(shù)可以表示為

式中

圖1 管狀懸臂梁結(jié)構(gòu)

在分析中，懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù) L1=200 mm，L2=100mm，θ1=30°，θ2=30°及 T=90N·m 為固定值.懸臂梁內(nèi)外直徑d1和d2因生產(chǎn)工藝水平限制而分布在區(qū)間范圍內(nèi)，有 d1∈［25.4，35.6］mm，d2∈［39，45］mm，結(jié)構(gòu)強度 S 和外載荷 Fi(i=1，2，3)由統(tǒng)計特性可以簡化為模糊參數(shù)，隸屬度函數(shù)表示為

結(jié)構(gòu)可靠度的模糊性是由外載荷及結(jié)構(gòu)強度的內(nèi)在模糊性引起的，可以通過可靠度隸屬度函數(shù)予以定量化.根據(jù)本文模糊非概率可靠性分析模型，以通過9個配點計算的4階Chebyshev多項式為代理模型，計算得出的結(jié)構(gòu)可靠度隸屬度函數(shù)如圖2所示，其中ODMF表示隸屬度函數(shù)原始數(shù)據(jù)點，F(xiàn)MF曲線表示擬合的隸屬度曲線，OPMF表示采用優(yōu)化方法求解非概率可靠度而得出的隸屬度曲線.在相同計算平臺上，通過Matlab數(shù)值模擬，本文方法計算時間約為0.873 0 s，以Isight平臺中Pointer算法集成Matlab模擬的既有優(yōu)化方法的計算時間約為103 s(未計入調(diào)用Matlab軟件的時間).通過與優(yōu)化方法計算得出的隸屬度函數(shù)曲線相比，本文方法在有效降低計算量的同時保證了計算精度.由圖2可知結(jié)構(gòu)可靠度不小于1的隸屬度為0.70.同時，本文所提出的模糊非概率可靠性模型可以指導含模糊非概率混合變量結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計.優(yōu)化目標可選為最小化可靠度為1時的隸屬度，即意味著在較低的隸屬度下仍然滿足結(jié)構(gòu)是安全可靠的，較低的隸屬度意味著生產(chǎn)工藝水平要求較低.

圖2 管狀懸臂梁結(jié)構(gòu)可靠度隸屬度函數(shù)

4.2 機翼結(jié)構(gòu)可靠性分析

如圖3所示為由2種不同材料組成的某型支線客機機翼的簡化有限元模型，應(yīng)用本文方法分析機翼蒙皮在不確定載荷作用下的模糊可靠度.載荷因子p和蒙皮材料強度S為區(qū)間參數(shù)，即p∈［0.95，1.05］，S∈［280，283］MPa，材料彈性模量E1和E2為模糊參數(shù)，隸屬度函數(shù)分別表示為

圖3 機翼結(jié)構(gòu)有限元模型

選擇9配點4階Chebyshev多項式代理模型，管狀懸臂梁結(jié)構(gòu)的隸屬度分析表明本文方法能夠精確高效地捕捉不同可能度水平下結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的界限值.通過本文方法計算得出的機翼蒙皮結(jié)構(gòu)可靠度的隸屬度函數(shù)曲線如圖4所示，可靠度為1的可能度為0.35.由于有限元分析計算的復雜性，采用優(yōu)化方法計算不同隸屬度水平下結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的界限值的計算量難以承受，造成復雜結(jié)構(gòu)模糊非概率可靠度分析的困難.然而，本文方法基于逐維策略在滿足工程精度要求的前提下顯著地減小了計算代價，為復雜結(jié)構(gòu)模糊非概率可靠度分析及混合不確定環(huán)境下結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計提供了可行途徑.

圖4 機翼結(jié)構(gòu)可靠度隸屬度函數(shù)

5 結(jié)論

針對含模糊非概率混合變量的結(jié)構(gòu)可靠性分析問題，本文首先提出了逐維策略下的結(jié)構(gòu)非概率可靠度最短距離模型的高效精確算法，避免了可靠度優(yōu)化求解過程，提高了計算效率和精度;基于模糊數(shù)學分解原理，將結(jié)構(gòu)模糊非概率可靠度分析問題等價地轉(zhuǎn)化為一系列非概率可靠度分析問題，并采用所提出可靠度算法對轉(zhuǎn)化后的非概率可靠度分析模型進行了求解，精確高效地計算了結(jié)構(gòu)可靠度的隸屬度函數(shù);最終實現(xiàn)本文算法的工程應(yīng)用.本文主要結(jié)論包括:

1)本文通過計算結(jié)構(gòu)可靠度隸屬度函數(shù)實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)可靠度模糊性的定量化;

2)本文提出非概率可靠度計算方法合理可行，具有計算量小且計算精度高的特點;

3)與非概率可靠度估計的優(yōu)化方法相比，本文所提方法適用于具有隱式功能函數(shù)的復雜結(jié)構(gòu)可靠度分析;

4)本文方法基于逐維策略提高了功能函數(shù)界限值捕捉效率，為復雜工程結(jié)構(gòu)可靠度分析及后續(xù)可靠性優(yōu)化設(shè)計提供了可行途徑.

References)

［1］ Cheng Gengdong，Xu Lin，Jiang Lei.A sequential approximate programming strategy for reliability-based structural optimization［J］.Computers Structures，2006，84(21):1353 － 1367

［2］ Ben-Haim Y，Elishakoff I.Convex of uncertainty in applied mechanics［M］.Amsterdam:Elsevier Science，1990

［3］黃洪鐘，孫占全，郭東明，等.隨機應(yīng)力模糊強度時模糊可靠性的計算理論［J］.機械強度，2001，23(3):305－307 Huang Hongzhong，Sun Zhanquan，Guo Dongming，et al.Fuzzy reliability analysis in the case of random stress and fuzzy strength［J］.Journal of Mechanical Strength，2001，23(3):305 － 307(in Chinese)

［4］ Huang Hongzhong.Calculation of fuzzy reliability in the case of random stress and fuzzy fatigue strength［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering:English Edition，2000，13(3):197 －200，223

［5］ Dong Yuge，Wang Ainan.A fuzzy reliability analysis based on the transformation between discrete fuzzy variables and discrete random variables［J］.International Journal of Reliability，Quality and Safety Engineering，2006，13(1):25 －35

［6］ Cai K Y，Wei C Y，Zhang M L.Fuzzy variables as a basis for a theory of fuzzy reliability in the possibility context［J］.Fuzzy Sets and Systems，1991，42(2):145 －172

［7］ Cai K Y，WeiC Y，Zhang M L.Fuzzy states as a basis for a theory of fuzzy reliability ［J］.Microelectronics and Reliability，1993，33(15):2253 －2263

［8］郭書祥，呂震宙.基于可能性理論的結(jié)構(gòu)模糊可靠性方法［J］.計算力學學報，2002，19(1):89 －93 Guo Shuxiang，Lü Zhenzhou.A fuzzy reliability approach for structures in the possibility context［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2002，19(1):89 －93(in Chinese)

［9］郭書祥，呂震宙.結(jié)構(gòu)可靠性分析的概率和非概率混合模型［J］.機械強度，2002，24(4):524 －526 Guo Shuxiang，Lü Zhenzhou.Hybrid probabilistic and non-probabilistic model of structural reliability［J］.Journal of Mechanical Strength，2002，24(4):524 －526(in Chinese)

［10］ Qiu Zhiping，Wang Jun.The interval estimation of reliability for probabilistic and non-probabilistic hybrid structural system［J］.Engineering Failure Analysis，2010，17(5):1142 －1154

［11］ Luo Yangjun，Kang Zhan，Li Alex.Structural reliability assessment based on probability and convex set mixed model［J］.Computers and Structures，2009，87(21/22):1408 －1415

［12］姜潮，劉麗新，湯一飛.一種帶區(qū)間變量混合模型的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法［J］.汽車工程，2012，34(8):727 －732 Jiang Chao，Liu Lixin，Tang Yifei.A structural reliability analysis method for hybrid model with interval variables［J］.Automotive Engineering，2012，34(8):727 －732(in Chinese)

［13］喬心州，仇原鷹，盛英.含模糊變量和區(qū)間變量的結(jié)構(gòu)可靠性優(yōu)化設(shè)計方法［J］.計算力學學報，2010，27(3):537－541 Qiao Xinzhou，Qiu Yuanying，Sheng Ying.Reliability-based optimization of structures with fuzzy and interval variables［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2010，27(3):537－541(in Chinese)

［14］李昆鋒，楊自春，孫文彩.結(jié)構(gòu)非概率-模糊混合可靠性分析方法［J］.華中科技大學學報:自然科學版，2012，40(8):67－71 Li Kunfeng，Yang Zichun，Sun Wencai.Analyzing hybrid nonprobabilistic and fuzzy reliability of structures［J］.Journal of Huazhong University of Science and Technology:Natural Science Edition，2012，40(8):67 －71(in Chinese)

［15］ Zimmermann H J.Fuzzy set theory and its applications［M］.Boston:Kluwer Academic Publishers，1991

［16］郭書祥，呂震宙，馮元生.基于區(qū)間分析的結(jié)構(gòu)非概率可靠性模型［J］.計算力學學報，2001，18(1):56 －60 Guo Shuxiang，Lü Zhenzhou，F(xiàn)eng Yuansheng.A non-probabilistic model of structural reliability based on interval analysis［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2001，18(1):56－60(in Chinese)

［17］顏慶津.數(shù)值分析［M］.北京:北京航空航天大學出版社，2010 Yan Qingjin.Numerical analysis［M］.Beijing:Beihang University Press，2010

［18］姜潮，張哲，韓旭.一種基于證據(jù)理論的結(jié)構(gòu)可靠性分析方法［J］.力學學報，2013，45(1):103 －115 Jiang Chao，Zhang Zhe，Han Xu.An evidence-theory-based reliability analysis method for uncertain structures［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2013，45(1):103－115(in Chinese)