一種改進(jìn)的時(shí)間最優(yōu)控制算法?

劉亞云,金亮亮

(中航工業(yè)雷華電子技術(shù)研究所，江蘇無(wú)錫214063)

0 引言

時(shí)間最優(yōu)控制是最優(yōu)控制理論中的一種，對(duì)于非奇異且控制輸入變量為線性的一類系統(tǒng)時(shí)間最優(yōu)化問(wèn)題，采用Bang-Bang控制滿足龐特里亞金極小值原理[1]條件。Bang-Bang控制中各分量u?i(t)為時(shí)間t的分段常值函數(shù)，并在切換時(shí)間上完成兩個(gè)常值(極大值和極小值)之間的跳變。

在Bang-Bang控制中，如果速度估計(jì)的不準(zhǔn)確，在開(kāi)關(guān)線附件就會(huì)引發(fā)控制量的頻繁切換，從而引起“顫振”[2]并對(duì)實(shí)際系統(tǒng)造成很大的損害。本文在開(kāi)關(guān)線兩側(cè)設(shè)置“緩沖區(qū)”，避免了“顫振”，保證系統(tǒng)以最快速度向目標(biāo)點(diǎn)收斂，并在目標(biāo)鄰域內(nèi)切換為滑模變結(jié)構(gòu)控制，使系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性能。

1 系統(tǒng)最優(yōu)控制設(shè)計(jì)

雷達(dá)伺服系統(tǒng)采取機(jī)電控制方式，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)[3]簡(jiǎn)化為

式中，K表示開(kāi)環(huán)增益，T表示慣性時(shí)間常數(shù)。

則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

尋找一個(gè)容許控制向量u(t)∈R r，滿足

使系統(tǒng)從x(t0)=x0出發(fā)，在末態(tài)時(shí)刻t f到達(dá)目標(biāo)x(t f)=x tf，并使性能指標(biāo):

最小。

由極小值原理，構(gòu)造哈密頓函數(shù):

則控制量

即

在控制量u?(t)=U作用下，始于(x10，x20)的狀態(tài)軌線方程為

它在相平面上繪制狀態(tài)軌跡圖如圖1所示。

圖1 時(shí)間最優(yōu)算法相軌跡圖

圖1中γ+和γ-組成最優(yōu)開(kāi)關(guān)線，它們將整個(gè)相平面分成R+和R-兩部分，設(shè)p(x1，x2)為狀態(tài)空間上任意一點(diǎn)，則最優(yōu)控制滿足如下控制律:

在雷達(dá)伺服系統(tǒng)中考慮到減重的需要，一般沒(méi)有測(cè)速電機(jī)等可以實(shí)時(shí)測(cè)量電機(jī)的角速度，需要采用狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì)。由于速度估計(jì)不準(zhǔn)確，在開(kāi)關(guān)線附近將引發(fā)控制量在極大極小值之間頻繁切換，產(chǎn)生“顫振”現(xiàn)象。

2 Bang-Bang控制改進(jìn)算法

為抑制控制量u?(t)在開(kāi)關(guān)線附近切換形成“顫振”，將開(kāi)關(guān)線在x1軸方向上分別向左、右平移Δx，這樣將形成一個(gè)寬度為Δx的緩沖區(qū)(Δx≤Δx1)，如圖2所示。

圖2 改進(jìn)后的最優(yōu)算法相軌跡圖

在圖2的相平面上，原點(diǎn)附近方框中的區(qū)域用S={(x1，x2)||x1|≤Δx1，|x2|≤Δx2}表示，α+和α-為緩沖帶，則緩沖帶α(即α+和α-)和S將相平面分成R+和R-兩部分。設(shè)p(x1，x2)為狀態(tài)空間上任意一點(diǎn)，其控制律為

在該算法中，當(dāng)狀態(tài)點(diǎn)p(x1，x2)進(jìn)入開(kāi)關(guān)線后，在開(kāi)關(guān)線附近上下變動(dòng)時(shí)，由于緩沖區(qū)的存在，將大大降低控制量來(lái)回切換的次數(shù)，抑制“顫動(dòng)”現(xiàn)象。緩沖區(qū)的寬度Δx，要根據(jù)速度估計(jì)誤差進(jìn)行調(diào)試。

當(dāng)狀態(tài)點(diǎn)p進(jìn)入?yún)^(qū)域S時(shí)，將切換為滑模變結(jié)構(gòu)控制，這樣將避免最優(yōu)控制算法在原點(diǎn)附近產(chǎn)生“顫振”[4]，同時(shí)降低穩(wěn)態(tài)誤差，提高定位精度和魯棒性能。

3 滑模變結(jié)構(gòu)控制算法

滑模變結(jié)構(gòu)控制具有快速響應(yīng)、對(duì)參數(shù)變化及擾動(dòng)不敏感等特點(diǎn)，對(duì)最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)都具有較好的控制效果[5]。因此，當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)以后，對(duì)外部干擾和參數(shù)攝動(dòng)具有很好的自適應(yīng)性，基本不受系統(tǒng)參數(shù)變化和外界擾動(dòng)的影響。但是滑模變結(jié)構(gòu)控制在滑動(dòng)模態(tài)下會(huì)產(chǎn)生高頻抖振，為了減弱抖振，本文使用組合趨近律控制算法，即指數(shù)趨近律和變速趨近律的組合。

指數(shù)趨近律在穩(wěn)態(tài)時(shí)，滑模函數(shù)在切換帶之間來(lái)回切換，產(chǎn)生較大的穩(wěn)態(tài)抖振;變速趨近律穩(wěn)態(tài)時(shí)，可穩(wěn)定于原點(diǎn)，有效地降低了抖振，具有良好的穩(wěn)態(tài)性能。如果把二者結(jié)合起來(lái)，在滑模運(yùn)動(dòng)的前期采用指數(shù)趨近律，在滑模運(yùn)動(dòng)的后期和穩(wěn)定段采用變速趨近律[6]，這樣系統(tǒng)既能快速趨近，又能降低抖振。

對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行離散化，可得

式中，x(k)=[x1(k)，x2(k)]。 設(shè) 指 令 信 號(hào)R=[r(k)，dr(k)]，R1=[r(k+1)，dr(k+1)]，切換函數(shù)

式中，C e=[c，1]。則

由式(11)、(12)和(13)可得

其中離散趨近律為

在實(shí)際應(yīng)用中，為了削弱抖振，采用準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制原理，即使一定范圍內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)均被吸引到切換面的某一鄰域內(nèi)，或稱為切換面的邊界層[7]。因此用飽和函數(shù)sat(s)代替滑動(dòng)模態(tài)中的符號(hào)函數(shù)sgn(s)。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

使用常規(guī)的最優(yōu)控制算法，即不加緩沖區(qū)，在1.5 s時(shí)指令角度從-90°轉(zhuǎn)換到0°，其角度響應(yīng)曲線和控制量變化曲線如圖3所示。

由圖3可知，在2s左右最優(yōu)控制到達(dá)開(kāi)關(guān)線，控制量發(fā)生跳轉(zhuǎn)，但在隨后的最優(yōu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，控制量在極大極小值之間頻繁跳轉(zhuǎn)，產(chǎn)生“顫振”現(xiàn)象，這種“顫振”將對(duì)電機(jī)造成損害，并影響電機(jī)的使用壽命。

使用改進(jìn)后的最優(yōu)控制算法，指令在1.6 s左右從0°跳轉(zhuǎn)到-90°，當(dāng)狀態(tài)點(diǎn)進(jìn)入?yún)^(qū)域S時(shí)，分別使用PID控制算法和滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，其控制效果如圖4和圖5所示。

圖3 常規(guī)最優(yōu)控制效果圖

圖4 控制量輸出比較圖

圖5 角度響應(yīng)曲線比較圖

由圖4可知，在2.3s左右控制量發(fā)生跳轉(zhuǎn)，并且在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只跳轉(zhuǎn)了一次，有效避免了控制量在開(kāi)關(guān)線附近頻繁的切換，大大降低了“顫振”對(duì)系統(tǒng)造成的危害。

由圖5可知，常規(guī)PID控制超調(diào)量為1.48°，3.2 s時(shí)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差為0.2°。而滑模控制為欠阻尼，3 s時(shí)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，穩(wěn)態(tài)誤差為0.07°。

由比較結(jié)果可知，滑模控制的穩(wěn)態(tài)性能優(yōu)于常規(guī)PID控制，并且滑模控制算法魯棒性能強(qiáng)，對(duì)于電機(jī)參數(shù)變化等具有一定的抗干擾能力。

5 結(jié)束語(yǔ)

仿真和實(shí)踐表明，在缺乏測(cè)速傳感器以及速度有較大的干擾情況下，改進(jìn)最優(yōu)算法結(jié)合滑模控制算法有效地解決了控制律“顫振”及穩(wěn)態(tài)誤差的問(wèn)題。從圖3～圖5可以看出，使用改進(jìn)后的最優(yōu)控制算法后，控制律從進(jìn)入開(kāi)關(guān)線開(kāi)始到接近目標(biāo)點(diǎn)過(guò)程中，沒(méi)有發(fā)生切換，避免了“顫振”現(xiàn)象的發(fā)生。進(jìn)入目標(biāo)點(diǎn)鄰域后使用滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，降低了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高了定位精度和魯棒性能。

改進(jìn)后的時(shí)間最優(yōu)和滑模變結(jié)構(gòu)組合控制算法，能使系統(tǒng)以最短的時(shí)間運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)點(diǎn)并能保持很好的穩(wěn)定性和控制精度。

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