基于時-空稀疏解的方位超分辨算法?

楊廣玉,馬曉靜,楊雪亞

(1.中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽合肥230088;2.電子工程學院，安徽合肥230037)

0 引言

對于同一距離單元或者鄰近距離單元內的多個目標，對回波數據進行脈沖壓縮無法從距離上進行分離，由于雷達相干脈沖數通常較少，也無法從多普勒維對徑向速度接近的目標進行分離，這里考慮從方位角進行測量分辨多個目標。現有的方位角測量方法基本上是基于和、差波束或者多波束比幅的經典單脈沖測角方法。但是，在同一接收波束內存在多個目標時，單脈沖測角方法無法區分多個目標，導致誤差變大、甚至完全失效。

實際上，改善方位角測量性能的關鍵是提高方位分辨率，因此，需要采用陣列超分辨技術對方位角進行估計。陣列超分辨算法以多重信號分類算法(MUSIC[1-2])及最大似然[3-4]算法(ML)為代表。MUSIC算法對信噪比和快拍數要求較高，而且對相關目標回波信號需要進行空間平滑，造成陣列孔徑的損失。ML等參數化方法是一種漸近無偏估計，然而這類方法通常需要全局極值的多維搜索，多目標時無法滿足實時處理。文獻[5]采用基于去卷積的方法得到目標空間位置分布函數，不過去卷積方法對逆濾波器的參數選擇、掃描波束等比較敏感，同時對信噪比有較高的要求。

稀疏分析在一組基向量中通過某種變換關系對應于信號的某個稀疏向量來表示信號的特征。文獻[6]研究了基于l1范數的基向量選擇問題，Rao[7-8]將其拓展至形式更為普遍的l(p≤1)稀疏度量，提出了FOCUSS(FOCal Underdetermined System Solver)算法，Cotter[9]將稀疏分析應用于多向量的情況下，綜合利用多個快拍，便于實際應用。Malioutov[10]將其應用于均勻線陣的角度估計問題中，并提出了一種基于接收數據奇異值分解的簡化算法。文獻[11]將稀疏解應用于米波雷達測高問題中，改善了仰角分辨率和測高精度。

本文綜合利用回波中包含的多普勒信息和空域信息，建立了基于時-空l(p≤1)類范數的稀疏度和2范數約束的數學模型，依次沿時域快拍和空域陣元求稀疏解，等效地拓展了快拍數長度和陣列孔徑，顯著提高了角度分辨率，從而實現對多個目標的分辨和方位角估計。

1 信號模型

針對陣元間距為d、水平放置的N個陣元組成的均勻線陣(ULA)，多普勒頻率為f k的K個遠場窄帶目標的回波信號分別以方位角θk，k=1，2，…，K入射到陣列。

以N×L的矩陣X表示陣列接收的L個快拍的數據，則有

式中，

a s(θk)=[1 exp(j2πd/λsin(θk)) … exp(j2π(N-1)d/λsin(θk))]T為陣列對第k個目標的導向矢量;s k為第k個目標回波信號的復包絡;a t(f k)=[0 exp(j2πf k Tr) … exp(j2πf k(L-1)Tr)]T為L個回波周期對第k個目標多普勒頻率f k的導頻矢量，Tr為采樣間隔是脈沖重復周期;N為與信號不相關的復高斯白噪聲矩陣。則數據矩陣X的結構如圖1所示。

圖1 時-空回波數據結構

2 多普勒頻率角度估計

2.1 稀疏解

對于式(1)所示的N×L的信號矩陣X，求沿X的列方向的稀疏解，即是求解滿足如下線性方程組的Y:

式中，F為一個N×M的行滿秩矩陣，Y為一個M×L的稀疏矩陣，即其每一列的大部分元素均為0，M?N以保證矩陣的稀疏性，噪聲矩陣V的每個元素均為獨立同分布的高斯變量，其方差為σ2。

假設Y的每個元素是服從廣義高斯分布的變量，其廣義方差為β。Y的最大后驗估計是通過最小化式(3)所示的函數得到的[8]:

式 中，‖·‖F表示Frobenius范數為稀疏度量，，參數p(0＜p≤1)控制Y的概率密度分布的形狀。由E(p)(Y)的表達式可見，Y的列元素是通過l(p≤1)范數結合的，產生了稀疏效果[10]，而行元素是由2范數結合的，沒有稀疏效果，綜合利用了L個快拍數據。

對J(Y)求導并令其等于0，得到求稀疏解Y[9]的迭代過程為

2.2 基于稀疏解的多普勒-角度估計

這里將以上稀疏解應用于多普勒頻率和角度估計問題中，求回波數據X的兩維稀疏解。稀疏解進行超分辨的原理是進行時-空二維稀疏拓展，從多普勒和角度兩維信息對目標進行分辨。如圖2所示，對接收數據X進行常規處理無法分辨多個目標，首先求一維時間稀疏解YT，等效地將快拍數從L拓展到L t，提高了多普勒維的分辨率;然后求二維時-空稀疏解Z，等效地將陣元數從N拓展到N s，提高了角度分辨率。

圖2 時-空二維稀疏解示意圖

由迭代算法求陣列的接收數據X沿時間維的稀疏解矩陣Y，等效地將每個陣元接收信號的長度從L拓展到L t，而沿陣列方向沒有稀疏效果。算法描述為

式中，F t為一個L×L t的DFT系數矩陣[12]，其元素F t[l，l t]=(1/L t)ex p(j2πll t/L t)。 迭 代 結束后得到的L t×N的稀疏矩陣Y對應于X在范數約束下沿行方向拓展矩陣的DFT。當f k Tr=l tk/L t，k=1，…，K時，|Y(n)|會在l tk位置出現K個峰值與K個信號頻率對應，其中Y(n)表示Y的第n列。

類似地，沿列稀疏矩陣YT的陣列方向進行稀疏變換，得到N s×L t的二維稀疏矩陣Z。過程描述如下:

3 仿真分析

為了驗證稀疏解方法對方位超分辨估計的有效性，給出計算機仿真結果。仿真所使用的陣列是20個陣元組成的ULA，陣元間距半波長。取δ=0.01。

假設兩個目標距離均為200 km、方位角分別為θ1=-1.1°和θ2=1.1°，徑向多普勒頻率分別為160 Hz和176 Hz，此時兩個目標回波信號部分相關，單元信噪比5 dB，回波快拍數10。稀疏解的長度L t=256，N s=512，p=0.2。經過16次迭代，一維時間稀疏解收斂，迭代過程的稀疏解的幅度變化如圖3(a)所示，在迭代過程中逐漸增強信號分量、壓低噪聲功率，稀疏解在真實多普勒頻率附近形成兩個尖銳的峰值，最終多普勒頻率的估計值分別為161.8 Hz和179.4 Hz;圖3(b)為二維稀疏解幅度的投影圖，兩個極大值對應的方位角分別為-1.12°和1.12°。

圖3 部分相關信號的稀疏解

設多普勒頻率均為160 Hz的兩個相干目標，其他條件和上面仿真一致，并和空間平滑MUSIC(SS-MUSIC)的空間譜進行比較。由于兩個目標的多普勒頻率相同，因此一維時間稀疏解的峰值只有一個，如圖4(a)所示，多普勒估計值為161.8 Hz;圖4(b)為時-空二維稀疏解的歸一化幅度，在相應的目標參數處，二維稀疏解出現兩個尖銳的峰值;圖4(c)給出了二維稀疏解俯仰角剖面圖和相同條件下的空間平滑MUSIC(SS-MUSIC)的空間譜，可見，受低信噪比和信號相干性的影響，MUSIC空間譜無法分辨角度間隔很小的兩個目標，而時-空二維稀疏解具有更高的角度分辨率，在目標真實仰角附近形成兩個峰值。

圖4 相干信號的稀疏解

以上仿真結果充分表明了稀疏解方法在多普勒頻率方位角時-空二維分辨的有效性，其高分辨率、低噪聲門限和超低副瓣特性是傳統超分辨算法無法達到的。

4 結束語

對于從距離和多普勒頻率無法分辨的目標，可以考慮使用陣列超分辨技術，從方位角實現多個目標的分離。受限于信噪比、快拍數和目標相干性等因素，常規超分辨算法對方位角的分辨和測量效果不理想。為此提出了一種具有高分辨率和高測量精度的時-空二維稀疏解的方位超分辨方法，通過迭代法依次沿快拍維和陣元維求稀疏解，利用多普勒和角度兩維信息對目標進行分辨。由于利用了多普勒信息，該方法改善了方位角分辨性能，同時對目標的相干性不敏感，可用于相干條件下方位超分辨。仿真結果表明了其相對于傳統超分辨算法的良好測高性能。

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