具有Markov轉換的Lotka-Volterra系統中市場結構的演進

付桐林

(隴東學院 數學與統計學院, 甘肅 慶陽 745000)

Lotka-Volterra模型由Lotka和Volterra提出,最初用于描述生態學中種群的動態關系.近年來在經濟研究中開始有所應用，但大部分結果都僅僅局限于經濟增長和社會人口控制等宏觀問題.J. Brandera等[1]在一個簡單的一般均衡體系下采用Lotka-Volterra模型討論了社會文明的動態過程,付桐林等[2-3]研究了隨機Lotka-Volterra競爭系統下的市場結構,證明了市場結構的依分布穩定性和隨機持久性.S. Slobodyan[4]利用Lotka-Volterra模型證明了在局部不確定的穩態下,連續時間的經濟增長模型不可能存在周期性軌道.C. Zhu等[5-6]先后研究了隨機環境下的Lotka-Volterra模型,給出了系統解的存在唯一性定理.X. Li等[7]研究了隨機干擾下的Lotka-Volterra人口模型.

市場產品結構的確立,傳統上是在市場處于均衡態的假設下以邊際成本與邊際收益相等作為廠商決策的依據,并以此來確定市場結構.孔東民[8]避開市場處于均衡態的假設和邊際成本等于邊際收益的條件,研究了Lotka-Volterra系統下市場結構的演進.這些研究都是借用確定性Lotka-Volterra系統對經濟領域的問題加以討論.事實上,當多種同類的競爭性產品投放市場后,會受到各種微小的隨機因素的干擾.而生產產品有時也會受到干擾強度很大的隨機因素如停電、維修、事故等的影響轉入停產狀態,而這些隨機因素的來到時刻也具有很強的隨機性.文中用Markov鏈來描述這種突然地強度很大的隨機干擾[9-11],采用具有Markov轉換的Lotka-Volterra系統描述市場結構,這樣更加貼近現實.

1 主要結果

事實上,上述n種同類的競爭性產品投放市場后,會受到各種微小的隨機因素的干擾.而生產產品有時也會受到干擾強度很大的隨機因素如停電、維修、事故等的影響轉入停產狀態,而這些隨機因素的來到時刻也具有很強的隨機性.文中用Markov鏈來描述這種突然地強度很大的隨機干擾.考慮帶有Markov轉換和白噪聲干擾的如下形式的Lotka-Volterra方程

[b(α(t))+A(α(t))x(t)]dt+

σ(α(t))x(t)dB(t),

(1)

其中,B(t)是標準Brown運動[12],α(t)是取值在S=1,2,…,M的右連續Markov鏈,滿足對每個α∈S有σii>0,σij≥0，i≠j,i,j=1,2,…,M.

這里

σ(α(t))=(σij(α(t)))n×n.

≤K,

其中K是常數.

dV(x(t))=LV(x(t))dt+

xT(t)σ(α(t))x(t)dB(t),

其中

LV(x(t))=xT(t)b(α(t))+xT(t)A(α(t))x(t).

d(etV(x(t)))=etV(x(t))dt+

etdV(x(t))=et[V(x(t))+LV(x(t))]dt+

etxT(t)σ(α(t))x(t)dB(t).

對每個整數k≥|x0|,停時ρk=inf{t∈R+:|xt|≥k}.于是

+V(x(s))]ds=et[V(x(t))+

LV(x(t))]dt+etxT(t)σ(α(t))x(t)dB(t), (2)

LV(x(t))+V(x(t))=xT(t)b(α(t))+

基于引理和Chebyshev不等式[13],有如下定理.

定理1說明方程(1)的解為隨機最終有界的,這說明在各種隨機因素的干擾之下,構成系統的各種產品的數目終將隨機的維持在各自的均衡點附近.下面的定理給出了方程(1)的漸近行為.

即

|xT(s)A(α(s))x(s)|≤

因此

令

則

因而

對1≤t≤k,?ω∈Ω′,?k≥k0(w)成立.若k-1≤t≤k且k≥k0(w),則有

于是

即

致謝隴東學院青年科技創新項目(XYZK1208)對本文給予了資助，謹致謝意.

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