零和自由半環上可逆矩陣的一些性質

龍艷華, 王學平

(1. 成都學院 師范學院, 四川 成都 610106; 2. 四川師范大學 數學與軟件科學學院, 四川 成都 610066)

1 預備知識

矩陣是重要的數學工具,在科研信息理論、不確定信息處理、圖像處理、計算智能、群體決策等方面有著廣泛應用[1-9].半環上的矩陣理論也在最優化理論、運籌學、自動化控制、離散事件網絡與圖論的模型方面有許多應用[5,10-15],其中,半環上的可逆矩陣是一類重要的矩陣.1952年,R. D. Luce[16]討論了布爾代數(一種特殊的半環)上的布爾矩陣,證明了矩陣可逆當且僅當它是一個正交矩陣.從那以后,半環上可逆矩陣的理論得到了廣泛研究[17-19].特別地,C. K. Zhao[20]得到了在Brouwer格上矩陣可逆存在的必要條件和充分條件,S. C. Han等[21]給出了坡矩陣可逆的一些充分必要條件,Y. J. Tan[22]考慮了交換零和自由半環(亦稱為反環[22])上的可逆矩陣,得到了矩陣可逆的一些充要的條件.事實上,max-plus代數、min-max代數、完備Brouwer格、模糊代數、坡代數和瓶頸代數等都是半環[2,6,23-24].本文主要討論交換零和自由半環上可逆矩陣的性質及其判定定理.

2 矩陣的一些性質

定義2.1[12]設R是一個非空集合,如果在R中有2個代數運算“+”和“·”使:

(i) (R,+,0)是一個交換幺半群;

(ii) (R,·,1)一個幺半群;

(iii) ?r,s,t∈R,

r·(s+t)=r·s+r·t,(s+t)·r=s·r+t·r;

(iv) ?r∈R,0·r=r·0=0;

(v) 0≠1,

則稱R=〈R,+,·,0,1〉為半環.如果?r,r′∈R,r·r′=r′·r,則稱半環R是交換的.

設R=〈R,+,·,0,1〉是半環,若對?a,b∈R,a+b=0蘊含a=b=0,則稱半環 R是零和自由的.如果對?a∈R,存在b∈R使得ab=ba=1,則稱b是a的逆.容易證明,半環上a的逆元是唯一的.用U(R)表示半環R上所有可逆元的集合.若對?a∈R都有a∈U(R),則稱半環R是半域.

設R=〈R,+,·,0,1〉是半環,用Mm×n(R)表示R上所有m×n階矩陣的集合.特別地,用Mn(R)表示半環R上所有n階方陣的集合,用Vn(R)表示R中所有n維列向量的集合.明顯地,Vn(R)=Mm×1(R).設A=(aij)∈Mn×m(R),用AT=(aij)m×n表示A的轉置.設

定義2.2[25-26]設A∈Mn(R)且An(或SnAn)為{1,2,…,n}的偶(或奇)置換集合.矩陣A的雙行列式|A|是一個序對|A|=(|A|+,|A|-),其中

或

其中

定義2.3設D∈Mn(R),任意選擇D中k行k列(k≤n).如果位于這些行和列的交點上的k2個元素按照原來的次序組成k×k階矩陣M,則稱矩陣M為D的子矩陣,稱M的雙行列式det(M)為det(D)的k級子式.如果劃去D中的k行k列,剩下的元素按照原來的次序組成(n-k)×(n-k)階矩陣M′,稱矩陣M′為M的余矩陣,稱M′的雙行列式det(M′)為det(M)的余子式.

以下如果沒有特別說明,假定半環是交換的零和自由半環.

3 主要結果

對?A∈Mn(R),如果存在B∈Mn(R)使得AB=I(BA=I),則稱A是右(左)可逆的.如果A既是右可逆的又是左可逆的,則稱A是可逆的.用GLn(R)表示Mn(R)中所有可逆矩陣的集合.設A,B∈Mn(R),若AB=In,則BA=In.

證明因A=(aij)∈Mn(R)是可逆的,設B=(bij)∈Mn(R)使AB=BA=I,因此B也可逆.設A1,B1∈Mn-1(R)分別是矩陣A、B去掉第i行、第j列后的余矩陣,則矩陣A、B、A1和B1分別為:

即A1B1=In-1,由引理3.1知B1A1=In-1,故A1可逆.

定理3.2如果A∈Mn(R)是可逆的,則A的所有行列上有且只有一個元素不為零.

(1)

a1j=a2j=…=ai-1,j=

ai+1,j=…=anj=0,

同理,由BA=I得

ai1=ai2=…=ai,j-1=

ai,j+1=…=ain=0.

注3.1定理3.2的逆命題一般不成立.

例3.1設R=〈R,+,·,0,1〉為圖1所示的半環(在定義2.1中,+=∨,·=∧),

但A不可逆.

推論3.2設A∈Mn(R)是可逆的對角矩陣,

則A對角線上的元素全不為零.

定理3.3設A∈Mn(R)是可逆的,則|A|+和|A|-有且只有一個不為零.

證明由定理3.2知A的所有行列上有且只有一個元素不為零.不妨設a1σ(1),a2σ(2),…,anσ(n)不為零,其中,σ(1),σ(2),…,σ(n)是{1,2,…,n}的排列.若σ(1),σ(2),…,σ(n)是{1,2,…,n}的偶排列,則有

|A|+=a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n)≠0,

|A|-=a1σ(2)a2σ(1)…anσ(n)=0.

反之,若σ(1),σ(2),…,σ(n)是{1,2,…,n}的奇排列,則有

|A|-=a1σ(1)a2σ(2)…anσ(n)≠0,

|A|+=a1σ(2)a2σ(1)…anσ(n)=0.

故定理成立.

引理3.2[22]設R是零和自由半環,A∈Mn(R),以下各條件等價:

1)A是左可逆的;

2)A是右可逆的;

3)A是可逆的;

4)ATA是可逆的對角矩陣;

5)AAT是可逆的對角矩陣;

6)AAT和ATA都是可逆的對角矩陣.

定義3.1設In∈Mn(R)是單位矩陣,將交換In的第i行和第j行后所得到的矩陣Pi?j稱為初等矩陣.

AT=(aji).

引理3.3[22]在零和自由半環R上,A∈Mn(R)是可逆的,則A[n]是可逆對角陣,其中,[n]是1,2,…,n的最小公倍數.

定理3.5在零和自由半環R上,A∈Mn(R),如果A是可逆的,則A[k]是可逆對角陣,其中,k是矩陣A對角線上為零的元素的個數,[k]是1,2,…,k的最小公倍數.

定理3.6在零和自由半環R上,A∈Mn(R),以下各條件等價:

1)A是左可逆的;

2)A是右可逆的;

3)A是可逆的;

4)ATA是可逆的對角矩陣;

5)AAT是可逆的對角矩陣;

6)AAT和ATA都是可逆的對角矩陣;

證明由引理3.2知僅需證3)?7).7)?3)顯然成立.

由定理3.2和3.6可得到推論3.4.

推論3.4在零和自由半域R上,A∈Mn(R),A可逆當且僅當A的所有行列上有且只有一個元素不為零.

引理3.4[12]設A∈Mn(R),若A可逆,則|A|+≠|A|-.

定理3.7設A∈Mn(R),若存在A的一個子陣B,使得|B|+=|B|-,則|A|≡0.

證明由定義2.2知

不妨設B∈Mn-k(R),則有

其中,ε(1),ε(2),…,ε(k)是{1,2,…,k}的排列.又因為|B|+=|B|-,即有|A|+=|A|-,則|A|≡0.

注3.2反之,若A∈Mn(R),|A|≡0,則不一定存在A的一個子陣B,使得|B|+=|B|-成立,如例3.2.

例3.2設R=〈R,+,·,0,1〉,a+b=g·c·d·{a,b}(即a、b的最大公因子),a·b=l·c·m·{a,b}(即a、b的最小公倍數).

設A∈Mn(R),

|A|+=2·1·3=6,|A|-=(1·1·12)+(2·6·6)=12+6=6=|A|+,即|A|≡0.但不存在A的子陣B使得|B|+=|B|-.

注3.3由引理3.4知,設A∈Mn(R),若|A|+=|A|-,則A不可逆.

由定理3.7、引理3.4及定義知推論3.5成立.

推論3.5設A∈Mn(R),如果存在A的子陣B使得|B|+=|B|-,則A不可逆.

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