半群Hn的每個星理想的秩和冪等元秩

羅永貴, 徐 波, 游泰杰

(貴州師范大學 數學與計算機科學學院, 貴州 貴陽 550001)

1 預備知識

通常一個有限半群S的秩定義為rank(S)=min{|A|:A?S,〈A〉=S}.如果S是由冪等元集E(S)生成的,那么S的冪等元秩定義為idrankS=min{|A|:A?E(S)?S,〈A〉=S}.半群S與它的子半群V之間的相關秩定義為r(S,V)=min{|A|:A?S,A∩V=?,〈A∪V〉=S}.對于有限半群的生成集、秩、冪等元秩及其相關秩的研究一直以來都是半群理論研究中的熱點之一[1-14].

H(n,r)={α∈Hn:|Imα|≤r}, 1≤r≤n-1,

本文在文獻[1-5]的基礎上繼續考慮保降序且保序有限奇異變換半群Hn的雙邊星理想H(n,r)的秩、冪等元秩及其相關秩,證明了如下主要結果.

定理3設自然數n≥3,則有

r(H(n,r),H(n,l))=

設P、Q是自然序集Xn的非空子集,若對?a∈P,b∈Q有a

其中,每個Ai(1≤i≤k)都是凸集,A1

為敘方便,這里引用Green*-等價關系[15].不難驗證,在半群H(n,r)中L*、R*、J*具有如下刻劃:對?α,β∈H(n,r)有

(α,β)∈L*?Imα=Imβ,

(α,β)∈R*?kerα=kerβ,

(α,β)∈J*?|Imα|=|Imβ|.

本文未定義的術語及符號參見文獻[16-18].

2 定理的證明

為完成定理的證明先給出若干引理與推論.

引理1[1]設α∈H(n,r)?Hn,則下列條件等價:

1)α是冪等元;

2) 對?t∈Imα有t=min{x:x∈tα-1};

3)α|Im α是恒等變換.

證明以下分2種情形加以證明.

情形1當k=1時,令

情形2當2≤k≤r≤n-1,若α的標準表示如下:

其中,每個Ai(1≤i≤k)都是凸集,A1

對1≤i≤k,記ti=minAi.由于a1=1∈A1.以下分2種子情形討論.

情形2.1如果a2∈A2,將考慮a3∈A3或a3?A3.如果a2?A2,注意到α∈H(n,r)及引理1,必有a2∈A1.令

情形2.2對1≤m≤i-1有am∈Am.如果ai∈Ai,將考慮ai+1∈Ai+1或ai+1?Ai+1.如果ai?Ai,注意到α∈H(n,r)及引理1,必有ai∈Ai-1.令

證明以下分2種情形加以證明.

情形3由引理2的情形1知

其中,每個Ai(1≤i≤k)都是凸集,A1

情形4.1若存在i∈{1,2,…,k-1,k}使得|Ai|≥3.可以選擇b∈Ai使得b≠ai且b≠maxAi.令

情形4.2若存在m,p∈{1,2,…,i-1,i,i+1,…,k-1,k}使得m≠p,|Am|≥2且|Ap|≥2.令

引理4設α,β∈H(n,r),若(α,β),(α,αβ)∈J*,則(αβ,β)∈L*,(α,αβ)∈R*.

證明設α,β∈H(n,r),若(α,β),(α,αβ)∈J*,則|Imα|=|Imβ|=|Imαβ|.再由Im(αβ)?Imβ,kerα?ker (αβ)與Xn的有限性知,Im(αβ)=Imβ,kerα=ker(αβ),即(αβ,β)∈L*,(α,αβ)∈R*.

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