基于小波去噪和隨機子空間算法的廣域低頻振蕩估計

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(四川大學電氣信息學院，四川 成都 610065)

0 引 言

隨著大型機組快速勵磁系統的采用以及電力系統規模的不斷擴大、互聯，低頻振蕩問題日益突出，嚴重威脅著電力系統的安全穩定運行。按照振蕩的頻率和涉及的范圍，低頻振蕩通常劃分為兩種形式：局部模式和廣域模式[1-2]。 其中，廣域模式為區域間振蕩，即系統中某區域機群與另一區域機群的相對振蕩。相對于局部模式，該模式的成因、影響因素和控制都更為復雜，且對系統穩定的破壞程度大，因而更值得運行人員關注。近年來，隨著相量測量裝置(phasor measurement unit，PMU)的徹底實用化以及基于PMU的廣域相量測量系統(WAMS)的逐步建成并在電力系統中應用，使得利用在線的廣域向量測量數據進行廣域低頻振蕩分析成為可能[3]。目前通過分析實測數據識別和分析低頻振蕩模式的方法有Prony 算法[4]、自回歸滑動平均(auto-regressive and moving average，ARMA)算 法[5]和希爾伯特-黃變換 (Hilbert-Huang transform，HHT)[6]等先進的數學方法，通過對某一局部動態觀測信息的信號處理，分析系統的低頻振蕩現象。但上述方法存在受噪聲信號影響較大，系統階數確定困難，容易出現偽模態和計算過程復雜、耗時長等缺點。

隨機子空間辨識(stochastic subspace identification，SSI)算法能夠從實測振蕩信號中提取振蕩頻率及阻尼比的同時還能夠獲得相應的振型信息，文獻[7-8]對隨機子空間辨識方法在電力系統低頻振蕩分析中的應用做了初步的探索。但建立在線性系統理論以及所受擾動為平穩信號假設的基礎上的隨機子空間辨識方法在處理非線性、非平穩的電力系統實測振蕩信號方面的有效性和準確性有待研究和驗證。鑒于小波分析[9]能以不同的小波變換尺度,將信號分解成不同的頻段分量,具有良好的時、頻局域性,在處理非平穩信號時具有良好的效果，因此，結合小波去噪和隨機子空間辨識算法，開展電力系統低頻振蕩在線分析的研究。

1 小波去噪

在小波變換應用中,目前主要有硬閾值和軟閾值去噪方法[10]。由于噪聲信號強度的隨機性,以及小波分解過程中信號與噪聲的傳播特性不同,每一層小波分解系數所采用的閾值應該是隨小波系數的變化而變化的，能實現這種變動閾值的方法就是軟閾值去噪方法，而硬閾值算法[11]由于其自身缺陷而不適用于實際場合。軟閾值去噪方法近年來得到很大發展,其去噪效果被證明是很有效的。

1.1 小波軟閾值消噪原理

含有噪聲的一維信號可以表示成如下形式。

s(i)=f(i)+u(i)

(1)

其中,f(i)為真實信號;u(i)為高斯白噪聲;s(i)為含噪聲的信號。對信號s(i)進行消噪的目的就是要抑制信號中的噪聲部分,從而在s(i)中恢復出真實信號f(i)。在實際工程中,有用信號通常表現為低頻信號或是一些比較平穩的信號,而噪聲信號則通常表現為高頻信號。一般來說,一維信號的消噪算法可以分為3個步驟進行：①對信號進行小波分解;②小波分解高頻系數的閾值量化;③對信號進行重構。

在這3個步驟中,最關鍵的一步就是如何選取閾值方式和如何進行閾值的量化,從某種程度上來說,它直接關系到信號消噪的質量。

1.2 軟閾值的選取

軟閾值的選取方法很多[12]。經比較,下面采用啟發式閾值(heursure)方法,它是在通用閾值和無偏風險閾值的基礎上進行計算的，這種方法閾值風險較小，有用信號不易丟失。具體計算原理和計算步驟如下[13]。

(1)噪聲強度的計算

噪聲強度的計算可采用以下公式。

(2)

(2)通用閾值的計算

通用閾值計算的理論依據是:N個具有獨立同分布的標準高斯變量中的最大值小于T1的概率隨著N的增大而趨于1。其中,T1由式(3)來計算。

(3)

式中，σ為噪聲強度;N為所處理的變量的個數。

(3) Stein無偏風險閾值的計算

將某一層小波系數的平方按由小到大排列,得到一個向量:W=[w1,w2,…,wN],其中,w1≤w2≤…≤wN，N為小波系數的個數。由此計算風險向量R=[r1,r2,…,rN],其中

(4)

以R元素中的最小值rb作為風險值,由rb的下標變量b求出對應的wb,則閾值T2為

(5)

(4)啟發式閾值的計算

(6)

最終的軟閾值就是T3。

1.3 非平穩信號的小波軟閾值去噪

在實際的工程應用中，大多數信號可能包含著許多尖峰或突變，而且噪聲信號也并不是平穩的白噪聲。對這種信號進行去噪處理時，傳統的傅里葉變換完全是在頻域中對信號進行分析，它不能給出信號在某個時間點上的變化情況，因此分辨不出信號在時間軸上的一個突變。但是小波分析能同時在時頻域內對信號進行分析，所以它能有效地區分信號中的突變部分和噪聲，從而實現對非平穩信號的去噪。如圖1所示，使用小波軟閾值去噪方法對一個含噪的矩形波信號進行去噪處理，說明此方法對非平穩信號具有良好的去噪效果。

2 隨機子空間理論

2.1 隨機子空間思想

隨機子空間辨識[14]方法是近年來發展的一種線性系統辨識方法，可以有效地從環境激勵的系統響應中獲取模態參數。它采用簡單可靠的數學工具如矩陣的正交三角分解QR(QR factorization)和奇異值分解SVD(singular value decomposition)獲取狀態矩陣及其特征值，結合最小二乘法，得到信號的振蕩參數。

圖1 含噪矩形波的去噪結果

在實際應用中，量測數據在時間上都是離散的，所以經離散采樣后，可得如下隨機狀態空間系統。

(7)

式中，A為系統矩陣；C為輸出矩陣；wk、vk分別為零均值過程噪聲和測量噪聲，且互不相關。根據輸出數據yk可構造 Hankel矩陣Y0/2i-1，如式(8)。

(8)

其中，下標0/2i-1表示 Hankel 矩陣第一列的第一塊行和最后一塊行的下標，下標p和f分別表示“過去”和“將來”。

定義輸出yk自協方差矩陣Ri為

(9)

由協方差序列組成的Toeplize矩陣T1/i為

(10)

對Toeplize矩陣進行奇異值分解，秩為非零的奇異值個數，亦為系統的階數。

(11)

Tl/i可分解為Tl/i=ОiГi，其中，Оi為可觀矩陣；Гi為反轉隨機可控矩陣。根據上式可得如下系統矩陣A和C。

(12)

C=Oi(1∶l)

(13)

2.2 模態識別

得到系統狀態矩陣A后，對其進行特征值分解：Ψ-1ΛΨ=A,獲得系統的特征值λi(i=1,2,…,n)，設采樣時間間隔Δt，則信號的頻率fi和阻尼比ξi以及振型Ф為

fi=argλi/(2πΔt)

(14)

αi=1n|λi|/Δt

(15)

(16)

Φ=Cψ

(17)

綜上所述，隨機子空間算法根據系統的輸出數據，可以識別出電力系統線性化模型{A，C}，進一步即可識別全部振蕩參數。

2.3 隨機子空間算法的有效性分析

按下式產生一理想信號。

x=160.74e-0.15tcos(2π×0.46t+1.32)

+173.38e-0.452tcos(2π×1.53t+0.86)

(18)

此信號包含兩個振蕩模式。在此信號上疊加一個噪聲強度為2 dBM的高斯白噪聲作為測試信號來驗證算法的有效性。信號的時間長度為(0～10)s,采樣頻率為20 Hz(采樣間隔0.05 s)。經奇異值分解計算可知隨機子空間辨識過程的階數應定為4階，然后得到系統狀態矩陣A。

(19)

最終辨識結果與理論值的比較見表1。

通過比較發現，此方法能較準確地辨識出信號各模式的頻率、阻尼比，具有很高的頻率分辨率。

表1 隨機子空間法辨識結果與理論值比較

3 仿真實例

算例采用IEEE 16機68 節點系統[14]如圖2所示。系統可劃分為5個區域：Group 1，新英格蘭(G1～G9)；Group 2，紐約(G10～G13)；Group 3， 等效機組G14；Group 4，等效電機 G15；Group 5，等效電機 G16。系統中存在著 3 個弱阻尼的互聯振蕩模式，分別為 0.37、0.5、0.61 Hz。表2給出了傳統小干擾特征根的分析結果。

圖2 16機68節點系統圖

圖3 聯絡線上有功波動

在系統正常運行方式下，模擬在母線9 上增加隨機負荷，t=30 s時增加一個0.1 p.u.的階躍負荷，t=40 s時去除階躍負荷，以形成非平穩信號。記錄聯絡線8～9上傳送的有功功率，采樣間隔為 0.1 s，分析0～100 s間數據，其波形見圖3。

圖4 去噪后有功波動

應用小波啟發式軟閾值方法對采樣數據進行去噪處理(見圖4)，然后用隨機子空間法辨識振蕩的主導模式，并與未采用小波去噪的分析結果對比，結果見表3。圖5給出了辨識得到的3 個模式的模態圖(橫坐標為發電機號，縱坐標為幅值)，從圖中可以看出頻率為0.384 6的互聯振蕩模式的參與機組有Group 1～Group 5,頻率為0.511 2的互聯振蕩模式的主要參與機組有Group 3、Group 5，頻率為0.648 5的互聯振蕩模式的主要參與機組有Group 1、Group 2。

圖5 模態圖

模式特征值頻率/Hz阻尼比/%主要參與區域1-0.038 1±2.385 3i0.379 71.60Group 1～Group 52-0.079 8±3.274 3i0.521 32.44Group 3、Group 53-0.167 9±4.127 9i0.657 54.06Group 1、Group 2、Group 4

由表3可以看出，聯絡線上的有功發生了頻率分別為 0.384 6 Hz、0.511 2 Hz、0.648 5 Hz的低頻振蕩，為區間振蕩模式，印證了隨機子空間法的正確性，而且小波去噪的去噪處理起到了較好的效果，此方法在處理非平穩信號時具有很大優勢，較適合對實際大電網的實測信號的分析。

表3 去噪后分析結果與未去噪分析結果及理論值比較

4 結 論

提出了一種利用小波去噪技術對振蕩數據進行預處理, 然后運用隨機子空間方法對數據進行分析的新方法, 用于電力系統低頻振蕩信號特征的提取，特別是對非平穩信號的處理具有有效性和準確性。而且隨機子空間方法具有參數少、抗噪能力較強、分辨率較高、擬合效果較好等優點, 滿足低頻振蕩辨識和系統振蕩分析的需要。小波預處理技術在提高精確度的同時, 也降低了分析速度。

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