一類乘積形式的差分不等式

盧鈺松

(河池學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西宜州546300)

0 引言

由于Gronwall-Bellman型積分不等式的離散形式的推廣形式是研究差分方程解的存在性、唯一性、有界性，對初始條件和參數(shù)的連續(xù)依賴性、穩(wěn)定性等定性性質(zhì)的重要工具，人們不斷地對它的形式進(jìn)行各種推廣，使它的應(yīng)用范圍不斷的擴(kuò)大(例如文獻(xiàn)［1-6］及其引文)。其中，Pachpatte對Gronwall-Bellman型積分不等式作了深入研究，得出以下結(jié)論。

引理1［1，4］假設(shè)對于任意自然數(shù)n和非負(fù)實(shí)數(shù)r，函數(shù)w(n，r)是連續(xù)的實(shí)值函數(shù)，且對于任意給定的n，w(n，r)關(guān)于r是單調(diào)不減的。如果函數(shù)u(n)滿足不等式

又假設(shè)r(n)是差分方程

的最大解，而且有u(0)≤r(0).則有

引理2［3］假設(shè)u0是非負(fù)常數(shù)，a(s)，b(s)，h(s)是定義在自然數(shù)集0上的非負(fù)函數(shù)，如果函數(shù)u(n)滿足不等式

則有

引理3［5］假設(shè)c是非負(fù)常數(shù)，a(s)，b(s)是定義在自然數(shù)集0上的非負(fù)函數(shù);假設(shè)對于任意自數(shù)n和非負(fù)實(shí)數(shù)r，函數(shù)w(n，r)是非負(fù)實(shí)函數(shù)，且對于任意給定的n，w(n，r)關(guān)于r是單調(diào)不減的。如果函數(shù)u(n)滿足不等式

那么

其中

r(n)是差分方程

的解。

本文在文獻(xiàn)［4-5］的基礎(chǔ)上，研究下面的差分不等式

給出未知函數(shù)的估計(jì)，綜合運(yùn)用文獻(xiàn)［4-5］的方法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

1 主要結(jié)果及其證明

在本文中，0={0，1，2，…}，T={1，2，…，T}，T∈0， RR+∶=［0，∞)，C(A，B)表示A到B的連續(xù)函數(shù)全體。函數(shù)z(n)的差分，記為Δz=z(n+1)-z(n).顯然，具有初始條件x(0)=0的線性差分方程Δx(n)=b(n)有解x(n)=b(s).為敘述方便，我們補(bǔ)充規(guī)定b(s)=0.

定理1假設(shè)函數(shù)m(s)是定義在自然數(shù)集0上非負(fù)的單調(diào)不減函數(shù)，a(s)，b(s)，h(s)是定義在自然數(shù)集0上的非負(fù)函數(shù)，如果函數(shù)u(n)滿足不等式

則有

其中

證明:任意取定一個自然數(shù)T，因?yàn)閙(t)是單調(diào)不減函數(shù)，由式(11)可以推出

根據(jù)引理2，不等式(14)中的未知函數(shù)有估計(jì)式

由T的任意性得到定理1的估計(jì)式(12)。

定理2假設(shè)c是非負(fù)常數(shù)，a(s)，b(s)，h(s)是定義在自然數(shù)集0上的非負(fù)函數(shù);假設(shè)對于任意自然數(shù)n和非負(fù)實(shí)數(shù)r，函數(shù)w(n，r)是非負(fù)連續(xù)實(shí)函數(shù)，且對于任意給定的自然數(shù)n，函數(shù)w(n，r)關(guān)于r是單調(diào)不減的。如果函數(shù)u(n)滿足不等式(10)，則有

其中函數(shù)S由式(13)定義，函數(shù)v(n)是差分方程

的最大解。

證明:首先假設(shè)c是正常數(shù)。定義函數(shù)z(n)等于式(10)的右端，則z(n)是0上的不減正函數(shù)且有

根據(jù)函數(shù)z的定義和差分的定義，對任意n∈0，我們有

由差分定義和式(19)，對任意自然數(shù)n我們可以得到

在式(20)中先把n替換成s，然后在分別令s=0，1，2，…，n-1，這將得到n個不等式，最后把所得不等式兩邊分別相加得到

用下式定義函數(shù)z1(n)

易知z1(n)是0上的正的單調(diào)不減函數(shù)，且z1(0)=c.

由z1(n)的定義及差分的定義可得

另一方面，由式(21)和式(22)，可以得出

因?yàn)閦1(n)是正的單調(diào)不減函數(shù)，a(s)，b(s)，h(s)是定義在自然數(shù)集0上的非負(fù)函數(shù)，所以滿足定理1中的條件，我們利用定理1，得到式(24)中函數(shù)的估計(jì)式

其中S(n)由式(13)定義.把式(25)代入式(23)，根據(jù)w的單調(diào)性我們得到

由式(13)可得S(z1，n)關(guān)于z1是連續(xù)單調(diào)增函數(shù)，又因?yàn)閣(n，r)關(guān)于r是連續(xù)的單調(diào)不減函數(shù)，推出式(26)右端關(guān)于z1是連續(xù)單調(diào)不減函數(shù)。利用文獻(xiàn)［1-4］中的比較原理，即引理1，我們可以推出

式(27)中v(n)是差分方程(17)的最大解.由式(18)，(25)和(27)，我們得出所要證明的估計(jì)式(16)，即

如果c是非負(fù)常數(shù)，我們用c+ε代替c重復(fù)上面的證明過程，其中ε＞0是任意小的常數(shù)。然后令ε→0，對所得結(jié)果求極限同樣得到所要證明的估計(jì)式(16)。

［1］ B G Pachpatte.Finite dierence inequalities and an extension of Lyapunovs method［J］.Michigan Math.J.，1971，18:385-391.

［2］ B G Pachpatte.On some new discrete inequalities and their applications［J］.Proc.Nat.Acad.Sci.India，1976，46:255-262.

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［6］ 王五生，李自尊.一類新的非線性和差分不等式及其應(yīng)用［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2012，32(2):181-189.