光闌約束超幾何激光束的傳輸特性

段 旭，唐 斌，周 昕，陳憲鋒，蔣美萍，王 帥

(1．常州大學數理學院，江蘇 常州213164;2．湖南工業大學理學院，湖南株洲412008)

其中，a為圓孔光闌半徑。式(5)可改寫為:

1 引言

近年來，隨著激光應用領域的不斷發展，科學家對新型激光束理論和實驗的研究產生了濃厚的興趣。其中，中心強度為零的暗中空光束由于在原子光學、量子光學、二元光學、微觀粒子的操控等方面的廣泛應用越來越受到人們的關注。在實驗上，有多種方法可以用來產生空心光束，如橫模選擇法、光學全息法、空心光纖法等［1－3］。在理論上，人們提出了多種模型來描述空心光束，典型的有TEM*01光束、貝賽爾－高斯光束和空心高斯光束［4－6］。最近，Kotlyar提出了合流超幾何模式的激光束［7］，該光束復振幅分布正比于合流超幾何函數，其橫截面光強分布與貝賽爾光束類似，是一系列明暗交替的同心圓環等，隨后，Chen等在實驗室提出了一種產生超幾何激光束的新方法，并研究了其在自由空間近軸光學系統中的傳播規律［8］。

在實際的光學系統中，光束的傳輸總是要受到光闌的限制或約束作用，因此對有光闌約束條件下的光束傳輸研究是非常有意義的。據我們所知，目前人們已研究了多種光束通過不同光學系統的傳輸規律［9－10］，但對超幾何激光束通過有光闌約束條件下的傳輸特性，尚未發現有人研究。基于此，本文對合流超幾何高斯光束通過具有圓孔形狀的硬邊光闌的傳輸特性進行分析，通過把圓孔硬邊光闌函數展開為復高斯函數的方法，推導出了超幾何激光束通過圓孔光闌的近似解析傳輸公式，并通過數值計算模擬研究該光束的傳輸特性。

2 超幾何激光束在有光闌約束的ABCD光學系統中的傳播

在柱坐標下，超幾何激光束在入射面(z=0)的場分布為［7］:

式中，r，()表示柱坐標系統;E0是一個常量;σ代表高斯光束束腰寬度;m是光束參數(可以取任意實數);n是光學拓撲荷(取整數);ω和γ均為實參數。超幾何激光束通過近軸有光闌限制ABCD光學系統的傳播可以用廣義惠更斯－菲涅耳衍射積分的形式表示為:

式(2)中，k是波數，A、B、C和D是近軸光學系統的傳輸矩陣元。將式(1)代入式(2)，并利用積分公式［11］:

可以得到:

式(3)～式(5)中的J(·)為第一類貝賽爾函數。引入圓孔硬邊光闌函數:

其中，a為圓孔光闌半徑。式(5)可改寫為:

考慮到硬邊圓孔光闌函數可拓展為一組復高斯函數之和［12］:

式中，Ah和Bh分別為拓展的復高斯系數。這些系數可以從計算機優化得到。需要指出的是展開項數N越大，擬合精度越高。

將式(8)代入式(7)，并利用積分公式［11］:

式中，1F1(a，b，x)是合流超幾何函數或者Kummer函數;Γ(x)是伽馬函數。

式(10)即為我們最終得到的超幾何激光束通過有圓孔光闌約束條件下的近似解析傳輸公式，其強度分布可以根據公式 I=來計算。

3 數值計算和分析

由矩陣光學可知，當光束在自由空間傳播時，其傳輸矩陣可表示為:，z為傳輸距離，在MATLAB環境下，我們利用解析公式(10)，對超幾何激光束通過有光闌約束條件下的傳輸特性進行了數值計算和分析，式(10)中的復高斯系數Ah和Bh取自文獻［12］中的表1，這里N取值為10項。

3．1 光闌孔徑對光強分布的影響

圖1計算了圓孔光闌半徑a不斷變化的條件下超幾何激光束的衍射情況，相關計算參數取值為:z=1000 mm，n=3，m= －1，γ =3，ω =150 mm。為比較近似解析方法和直接數值積分方法的效率，我們給出了兩種計算方法的結果，虛線為近似解析方法得到的結果，實線為直接數值積分所得到的結果，除了一些微小差別外，兩者結果吻合較好。顯然，采用近似解析方法可以大大提高計算效率。此外，從圖1不難看出，衍射光強主要集中在主極大附近，光闌半徑越小，光強分布范圍越寬，即衍射效應越強。當a→∞ 時，光闌效應消失，此時，光強分布形狀和無光闌情況一樣，這與文獻［8］結果基本一致。

圖1 超幾何激光束通過不同光闌的衍射強度變化Fig．1 The intensity distribution of hypergeometric beams through different apertures

3．2 不同傳輸距離對光強分布的影響

基于圖1中的數值積分計算和近似解析公式給出的結果，接下來，我們采用近似解析方法來研究超幾何激光束在不同傳輸距離條件下的傳輸規律。圖2描述了傳輸距離對該光束光強分布特性的影響，考慮到不同光闌的約束作用。圖2(a)～(d)同時給出了不同光闌半徑情況的光強分布，其中點劃線表示光闌半徑為0．2 mm，虛線和實線分別表示光闌半徑為0．5 mm、1．2 mm。其他參數取值與圖1完全相同。從圖2不難發現，隨著距離的增加，光斑尺寸越來越大，衍射旁瓣減少，主極大和次級衍射條紋光強逐漸變小。

圖2 光強分布隨傳輸距離的變化Fig．2 The intensity distribution of hypergeometric beams at the different propagation distances

3．3 不同光束參數對超幾何激光束的光強分布影響

圖3 描繪了不同光束參數(m，n)對超幾何激光束通過圓孔光闌的光強分布影響。在圖3(a)中，光束參數m取為定值－1，光學的拓撲電荷數n不斷改變，其中實線為 n=3，虛線為 n=2，點線為n=1。從中可以看出，在m固定，n不斷減小的時候，衍射光的主極大強度會隨著n的減小而減小。同時，各個極大值的位置會逐漸偏離光闌中心位置，極大值的數目不會發生改變。在圖3(b)中，光學的拓撲電荷數n取為定值3，光束參數m不斷改變，其中實線為m=－1，虛線為m=－1．1，點線為m=－1．2。從中可以看出，在n為定值得時候，隨著m不斷減小，衍射光束的強度逐漸減小，但是其極大值的位置基本保持不變。

圖3 不同光束參數對超幾何激光束的光強分布影響計算參數選取為:z=1000 mm，a=1 mm，γ=3，ω=150 mm Fig．3 Effect of the different optical parameters on the intensity distribution of hypergeometric beams．The computation parameters are chosen as follows:z=1000 mm，a=1 mm，γ =3，ω =150 mm

4 結論

采用將圓孔光闌展開為有限個復高斯函數疊加的方法，以及使用廣義惠更斯－菲涅耳衍射積分公式，推導出了超幾何激光束通過圓形孔硬邊光闌約束的ABCD光學系統光強分布的近似解析解，并對其傳輸特性進行了數值計算和分析。并比較了兩種方法得出的結果，發現結果極其相似。從而研究結果表明，超幾何激光束的光強分布以及衍射效應與光闌的孔徑大小、傳輸的距離以及光束參數等因素密切相關。事實上，采用本文的研究方法，可以進一步推廣到其他光束在其他不同光闌(如環孔、光屏等)約束條件下的傳輸，并分析和說明光束通過復雜光學系統的衍射特性，這在實際應用中有一定的意義。

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