平方根隨機自回歸波動模型及其性質研究

張 超, 孟昭為

(山東理工大學 理學院, 山東 淄博 255091)

一般線性GARCH過程在時間聚合下并不封閉，因而提出弱GARCH過程概念，而弱GARCH過程關于時間聚合不論是存量或流量都是封閉的.雖然弱GARCH過程的引入解決了GARCH過程在時間聚合下的封閉問題，但仍存在許多不足.文獻[1]基于半參數方法，提出了平方根隨機自回歸波動模型(square-root stochastic autoregressive volatility，SRSARV)，它是弱GARCH模型的自然擴展，不僅克服了弱GARCH模型的很多不足，而且還具有很多方面的優良性質.

1 SRSARV模型定義

1.1 離散SRSARV模型

定義1[1-4]平穩平方可積過程{εt,t∈Z}稱為是關于遞增過濾集Jt,t∈Z的SRSARV(p)過程，如果

① 過程εt適應于過濾集Jt;

② 過程εt是關于過濾集Jt-1的鞅差分序列,即E[εt|Jt-1]=0;

③ 給定Jt-1時,εt的條件方差過程ft-1是p維平穩的Var(1)過程Ft-1的邊際化：

ft-1=Var(εt|Jt-1)=eTFt-1

(1)

Ft=Ω+ΓFt-1+Vt

(2)

E[Vt|Jt-1]=0

(3)

式中e∈Rp,Ω∈Rp為含有非負元素的非零向量.為了保證Ft的平穩性和模型的正定性，要求Γ的特征根的模小于1，且Ω中的元素具有非負性.

定義2[1-4]平穩平方可積過程{εt,t∈Z}稱為是關于遞增過濾集Jt,t∈Z的SRSARV(∞)過程，如果

① 過程εt適應于過濾集Jt;

② 過程εt是關于過濾集Jt-1的鞅差分序列,即E[εt|Jt-1]=0;

③ 在給定Jt下，εt的條件方差過程ft-1滿足

(4)

其中序列{fi,t-1,t∈Z,i∈N}滿足：

??q，使向量Fq,t=(f1,t,…，fq,t)T服從一個平穩的Var(1)過程

E[Fq,t|Jt-1]=Ωq+ΓqFq,t-1

(5)

并與fn,t(n>q)不相關，且Γq的特征根在單位圓外；

如果嚴格的說(4)式所表達的實際上就是條件方差為無線維Ft≡(f1,t,f2,t,…)T的邊際化，其中Var(1)過程可表示為E[Ft|Jt-1]=Ω+ΓFt-1，從而是對定義(1)的擴展.

1.2 連續SRSARV模型

(6)

2 主要性質及證明

2.1離散SRSARV過程是連續SRSARV過程的精確離散化

證明由公式(6)得

式中W1t是Wt的一階矩.因此有

與

由公式(6)我們還可以得到

其中M22=(0,Ip)是p×(p+1)的矩陣.那么有

(7)

其中A(h)=K-1(Id-e-Kh)，B(h)=(hId-A(h))Θ.

2.2 SRSARV模型的平方新息的ARMA表達

與傳統的波動模型如(G)ARCH類模型、SV類模型相似，SRSARV模型的平方新息也具有ARMA表達形式，因此產生了一類豐富的自回歸模型.

(8)

其中{ωt}是一個MA(p)過程，且有

E[ωt|Jt-p-1]=0

(9)

2.3 SRSARV模型的多期條件矩限制

(10)

該條件稱為多期條件矩限制，可用于檢驗一個平穩過程有無SRSARV(p)表示.

Ft=Ω+ΓFt-1+Vt

?(Id-ΓL)Ft=Ω+Vt

?Det(Id-ΓL)Ft=(Id-ΓL)*(Ω+Vt)

其中L是滯后算子，Det(·)是行列式函數，(Id-ΓL)*是(Id-ΓL)的伴隨矩陣.故得

Det(Id-ΓL)ft=Det(Id-ΓL)eTFt=

eT(Id-ΓL)*Ω+eT(Id-ΓL)*Vt

由Deg(eT(Id-ΓL)*)≤p-1，其中Deg(·)是最大維度的滯后多項式系數矩陣,故有

E[Det(Id-ΓL)ft-eT(Id-ΓL)*Ω|Jt-p]=0

我繼續問宇軒：“你又看到了什么？”宇軒以為前兩位說的都不對，想了想說：“我什么都沒有看到。”全班同學都笑了，有的同學還指著黑點說：“明明有黑點，難道你看不見嗎？”

因此得

(2)充分性

2.4 SRSARV模型的杠桿效應和偏度

①εt不具有關于遞增過濾集Jt的杠桿效應，當且僅當

(11)

②εt不具有關于遞增過濾集Jt的偏度，當且僅當

(12)

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