廣義混合變分不等式的Tikhonov正則化方法

付冬梅, 何詣然

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

廣義混合變分不等式(簡稱GMVI(F,φ,K))是指尋找x∈K和x*∈F(x)滿足

〈x*,y-x〉+φ(y)-φ(x)≥0, ?y∈K,

在文獻[1-4]中,廣義變分不等式已經被廣泛研究,Tikhonov正則化方法是解決不適定變分不等式解存在的一種重要方法,而在文獻[5]中已經用Tikhonov正則化方法討論了不適定廣義變分不等式解的存在性問題.廣義混合變分不等式是廣義變分不等式的推廣,本文用Tikhonov正則化方法來研究廣義混合變分不等式解的存在性.

作為準備,首先給出了GMVI(F,φ,K)解存在的一個結論:如果F是具有非空緊凸值的上半連續集值映象,K是緊凸集,則GMVI(F,φ,K)有一個解.如果K不是緊集,GMVI(F,φ,K)解的存在性通常要求額外的強制條件.研究者試圖尋找盡可能弱的強制條件.本文給出了幾種常用的強制條件,并證明了(A)是幾種強制條件中最弱的.定理2.5證明了如果(F,φ)具有混合變分不等式性質,而且強制條件(A)成立,則GMVI(F,φ,K)有一個解.而當F是具有非空緊凸值的集值映象,φ是真凸下半連續泛函時,(F,φ)具有混合變分不等式性質.最后建立了廣義混合變分不等式的Tikhonov正則化結果.

1 預備知識

除非特別說明,文中總是假設K?Rn是一個非空閉凸集,F:K→2Rn是一個非空集值映象,φ：K→R∪{+∞}是真凸下半連續泛函.對?r>0,Kr:={x∈K:‖x‖≤r};對?ε>0,Aε?Rn,有

有εn→0+,xn∈Aεn且xn→x}.

定義1.1設F:K→2Rn是一個非空集值映象.1)F稱為是單調的,如果對?x,y∈K及?x*∈F(x),y*∈F(y),〈y*-x*,y-x〉≥0. 2)F稱為是擬單調的,如果對?x,y∈K及所有的x*∈F(x),y*∈F(y),〈x*,y-x〉>0?〈y*,y-x〉≥0. 3)F稱為在x∈K處上半連續,如果對于F(x)的任一鄰域V,都存在x的鄰域U使得對所有的y∈K∩U有F(y)?V;如果F在每一個x∈K處上半連續,則稱F在K上上半連續.4)F稱為沿線結上半連續,如果F沿K的每一個線節上半連續.

命題1.2如果F是具有緊凸值的集值映象,φ是真凸下半連續泛函,那么

1) 存在x∈K和x*∈F(x)使得對?y∈K,〈x*,y-x〉+φ(y)-φ(x)≥0;

2)?1)令φ(x*,y)=〈x*,y-x〉+φ(y)-φ(x).則x*→-φ(x*,y)是下半連續的凸泛函,y→-φ(x*,y)是凹泛函.因為F是具有緊凸值的集值映象,由文獻[6]中Sion極大極小定理得

即

由2)成立,即

?y∈K.

存在x*∈F(x)使得

〈x*,y-x〉+φ(y)-φ(x)≥0, ?y∈K.

定理1.3如果K是Rn中的緊凸集,F:K→2Rn是具有非空緊凸值的上半連續映象,φ:K→R∪{+∞}是真凸下半連續泛函,則GMVI(F,φ,K)有解.

?y∈K.

即存在x∈K使得

?y∈K,

即GMVI(F,φ,K)有解.

2 解的存在性和強制條件

定義2.1如果對K中每一個非空有界閉凸集D,GMVI(F,φ,D)有解,則稱(F,φ)有混合變分不等式性質.

命題2.2F是具有非空緊凸值的上半連續集值映象,φ是真凸下半連續泛函,那么(F,φ)具有混合變分不等式性質.

證明因為Rn中有界閉凸集為緊凸集,所以由定理1.3可得結論.

命題2.3如果F:K→2Rn是具有非空緊凸值的上半連續映象,T:K→2Rn是單調且具有非空緊凸值的沿線結上半連續映象,φ1、φ2:K→R∪{+∞}為真凸下半連續泛函,則(F+T,φ1+φ2)有混合變分不等式性質.

證明設D?K為有界閉凸集,定義G,H:D→2D為

(φ1+φ2)yi-(φ1+φ2)y0<0,

又因為

(φ1+φ2)y0-(φ1+φ2)y0=

(φ1+φ2)yi-(φ1+φ2)y0),

與

(φ1+φ2)yi-(φ1+φ2)y0<0

兩邊同時除以t>0則有

進而

讓t→0+,由T是上半半連續映象可得,對?y∈D有

即對?y∈D有

考慮下面幾種強制條件之間的關系:

(C) 存在r>0使得?x∈KKr,?x*∈F(x),存在y∈kr滿足〈x*,x-y〉-φ(y)+φ(x)>0;

命題2.41) 如果F是具有凸值的集值映象,則(C)?(B).2) 如果F是擬單調的,則(D)?(B).3) (E)?(B)?(A).

證明1) 由(C)成立知?x∈KKr有

因為F(x)是凸值的,Kr是緊凸集,由文獻[6]中Sion極大極小定理可知

則(B)成立.

〈y*,x-y〉-φ(y)+φ(x)>0.

又F是擬單調的,所以對?x*∈F(x),

〈x*,x-y〉-φ(y)+φ(x)≥0,

即

3) (E)?(B) 如果L(y0)=Φ,則對?x∈K有

如果L(y0)≠Φ,則存在r使得L(y0)∪{y0}?Kr,對?x∈KKr,y0∈K滿足‖y0‖<‖x‖且

即(B)成立.

(B)?(A)設r為(B)成立的r,則對?x∈KKr+1,存在y∈Kr使得

且‖y‖≤r

定理2.5設K?Rn是一個非空閉凸集,F:K→2Rn是具有非空緊凸值的集值映象,φ:K→R∪{+∞}是真凸下半連續泛函.假設強制條件(A)成立且(F,φ)有混合變分不等式性質,則GMVI(F,φ,K)有解.

證明設m>r,由于Km是有界閉凸集且(F,φ)有混合變分不等式性質,則存在xm∈Km使得對?y∈Km存在

如果‖xm‖=m,則‖xm‖>r.由(A)成立可知存在y0∈K滿足‖y0‖<‖xm‖=m且

由于‖y0‖

(1-t)(y0-xm)〉+φ(y0+t(y-y0))-φ(xm)≤

tφ(y)+(1-t)φ(y0)-φ(xm)≤

兩邊同時除以t,則對?y∈K,

如果‖xm‖

兩邊同時除以t,則對?y∈K,

推論2.6設K?Rn是一個非空閉凸集,F:K→2Rn是具有非空緊凸值的上半連續集值映象,φ:K→R∪{+∞}真凸下半連續泛函,如果(A)成立,則GMVI(F,φ,K)有解.

證明由命題2.2和定理2.5可得結論.

3 Tikhonov正則化

定理3.1設K?Rn是非空閉凸集,F:K→2Rn是具有非空緊凸值的上半連續集值映象,φ:K→R∪{+∞}真凸下半連續泛函,如果(A)成立,則對?ε>0,1)GMVI(F+εI,φ,K)有解;2) 集合A={Sol(F+tI,φ,K):t∈(0,ε]}有界.

證明1) 由(A),對?x∈KKr,存在y∈K滿足‖y‖<‖x‖且

又因為

ε〈x,x-y〉≥ε‖x‖2-ε‖x‖‖y‖≥0.

即對?x∈KKr,存在y∈K滿足‖y‖<‖x‖,

則(F+εI,φ)滿足條件(A).又由F是具有非空緊凸值的上半連續集值映象,I是連續單調映象,φ是真凸下半連續泛函,所以由命題2.3和定理2.5,GMVI(F+εI,φ,K)有解.

2) 設t∈(0,ε],x(t)∈Sol(F+tI,φ,K),下證x(t)∈Kr.若x(t)Kr,則存在y(t)∈K滿足‖y(t)‖<‖x(t)‖且

φ(y(t))+φ(x(t))≥0,

又由x(t)∈Sol(F+tI,φ,K)且y(t)∈K,則

φ(y(t))+φ(x(t))=

t‖x(t)‖2-t〈x(t),y(t)〉-φ(y(t))+φ(x(t))≥

t‖x(t)‖2-t‖x(t)‖‖y(t))‖

與‖y(t)‖<‖x(t)‖矛盾.

證明設r>0且滿足

φ(y)+φ(x))<0}?Kr,

則?x∈KKr有

由于y0∈D?Kr,則‖y0‖

εn‖xn‖2+φ(y)-φ(xn).

又因為

-εn‖xn‖2+φ(y)-φ(xn))≤

〈x*,y-x〉+φ(y)-φ(x),

故對?y∈K,〈x*,y-x〉+φ(y)-φ(x)≥0,從而x∈Sol(F,φ,K).

致謝四川師范大學研究生優秀論文培育基金項目(校研字201314-35)對本文給予了資助,謹致謝意.

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