LFM信號參數(shù)估計誤差分析及改進(jìn)算法?

孫文磊,常文革,閆飛飛

(國防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院，湖南長沙410073)

0 引言

線性調(diào)頻(LFM)信號因其大時寬帶寬積的特性，可同時獲得遠(yuǎn)的作用距離和高的距離分辨率，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、通信和電子偵察等領(lǐng)域[1-2]，其檢測與參數(shù)估計是一個重要的研究課題。

目前，針對LFM信號檢測與參數(shù)估計的算法，主要圍繞估計性能或計算量兩者之一，很少能兼顧兩個方面。基于時頻分析的方法中，短時傅里葉變換(STFT)計算量較小，但由于不確定性原理的制約，分辨率受限[3];LFM信號的 Wigner-Ville分布(WVD)為時頻平面上一條直線，可利用Radon或Hough變換檢測直線的特性估計參數(shù)(Radon-Wigner變換[4]、Radon-Ambiguity變換[5]和Wigner-Hough變換[6])，但其在信號的時頻分布上作進(jìn)一步處理，計算量仍然較大;分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRFT)因其對LFM信號良好的聚集特性且其離散算法的計算量與FFT相當(dāng)，廣泛應(yīng)用于對LFM信號的檢測和分析[7-8]，然而其二維峰值的搜索過程導(dǎo)致計算量大，檢測耗時長。為了提高算法的實時性，Peleg提出了離散多項式相位變換法(DPT算法)[9]，估計過程僅需兩次FFT和兩次一維搜索，運算量較小，但其在低信噪比條件下估計精度不高，而且當(dāng)信號到達(dá)時間未知時，無法估計初始頻率。

針對上述問題，本文采用DPT算法結(jié)合FRFT離散并行快速算法，實現(xiàn)LFM信號的實時高精度參數(shù)估計;深入研究了FRFT參數(shù)估計的誤差來源，并提出了相應(yīng)的改進(jìn)算法;為進(jìn)一步提高估計精度，對參數(shù)估計結(jié)果進(jìn)行譜校正。仿真結(jié)果表明，本文算法對LFM信號參數(shù)估計精度高，性能接近CRLB，基本能夠?qū)崿F(xiàn)實時應(yīng)用。

1 DFRFT的并行快速實現(xiàn)

信號x(t)旋轉(zhuǎn)角度為α的FRFT定義為

式中，旋轉(zhuǎn)角度α=pπ/2，p為FRFT的階次，可為任意實數(shù);F p[·]為FRFT算子符號;為FRFT的核函數(shù)。

實際工程應(yīng)用中，信號均為離散值，故需要計算離散形式的FRFT(DFRFT)。文獻(xiàn)[10]提出的分解型快速算法將FRFT分解為信號的卷積形式，其計算結(jié)果與連續(xù)FRFT輸出接近，可利用FFT來實現(xiàn)，計算復(fù)雜度為O(NlogN)，得到了廣泛使用。

其離散形式的表達(dá)式為[10]

由于處理過程中對輸入信號進(jìn)行兩倍的內(nèi)插，對輸出結(jié)果也要進(jìn)行兩倍的抽取，所以，可以計算真正的輸出值Xα(m/Δx)=Xα(2m/(2Δx))， 并 行 實 現(xiàn) FRFT 的 快 速計算[10]。

文獻(xiàn)[11]在分解型快速算法的基礎(chǔ)上提出了一種并行快速算法(記為FRFT2)，算法效率加快了2～4倍，其離散表達(dá)式為

計算流程如圖1所示。

圖1 DFRFT的并行快速實現(xiàn)

2 基于FRFT的估計誤差分析

2.1 FRFT域LFM信號的參數(shù)估計

含噪聲的單分量LFM信號可表示為

式中，a0，φ0，f0，μ為未知參數(shù);w(t)是方差為σ2w的加性高斯白噪聲。

LFM信號檢測估計過程可描述為[7]

式(8)是對信號經(jīng)過離散尺度化進(jìn)行量綱歸一化處理后得到的估計公式，實際工程應(yīng)用中是對采樣后的離散數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計，中心頻率和調(diào)頻率的計算公式如式(9)所示:

2.2 基于FRFT的估計誤差分析

由2.1節(jié)可知，信號參數(shù)估計過程就是在(α，u)二維離散平面搜索峰值點，所得到的峰值點與真實峰值點之間存在的偏差即為參數(shù)估計誤差。峰值點偏差是由信號噪聲和離散分辨率兩個因素造成的。由于噪聲在(α，u)平面均勻分布，故(α，u)平面離散化是產(chǎn)生峰值點偏差的主要原因。

下面，從參數(shù)估計公式出發(fā)推導(dǎo)離散化對峰值點偏差的影響。(α，u)平面的離散變量為旋轉(zhuǎn)角度α和FRFT域u，離散值分別由旋轉(zhuǎn)角度搜索間隔π/m(m為搜索次數(shù))和信號采樣點數(shù)N決定。

當(dāng)α0，u0為理論值時，滿足

令Δf0和Δμ分別表示中心頻率和調(diào)頻率估計誤差，則

(α，u)平面離散化引入的誤差為

對于調(diào)頻率誤差Δμ，當(dāng)Δα很小時

則調(diào)頻率估計誤差為

對于中心頻率誤差Δf0，當(dāng)Δα很小時

As為內(nèi)參物對照品s的峰面積，Cs為內(nèi)參物對照品s的質(zhì)量濃度，Ai為某待測成分對照品i的峰面積，Ci為某待測成分對照品i的質(zhì)量濃度

故中心頻率估計誤差為

3 LFM快速估計改進(jìn)算法

令Δμ1，Δμ2分別代表搜索間隔和采樣率改變前后的調(diào)頻率誤差，分析它們對估計誤差的影響。

① 當(dāng)Δα減小n倍，N不變時

調(diào)頻率誤差減小n倍。

② 當(dāng)N減小n倍，Δα不變時

式中，β0為N改變后的最佳旋轉(zhuǎn)角度，滿足cotβ0=ncotα0，cotβ0斜 率 滿 足 csc2β0≈n·α0/β0csc2α0。

由于α0=arccot(-μ·T2/N)，β0=arccot(-μ·T2/(N/n))，可得到-π/2＜α0＜β0＜0，又arccotx斜率為arc cot′(x)=-1/(1+x2)∈(-1，0)，則

調(diào)頻率誤差增大，但增大倍數(shù)小于n倍。

③ 當(dāng)Δα與N同時減小n倍時

綜合①、②可知，

調(diào)頻率誤差始終是減小的。

計算量分析:

由上述分析可知，N的減小對計算量的減小的影響大于搜索間隔減小對計算量的增加，而搜索間隔減小對誤差的影響大于N減小對誤差的增加，所以選擇減小采樣點數(shù)N即欠采樣[13]的同時減小相應(yīng)搜索間隔來改進(jìn)調(diào)頻率估計的誤差。這樣，在減小計算量的同時也減小了誤差。

對于中心頻率誤差Δf0，由于Δα很小且在接近π/2時斜率幾乎為0(通常LFM信號的調(diào)頻率很大，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度接近π/2)，中心頻率誤差可簡化為

令Δf01，Δf02分別代表搜索間隔和采樣率改變前后的中心頻率誤差，分析它們對估計誤差的影響。

① 當(dāng)Δα減小n倍，N不變時

中心頻率誤差基本不變，計算量為O(mn/Nlog(N))，計算量增加n倍。

② 當(dāng)N增大n倍，Δα不變時

中心頻率誤差減小n倍，但計算量為O(mn Nlog(nN))，計算量大大增加。

由上述分析可知，Δα的改變對中心頻率誤差影響不大;N的增加會減小Δu，從而減小中心頻率誤差，但兩者都會大大增加計算量。所以，采用一種FRFT高分辨快速計算方法——Zoom-FRFT算法[14]，這種方法可在保持計算量不變的條件下，得到局部譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)，在N不變時，減小Δu，提高信號中心頻率的估計精度。

與此同時，還可以先利用DPT算法[8]求出調(diào)頻率的粗估值，確定調(diào)頻率的搜索區(qū)間，保證搜索間隔不變的情況下，減小搜索次數(shù)，從而減小計算量;在每次FRFT計算中，采用FRFT并行快速算法FRFT2，提高搜索的效率;最后，對調(diào)頻率和中心頻率的估計值，還可以利用譜校正技術(shù)(能量重心法)[15]進(jìn)一步提高估計的精度。

將本文參數(shù)估計算法主要步驟歸納如下:

步驟1 首先，采用DPT算法對LFM信號調(diào)頻率μ進(jìn)行粗估。

DPT算法[9]是將LFM信號序列進(jìn)行延時相關(guān)運算

式中，φ=π(f0+μN/2)N-πμN2/4;ω′(n)，n=0，1，…，N/2為噪聲。

由式(26)可知，y(n)是一個頻率為μN/2的正弦波序列，對該序列作正弦波頻率估計，求得估計頻率，即可計算出調(diào)頻率的粗估值

步驟2 利用FRFT2算法在DPT算法確定的搜索區(qū)間內(nèi)對欠采樣信號進(jìn)行峰值點的搜索。

DPT算法進(jìn)行FFT后最大譜線處對應(yīng)的頻率為，假設(shè)左右次譜線處對應(yīng)的頻率分別為f1，f2，真實頻率f∈(f1，f2)，從而可得出，即實際調(diào)頻率由得

求二維平面峰值點的過程轉(zhuǎn)化為在式(28)確定的區(qū)間內(nèi)搜索最大值的過程:首先對信號進(jìn)行欠采樣處理(要求信號SNR＞-7 d B，欠采樣倍數(shù)n≤6[14])，再采用FRFT2對欠采樣的信號進(jìn)行搜索。

步驟3 利用能量重心法精確估計調(diào)頻率，得到最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角度。

能量重心法是利用窗譜函數(shù)的能量重心位于坐標(biāo)原點的原理對估計進(jìn)行校正，頻譜能量比較集中時，可以用主瓣內(nèi)功率譜值較大的幾條譜線作近似計算[15]，校正公式為

故對步驟2中欠采樣信號在旋轉(zhuǎn)角度區(qū)間內(nèi)的FRFT2變換結(jié)果進(jìn)行譜校正即可得到最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角度，并計算出調(diào)頻率估計值

步驟4 找到最優(yōu)旋轉(zhuǎn)角度后，對原始采樣信號進(jìn)行旋轉(zhuǎn)角度為的Zoom-FRFT運算，得到FRFT域主瓣內(nèi)譜線并進(jìn)行譜校正，求出譜峰處的頻率，最后根據(jù)

即可估計出中心頻率。

4 仿真結(jié)果

為驗證誤差分析結(jié)論和改進(jìn)算法性能，令信號樣本長度N=1 000，信號參數(shù)分別為:幅度α0=1.0 V，初始相位φ0=0 rad，中心頻率f0=0.09/TsHz，調(diào)頻率μ=0.000 8/T2sHz/s，其中，Ts為采樣間隔。

為驗證利用DPT算法預(yù)估調(diào)頻率再利用FRFT細(xì)搜和直接利用FRFT進(jìn)行二維搜索的效率，在同等估計精度下所耗時間如表1所示。

表1 不同算法在同等精度下耗時

表1說明采用DPT預(yù)估大大加快了參數(shù)估計的運算，且并行算法FRFT2的耗時優(yōu)于FRFT，DPT+FRFT2算法基本能夠?qū)崿F(xiàn)參數(shù)的實時估計。

圖2表示采樣點數(shù)N和旋轉(zhuǎn)角度搜索間隔π/m兩個離散量對調(diào)頻率估計誤差的影響。從圖2可以看出，只對信號進(jìn)行欠采樣而不改變搜索間隔會增加參數(shù)估計的誤差;而在欠采樣的同時減小相應(yīng)搜索間隔就可以減小誤差。

在上述仿真參數(shù)條件下，欠采樣倍數(shù)為5時，欠采樣前，估計耗時為0.15 s，欠采樣后搜索間隔不變與搜索間隔減小兩種情況下耗時分別為0.04 s和0.09 s，說明欠采樣后減小相應(yīng)搜索間隔在提高估計精度的同時也減小了計算量。

圖2 調(diào)頻率誤差變化曲線

圖3表示FRFT算法下采樣點數(shù)N和旋轉(zhuǎn)角度搜索間隔π/m兩個離散量改變與Zoom-FRFT算法下離散量不變，中心頻率估計誤差的變化。從圖3可以看出，對于中心頻率，增加采樣點數(shù)N相對于減小搜索間隔π/m對提高估計精度更為有效;而采用Zoom-FRFT算法，可以在離散量不變的同時提高中心頻率估計精度，解決了計算量與精度的矛盾。

圖3 中心頻率誤差變化曲線

圖4顯示了上述仿真參數(shù)下進(jìn)行100次蒙特卡洛仿真，得到的在不同信噪比下，三種算法(FRFT[7]、FRFT譜校正[5]、本文算法)對信號中心頻率以及調(diào)頻率的均方誤差(MSE)及其與CRLB的比較。

由圖4可知，本文算法優(yōu)于直接利用FRFT搜索的算法和一般的FRFT譜校正算法，其均方根誤差非常接近CRLB，對調(diào)頻率和中心頻率改進(jìn)的措施是有效的。同時，由表1可知，本文算法的估計耗時遠(yuǎn)小于FRFT的估計耗時，大大提高了算法的實時性，基本可以實現(xiàn)LFM信號參數(shù)的實時估計。但由于利用DPT算法進(jìn)行預(yù)估，故本文算法只適合SNR大于-6 d B的情形。

圖4 參數(shù)估計的均方誤差隨信噪比的變化曲線

5 結(jié)束語

本文通過分析研究調(diào)頻率和中心頻率的參數(shù)估計公式，得到采樣點數(shù)N和旋轉(zhuǎn)角度搜索間隔π/m對信號參數(shù)估計精度的不同影響，并根據(jù)結(jié)論提出了相應(yīng)的改進(jìn)算法:對于調(diào)頻率的改進(jìn)，提出了欠采樣的同時減小相應(yīng)搜索間隔的方法進(jìn)行調(diào)頻率的估計;對于中心頻率的改進(jìn)，采用Zoom-FRFT高分辨快速算法進(jìn)行中心頻率的估計。同時，為減小搜索的次數(shù)，采用DPT算法進(jìn)行預(yù)估，為減小每次FRFT搜索的運算量，采用FRFT并行快速算法。最后，為進(jìn)一步提高估計精度，對參數(shù)估計結(jié)果進(jìn)行譜校正。仿真結(jié)果表明，此算法對LFM信號各項參數(shù)估計精度高，性能優(yōu)于FRFT的譜校正算法，同時能夠?qū)崿F(xiàn)實時估計。然而本文算法只適用于單分量的LFM信號，多分量的LFM混合信號的實時高精度算法還需進(jìn)一步研究。

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