Banach空間中變分不等式組的廣義f-投影迭代算法

張紅玲, 馬淑霞, 王中寶

(西南交通大學 數(shù)學學院, 四川 成都 610031)

1 預備知識

近幾十年來,變分不等式及其相補問題已在眾多不同領(lǐng)域得到應(yīng)用,其中一個非常重要的問題就是尋求有效的迭代算法來逼近變分不等式的解[1-9].1994年,Y. Alber[10]在一致光滑和一致凸的Banach空間中引進廣義投影的概念,并用它解決變分不等式解的逼近問題.隨著變分不等式向變分不等式組的推廣,這個方法也隨之被應(yīng)用到變分不等式組解的逼近問題[11-12].本文在文獻[12]的基礎(chǔ)上討論集值變分不等式組的廣義f-投影算子的迭代算法.

令X和Y是拓撲空間,F:X→2Y是非空集值映像,稱F是：

(i) 在x0∈X上半連續(xù)的,若對Y中任意包含F(xiàn)(x0)的開集V,在X中存在x0的開鄰域U使F(U)?V;

(ii) 在X是上半連續(xù)的,若在X中的任意點處是上半連續(xù)；

(iii) 是閉的,若它有閉圖,即GrF={(x,y):x∈X,y∈F(x)}在X×Y中是閉的.

令X是實Banach空間,X*是其對偶空間,記X與X*間的對偶為〈·,·〉,K是X的非空閉凸子集.J:X→2X*是X到其對偶空間的正規(guī)對偶映像,定義為

J(x)={f*∈X*:〈x,f*〉=‖x‖2=

‖f*‖2}, ?x∈X.

為了參考方便,下面列出它的一些性質(zhì).

(i)J在光滑的Banach空間中是強拓撲到X*空間中弱星拓撲的連續(xù)的單值算子；

(ii)J在一致光滑的Banach空間中每個有界集上是一致連續(xù)算子；

(iii) 如果X是自反光滑嚴格凸的Banach空間,J*:X*→X是X*上的正規(guī)對偶映像,那么J-1=J*,JJ*=IX*,J*J=IX.

令S,T,U:K3→2X*是3個非線性集值映像.考慮下面的廣義非線性變分不等式組問題(SGNVIP):尋找x*,y*,z*∈K,使得s*∈S(y*,z*,x*),t*∈T(z*,x*,y*),u*∈U(x*,y*,z*),并且滿足對?x∈K有

〈s*,x-x*〉+f(x)-f(x*)≥0,

〈t*,x-y*〉+f(x)-f(y*)≥0,

〈u*,x-z*〉+f(x)-f(z*)≥0.

(1)

現(xiàn)在回想廣義f-投影算子的概念和它的一些性質(zhì).設(shè)泛函G:X*×K→(-∞,+∞),則有

G(φ,ξ)=‖φ‖2-2〈φ,ξ〉+

‖ξ‖2+2ρf(ξ),

(2)

其中,ξ∈K,φ∈X*,ρ>0,f:K→(-∞,+∞)是真凸下半連續(xù)泛函.文獻[13]有如下性質(zhì)：

(i) 對固定的ξ∈X,G(φ,ξ)關(guān)于φ是凸連續(xù)的；

(ii) 對固定的φ∈X*,G(φ,ξ)關(guān)于ξ是凸下半連續(xù)的.

?φ∈X*.

如果X是光滑的Banach空間,那么J是單值映射.所以,對任意的x∈X在X*空間中存在唯一的φ滿足φ=Jx,將它帶入(2)式得到

G(Jx,ξ)=‖x‖2-2〈Jx,ξ〉+

‖ξ‖2+2ρf(ξ).

(3)

Banach空間X中的廣義投影算子有如下定義.

?x∈X.

對于廣義f-投影算子,有如下基本性質(zhì).

?y∈K;

引理1.2[13]若f(x)≥0,?x∈K,則有

G(Jx,y)≤G(φ,y)+2ρf(y),

引理1.3設(shè)X是實光滑嚴格凸自反Banach空間,K是X的非空閉凸子集,f:K→(-∞,+∞)是真凸下半連續(xù)泛函.令S,T,U:K3→2X*是3個非線性集值映像,ρ>0,η>0,ξ>0.點(x*,y*,z*)∈K3是變分不等式組(1)的解當且(x*,y*,z*)∈K3是下面變分包含組的解

(4)

證明實際上,(x*,y*,z*)∈K3是(1)式的解當且僅當存在s*∈S(y*,z*,x*),t*∈T(z*,x*,y*),u*∈U(x*,y*,z*),使得對?x∈K與任意ρ>0,η>0,ξ>0有

ρ〈s*,x-x*〉+ρf(x)-ρf(x*)≥0,

η〈t*,x-y*〉+ηf(x)-ηf(y*)≥0,

ξ〈u*,x-z*〉+ξf(x)-ξf(z*)≥0.

上式成立當且僅當

〈Jx*-ρs*-Jx*,x*-x〉+

ρf(x)-ρf(x*)≥0,

〈Jy*-ηt*-Jy*,y*-x〉+

ηf(x)-ηf(y*)≥0,

〈Jz*-ξu*-Jz*,z*-x〉+

ξf(x)-ξf(z*)≥0.

由引理1.1的(ii)可知此式成立當且僅當(4)式成立,這就完成了證明.

引理1.4[16]設(shè)X是一致凸Banach空間,r>0,那么存在一個嚴格單增的連續(xù)凸函數(shù)g:[0,2r]→R,使得g(0)=0,并且

‖tx+(1-t)y‖2≤t‖x‖2+

(1-t)‖y‖2-t(1-t)g(‖x-y‖),

(5)

對任意的x,y∈Br和t∈[0,1],其中

Br={z∈X:‖z‖≤r}.

引理1.5(i) 設(shè)若X是Banach空間[17],則有

‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,J(x+y)〉,

?x,y∈X.

(ii) 若X是一致凸和光滑Banach空間[18],則有

‖f+g‖2≤‖f‖2+2〈g,J-1(f+g)〉,

?f,g∈X*.

2 算法

算法2.1對任意給定的初始點(x0,y0,z0)∈K3,按下面的定義計算{sn}、{tn}、{un}和{xn}、{yn}、{zn}:

sn∈S(yn+1,zn+1,xn),

tn∈T(zn+1,xn,yn),

un∈U(xn,yn,zn),

zn+1=(1-γn)zn+

(6)

其中,ρ,η,ξ>0,{αn}、{βn}、{γn}是[0,1]中序列.

當X=H是Hilbert空間,f=0時,則有X=X*,J=J-1=I.若S、T、U為單值映射,則算法2.1變?yōu)樗惴?.2.

算法2.2對任意給定的初始點(x0,y0,z0)∈K3,按下面的定義計算{xn}、{yn}、{zn}:

xn+1=(1-αn)xn+αnPK(xn-ρS(yn+1,zn+1,xn)),

yn+1=(1-βn)yn+βnPK(yn-ηT(zn+1,xn,yn)),

zn+1=(1-γn)zn+

γnPK(zn-ξU(xn,yn,zn)), ?n≥0,

(7)

其中,ρ,η,ξ>0,{αn}、{βn}、{γn}是[0,1]中序列,PK:H→K是度量投影.

3 主要結(jié)果

現(xiàn)在給出變分不等式組在一定條件下解的近似逼近.

定理3.1設(shè)X是一致凸和一致光滑的Banach空間,K是X的非空閉凸子集,θ∈K,f:K→R是凸下半連續(xù)泛函.令S,T,U:K3→2X*是3個上半連續(xù)閉值的集值映像且滿足下列條件：

(i)f(x)≥0,?x∈K且f(0)=0;

(ii) 存在X*中的一個緊子集C和常數(shù)ρ>0,η>0,ξ>0,使得

(J-ρS)(K3)∪(J-ηT)(K3)∪

(J-ξU)(K3)?C,

其中,J(x,y,z)=Jz,?(x,y,z)∈K3而且對任意(x,y,z)∈K3,s∈S(y,z,x),t∈T(z,x,y),u∈U(x,y,z),下式成立

〈s,J-1(Jx-ρs)〉≥0,

〈t,J-1(Jy-ηt)〉≥0,

〈u,J-1(Jz-ξu)〉≥0.

(8)

令{xn}、{yn}、{zn}是(6)式定義的序列,{αn}、{βn}、{γn}是(a,b)?(0,1)中的序列滿足

則由算法2.1構(gòu)造的序列{xn}、{yn}、{zn}存在子列{xnt}、{ynt}、{znt}滿足當t→∞時,有xnt→x*,ynt→y*,znt→z*,其中,(x*,y*,z*)∈K3是(1)式的解.

證明根據(jù)引理1.2和引理1.5(ii)可知

G(Jxn-ρsn,0)+ρf(0)=‖Jxn-ρsn‖2≤

‖Jxn‖2-2ρ〈sn,J-1(Jxn-sn)〉≤

‖Jxn‖2=‖xn‖2.

(9)

另一方面有

(1-αn)‖xn‖+

(10)

應(yīng)用引理1.4,存在一個嚴格增的連續(xù)凸函數(shù)g:[0,2r]→R,使得g(0)=0,并且使得(5)式成立.根據(jù)(5)和(9)式可知

這就表明

‖xn‖2-‖xn+1‖2.

(11)

因為{‖xn‖}單調(diào)遞減且有下界,知道{‖xn‖}的極限存在.在(11)式中令n=0,1,2,…,k并求和有

‖x0‖2-‖xk+1‖2.

令k→∞,上式蘊含

根據(jù)正項級數(shù)收斂的必要條件可知

由條件(iii)知上式等價于

因此由g的性質(zhì)可得

(12)

用完全類似的方法可得

(13)

(14)

因為{xn}、{yn}、{zn}有界,而且存在緊子集C?X*使(J-ξU)(K3)?C,所以存在子列{xni}?{xn},{yni}?{yn},{zni}?{zn}使得存在{uni}∈U(xni,yni,zni)有

Jzni-ξuni→h1∈X*.

(15)

而此時

由(14)和(15)式有zni→z*.由{zn}的定義可知

‖zni+1-zni‖=

所以zni+1→z*.

因為{xni}、{yni}、{zni+1}有界,(J-ηT)(K3)∈C,所以存在子列{xnk}?{xni},{ynk}?{yni},{znk+1}?{zni+1},使得存在tnk∈T(znk+1,xnk,ynk),從而

Jynk-ηtnk→h2∈X*,

(16)

所以

類似可證得ynk→y*,ynk+1→y*.

由{xnk}、{ynk+1}、{znk+1}有界,(J-ρS)(K3)∈C,所以存在子列{xnt}?{xnk},{ynt+1}?ynk+1},{znt+1}?{znk+1},使得存在snt∈S(ynt+1,znt+1,xnt),從而

Jxnt-ρsnt→h3∈X*,

(17)

所以

再由S,T,U:K3→2X*是3個具有閉值的上半連續(xù)映射,知道J-ρS、J-ηT、J-ξU是閉的,從而由(15)～(17)式可得

所以由引理1.3可知(x*,y*,z*)∈K3是變分不等式(1)的解.這就完成了證明.

若X是Hilbert空間,f=0時,S、T、U為單值映射,由定理3.1可得定理3.2.

定理3.2設(shè)X是Hilbert空間,K是X的非空閉凸子集,θ∈K,令S,T,U:K3→X是3個連續(xù)映像且滿足下列條件：

存在一個緊子集C?X和常數(shù)ρ>0,η>0,ξ>0,使得

(J-ρS)(K3)∪(J-ηT)(K3)∪

(J-ξU)(K3)?C,

其中,I(x,y,z)=z,?(x,y,z)∈K3而且對?(x,y,z)∈K3,下式成立

〈S(y,z,x),x〉≥ρ‖S(y,z,x)‖2,

〈T(z,x,y),y〉≥η‖T(z,x,y)‖2,

〈U(x,y,z),z〉≥ξ‖U(x,y,z)‖2.

令{xn}、{yn}、{zn}是(7)式定義的序列,{αn}、{βn}、{γn}是(a,b)?(0,1)中的序列滿足定理3.1(iii),則定理3.1的結(jié)論仍然成立.

[1] Alber Y, Yao J C. Another version of the proximal point algorithm in a Banach space[J]. Nonlinear Anal:TMA,2009,9(70):3159-3171.

[2] Prapairat J, Somyot P. Existece of solutions for generalized variational inequality problems in Banach spaces[J]. Nonlinear Anal:TMA,2011,74(3):999-1004.

[3] Zhang Q B. A new resolvent algorithm for solving a class of variational inclusions[J]. Math Comput Model,2012,55(7/8):1981-1986.

[4] Abdellah B, Muhammad A N, Mohamed K, et al. A resolvent method for solving mixed variational inequalities[J]. J King Saud Univ Sci,2011,23(2):235-240.

[5] Moudafi M. Proximal methods for a class of bilevel monotone equilibrium problems[J]. J Glob Optim,2010,47(2):287-292.

[6] Ding X P. Existence and algorithm of solutions for mixed equilibrium problems and bilevel mixed equilibrium problems in Banach spaces[J]. Acta Math Sin:Eng Ser,2012,28(3):503-514.

[7] 李艷,夏福全. Banach空間中廣義混合變分不等式解得迭代算法[J]. 四川師范大學學報:自然科學版,2011,34(1):13-19.

[8] 彭建文. 變分不等式的新的外梯度方法[J]. 重慶師范大學學報:自然科學版,2009, 26(4):9-16.

[9] 萬波,江曉濤. 求解多值廣義混合隱似平衡問題的迭代算法[J]. 四川師范大學學報:自然科學版,2011,34(2):197-200.

[10] Alber Y. Generalized projection operators in Banach spaces: Properties and applications[C]//Proc Israel Seminar, Ariel Wsrael Funct Diff Eqns. New York:Marcel Dekker,1994,1(1):1-21.

[11] He X F, Chen J M, He Z. Generalized projection method for a variational inequality system with different mapping in Banach Spaces[J]. Comput Math Appl,2009,58(3):1391-1396.

[12] Chang S S, Lee Joseph W J, Chan C K, et al. A new method for solving a system of generalized nonlinear variational inequalities in Banach spaces[J]. Appl Math Comput,2011,217(15/16): 6830-6837.

[13] Wu K Q, Huang N J. Properties of the generalizedf-projection operator and its applications in Banach spaces[J]. Comput Math Appl,2007,54(3):399-406.

[14] Wu K Q, Huang N J. The generalizedf-projection operator with an application[J]. Bull Austal Math Soc,2006,73(2):307-317.

[15] Fan J H. Iterative schemes for approximating solutions of generalized variational inequalities in Banach spaces[J]. Nonlinear Anal:TMA,2009,70(11): 3997-4007.

[16] Xu H K. Inequalities in Banach spaces with applications[J]. Nonlinear Anal TMA,1991,16(2):1127-1138.

[17] Alber Y. Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications[C]//Kartsatos A. Theory and Applications of Nonlinear Operators of Monotonic and Accretive Type. New York:Marcel Dekker,1996:15-50.

[18] Chang S S. On Chidumes open questions and approximate solutions of multivalued strong accretive mappings in Banach spaces[J]. J Math Anal Appl,1997,216(1):94-111.