積分概念的演變

許寧

摘 要：眾所周知，勒貝格（Lebesgue）積分是黎曼（Riemann）積分的推廣，但人們很少解釋這種推廣為什么重要以及為什么它是純粹和應用數學家的有力武器。勒貝格積分與黎曼積分相比，其重要性至少體現在兩個方面：一是這兩個理論的控制收斂定理，另一個是賦范線性空間的完備性。通過一些簡潔的例子和討論來闡明這些論點。

關健詞：黎曼積分；勒貝格積分；胖Cantor集；發展演變

中圖分類號：O172.2 文獻標識碼：A 文章編號：2095-6835（2014）02-0095-04

在高等數學中，積分概念的介紹都是從黎曼（Riemann）積分開始的，Riemann積分是線形成面的具體反映，它的積分理論相對簡單，計算簡潔方便，基本能夠解決日常生活中遇到的問題。但從現代分析的角度看，Riemann積分只能處理所謂連續（含幾乎處處連續）的有關問題，對大多數不連續的有關問題無能為力。眾所周知，現代數學處理問題所用的積分工具是勒貝格（Lebesgue）積分，盡管Lebesgue積分具有不易計算的特點，但由于它裝備了非常有效的收斂工具，所以使得Lebesgue積分成為理論研究的強大推動器。本文將從數學的內部機制來談談它們的演變。

1 什么是Riemann積分和Lebesgue積分

積分的思想是基于面積的考察。設f（x）≥0是一連續函數，則Riemann積分就是曲線y=f（x），x軸和兩直線x=a，x=b所圍區域的面積。1853年，Riemann對積分給出了嚴格的定義，人們通常稱之為Riemann積分。

設[a，b]為一區間，若a=x0

令f（x）為[a，b]上的有界函數，稱f（x）在區間[xi-1，xi]（xi-1，xi）∈P）上函數值的最大下界為下確界，記作mi（f）=inf{f（x）| x∈[xi-1，xi]}；稱f（x）在區間[xi-1，xi]（xi-1，xi）∈P）上函數值的最小上界為上確界，記作Mi（f）=sup

{f（x）| x∈[xi-1，xi]}.

把 （其中Δxk=xk-xk-1）

分別稱為關于分劃P的上Riemann和與下Riemann和，顯然有m（b-a）≤s（P）≤S（P）≤M（b-a）.

其中M=sup{f（x）| x∈[a，b]，m=inf{f（x）| x∈[a，b]}，當分劃P加細時，S（P）減少，s（P）增加。若令ΔP=max{Δ

xi，i=1，2，…，n}，則由單調有界原理可知， ，

皆存在，分別稱為上Riemann積分和下Riemann

積分，顯然有s≤S；若S=s，則稱f（x）在[a，b]上Riemann

可積，其S=s的值稱為Riemann積分，記作 ，其近

似值 可用圖1表示。

圖1 近似值的曲線圖

我們知道，連續函數、單調函數等這些常見的函數是黎曼可積的。但也有非常簡單的函數它不是Riemann可積的，拿[0，1]

區間上的有理數集的特征函數 來說，顯

然對任意[0，1]上的分劃P有S（P）=1，S（P）=0.于是S=1，

s=0，所以IQ∩[0，1]在[0，1]上非Riemann可積。

Lebesgue觀察到，如果函數在區間上只有一個不連續點p，

于是可以構造一個新的分劃 ，由于

f（x）在區間 上的振幅不超過M-m，而當n充分

大時，區間 的長度很小，所以上和與下和非常接

近。于是，若f只有有限個不連續點，則對該區間上任一很細的分劃，上和與下和非常接近。但若f各處皆不連續（如上例），則上和與下和就不會接近。于是，Lebesgue從收集f（x）近似相等的值出發，放棄對區間[a，b]的分解，而考察f（x）在[a，b]上的上界M=sup{f（x）| x∈[a，b]}和下界m=inf {f（x）| x∈[a，b]}上的變化。

令T：m=y0

拿集合Ei={x∈[a，b]| yi≤f（x）≤yi+1}來說，如圖2所示，Ei由4個區間組成。對一些函數來說，Ei可能由無限個區間組成。就連續函數而言，當自變量化很小時，函數值也變化很小，于是Ei起到在Riemann積分中區間[xi，xi+1]的作用。Lebesgue把Riemann積分中區間[xi，xi+1]的長度xi+1-xi用集合Ei的測度m（Ei）來代替。比如，圖2中的m（Ei）是4個區間長度的和，如果Ei是無限個區間的并集，則m（Ei）是這無限個區間長度的和，這里和后面用m（A）表示集合A的Lebesgue測度。

圖2 集合Ei={x∈[a，b]| yi≤f（x）≤yi+1 }的曲線圖

由此，Lebesgue引入了可測集（如開集，區間皆為可測集）和可測函數（如單調函數，連續函數皆為可測函數）的有關概念（見參考文獻[1]）。在此基礎上，我們來考察有界可測函數的情形。令Aj={x| yj-1

定義 和

由于m（b-a）≤sT≤ST≤M（b-a），于是inf ST和sup sT皆為有限數。設T '∶m=y0

若令Bj={x| y

所以有ST≤ST '，類似地有ST '≤ST。得出如下結論：

若T' T，則sT '≤sT，ST '≤ST . （1）

由于sup sT和inf ST皆為有限，因而對任意正數ε存在[m，M]上的劃分T1，T2，使得：

（2）

結合（1）式，可設Tk={yi，k}，k=1，2，其中

現令 ，則有：

0≤ （3）

即 又 結合（1）式，有 ，

所以，由（2）式有：

，

即 （4）

于是，結合（3）式和（4）式有：

由ε的任意性有sup sT=inf ST. 因而Lebesgue把

的公共值稱為Lebesgue積分，記作 ，其近似值

可用圖2表示。

現令f（x）=IQ（x），x∈[0，1]，由于m（Q）=0，m（φ）=0，于是，對任一分劃R∶0=y0

（[0，1]-Q）+ynm（Q）=0. 所以 因

而f（x）=IQ（x），x∈[0，1]是Lebesgue可積的。

一般地，設g為一簡單函數，即 ，其中Aj，

j=1，2，…，k為可測集，IAj為集Aj上的特征函數。則有：

參考文獻[2]指出，若f（x）≥0為可測函數，則存在單調遞增非負的簡單函數列{Sn（x）}，它以f（x）為極限，從而導致上述Legesgue積分的定義與參考文獻[2]定義相一致。即設f：[a，b]→R+是可測的，令Sf={g（x）| g（x）是簡單函數，且0≤g（x）≤f（x）}，則f的Lebesgue積分定義為 .

若f不是非負的，記f +=max（f，0），f -=max（-f，0），

則f=f +-f -，于是Lebesgue積分定義為

，其中等式右邊的兩個積分皆存在。

由上述分析可知，若f（x）是[a，b]上有界可測函數，則f（x）是Lebesgue可積的。于是Lebesgue把有界函數的可積性推廣到Lebesgue可測函數類。一般來說，Lebesgue積分理論都是從可測集、可測函數開始的，這增加了Lebesgue積分推廣的難度。但參考文獻[3]針對熟知Riemann積分的讀者用很初等的方式建立了Lebesgue積分，使得Lebesgue積分很容易被大眾所接受。

2 Riemann積分的困難與Lebesgue積分的優越性

在日常計算中，常常需要把極限運算和積分運算作交換，即考察lim∫與∫lim是否相等。拿Barie（1898年）函數Bn（x），x∈

[0，1]來說，Bn（x）定義為：

其中n=1，2，…，顯然， 又（R）

，n=1，2，…，（R） 不存在，于

是

所以對非負的Riemann可積函數列，在一致有界的前提下，Riemann積分運算和極限運算不可交換，但對Lebesgue積分而言，若fn是一致有界的非負Lebesgue可積函數列，則有

因而在計算過程中，對Riemann可積函數列的極限我們需要考察其極限函數的可積性，但對Lebesgue可積函數列而言，我們不需要擔心其極限函數的可積性，從而Lebesgue積分具有易于操作的特點。

函數空間是現代數學分析的中心概念，特別在現代偏微分方程中擔任非常重要的角色，而空間的完備性在理論的研究中有非常重要的作用。拿Riemann函數空間R[a，b]（即區間[a，b]上的所有Riemann可積函數的全體）來說，我們知道，若f（x），g（x）∈[a，b]，則| f（x）-g（x）|的Riemann積分存在，那

么便可以在空間R[a，b]上定義距離：d（f，g）=（R）

dx，f（x），g（x）∈R[a，b]. （5）

下面考察其完備性，為此我們來考察胖Cantor集的特征函數。胖Cantor集的構造類似于Cantor集，首先在區間[0，1]的中點

處，去除以 為中心，長度為 的一個開區間，余下的區

間記為C1即C1=[0，1]-（ ， ）=[0， ]∪[ ，

1]，然后對區間[0， ]和[ ，1]分別去除以其中點

和 為中心，長度為 的開區間，余下的區間記為C2，即：

如此對余下的小區間做上述同樣的過程，直至無窮，即可得到胖Cantor集。具體來說，第k次的Ck是對Ck-1中的2k-1個小區間，分別去除以其對應的中點為中心、長度為5-k的開區間后，余下的2k個閉區間組成的。胖Cantor集C是這些Ck的交集，即

令 于

是 （6）

所以，對任意m，n∈N，不妨設n

（7）

由（7）可知，函數列{fn（x）}是R[0，1]中關于距離（5）的柯西列，顯然fn（x）→f（x），x∈[0，1]，n→∞.由于C中沒有內點，沒有孤立點，因而對x∈C的任一鄰域，皆含有不是C中的點，故f（x）的不連續點集包含C。設開區間集{Ik，j，j

=1，2，…，2k}， 表示區間Ikj的長度）

是從Ck中挖去的2k個開區間，則：

即C的測度大于0.

Lebesgue指出，區間[a，b]上有界函數Riemann可積的充要條件是不連續點集是零測度集，故f（x）在[0，1]上不可積。由此可知，R[a，b]按距離（5）是不完備的。但對[a，b]上全體Lebesgue可積函數形成的空間L[a，b]來說，若定

義距離d（f，g）=（L） dx，f（x），g（x）

∈L[a，b]. （8）

則L[a，b]是完備的。

事實上，設{fn（x），n=1，2，…}是關于距離（8）的柯西列，令ε=2-j，j=1，2，…，于是可取{fkj（x），j=1，2，…} {fn（x），n=1，2，…}滿足：

（9）

令 ∈L[a，b]，i=1，2，…

則它們是單調遞增的非負函數序列，由（9）式可得

所以由單調收斂定理有

∈L[a，b]，且 類似地有：

∈L[a，b]，i=1，2，…

∈L[a，b]，且

若令f（x）=h（x）-g（x）+fk1（x），則有f（x）∈L[a，b]，

且滿足

所以，fki+1（x）→f（x）a.e.x∈[a，b]，d（fki+1（x），f（x））→0.

又由于{fn（x）}是柯西列，于是有d（fn（x），f（x））→0，從而L[a，b]，是完備的。

若f∶[a，b]→R是有界的，則有s≤

≤S，因而f是Riemann可積的，則f是

Lebesgue可積，且 故R[a，b]

是L[a，b]的子集。

對于非負函數而言，應用Lebesgue單調收斂定理，則其廣義Riemann積分收斂必有Lebesgue積分收斂，且收斂值是一致的，因而它們有相應的子集關系。一般情況下的廣義積分，子

集關系不一定正確，拿Dirichlet積分 來說，其廣義黎

曼積分 收斂，但 .我們知

道，若函數f（x）是Lebesgue可積的，則其絕對值| f（x）|也是

Lebesgue可積的，因而 不存在。所以，去掉非負

這一條件，它們之間也就沒有子集關系了。

正是由于Lebesgue積分的上述優點，使得在現代數學分析中把Lebesgue積分作為計算分析的主要工具。

3 結束語

積分概念起源于阿基米德（Archimedes）時代，但直到17世紀才出現積分概念嚴密化的需要。1853年，Riemann提出用Riemann和的極限來定義積分，使得積分理論趨于成熟。Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，Lebesgue觀察到，可通過擴大可測集的范圍來擴大需要定義其積分的函數范圍。具體來說就是，當可測集中用可數無限復蓋代替有限復蓋，在此基礎上推廣了測度的概念。Lebesgue測度的主要優點在于，它是可數可加的，即如果 是一個兩兩互不相交的可測集合序列，

則它們的并集是可測的，且

借助于可加性，Legesgue證明了一個在閉區間上有界的函數是Riemann可積的，當且僅當它的間斷點的集合的測度為0.

Legesgue積分之所以有力，不僅是由于可積函數的范圍大大擴充了，而且還由于應用這種積分很容易處理函數的極限過程。在Riemann積分的情況下，比較容易得到的結果只是當fn皆連續，

且函數列 一致連續時，若 fn（x）=f（x），x∈[a，b]，

則 （10）成立。但對于

許多應用來說，這些條件太強了。對于Lebesgue積分來說，只要fn是一致有界的，則（10）在Lebesgue積分意義下成立，這說明Lebesgue積分具有極好的收斂性。

參考文獻[4]指出，對于很大的函數來說，微分和Lebesgue積分是互逆運算，若f是[a，b]上的有界可測函數，則最多

除了一個零測度集外， 處處成立。如果f

是一個有界可測函數，f（a）=0，它的導數f '在[a，b]上存

在且有界，則 .

這為牛頓和萊布尼茨在直觀概念的基礎上發現和廣泛利用的微積分基本定理提供了一個明確而嚴格的表述。

參考文獻

[1]May， K. O. Measure and the integral[M].1966：177-183.

[2]Rudin，W.Real and Complex Analysis（Third Edition）[M].1987：5-32.

[3]Gonzale-Velasco Erique A. The Lebesgue integral as a Riemann integral[J].1987，10（40）：693-706.

[4]Wheeden， R. L. and Zygnumd， A. Measure and Integral [M].New York：Macel dekker，Inc，1977：83-123.

[5]阿黑波夫，薩多夫尼奇.數學分析講義[M].王昆揚，譯.北京：高等教育出版社，2006：361-363.

Evolution of the Concept of Integration

Xu Ning

Abstract： It is well known Lebesgue（Lebesgue）integral is Riemann（Riemann）integral promotion， but people rarely explain why it is important to promote and why it is a powerful weapon of pure and applied mathematicians. Compared with the Lebesgue integral Riemann integral， its importance reflected in at least two aspects： First， the two theories dominated convergence theorem， and the other is normed linear space completeness. Through some simple examples to illustrate these arguments and discussions.

Key words： Riemann integral； Lebesgue integral； fat Cantor sets； evolution

義距離d（f，g）=（L） dx，f（x），g（x）

∈L[a，b]. （8）

則L[a，b]是完備的。

事實上，設{fn（x），n=1，2，…}是關于距離（8）的柯西列，令ε=2-j，j=1，2，…，于是可取{fkj（x），j=1，2，…} {fn（x），n=1，2，…}滿足：

（9）

令 ∈L[a，b]，i=1，2，…

則它們是單調遞增的非負函數序列，由（9）式可得

所以由單調收斂定理有

∈L[a，b]，且 類似地有：

∈L[a，b]，i=1，2，…

∈L[a，b]，且

若令f（x）=h（x）-g（x）+fk1（x），則有f（x）∈L[a，b]，

且滿足

所以，fki+1（x）→f（x）a.e.x∈[a，b]，d（fki+1（x），f（x））→0.

又由于{fn（x）}是柯西列，于是有d（fn（x），f（x））→0，從而L[a，b]，是完備的。

若f∶[a，b]→R是有界的，則有s≤

≤S，因而f是Riemann可積的，則f是

Lebesgue可積，且 故R[a，b]

是L[a，b]的子集。

對于非負函數而言，應用Lebesgue單調收斂定理，則其廣義Riemann積分收斂必有Lebesgue積分收斂，且收斂值是一致的，因而它們有相應的子集關系。一般情況下的廣義積分，子

集關系不一定正確，拿Dirichlet積分 來說，其廣義黎

曼積分 收斂，但 .我們知

道，若函數f（x）是Lebesgue可積的，則其絕對值| f（x）|也是

Lebesgue可積的，因而 不存在。所以，去掉非負

這一條件，它們之間也就沒有子集關系了。

正是由于Lebesgue積分的上述優點，使得在現代數學分析中把Lebesgue積分作為計算分析的主要工具。

3 結束語

積分概念起源于阿基米德（Archimedes）時代，但直到17世紀才出現積分概念嚴密化的需要。1853年，Riemann提出用Riemann和的極限來定義積分，使得積分理論趨于成熟。Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，Lebesgue觀察到，可通過擴大可測集的范圍來擴大需要定義其積分的函數范圍。具體來說就是，當可測集中用可數無限復蓋代替有限復蓋，在此基礎上推廣了測度的概念。Lebesgue測度的主要優點在于，它是可數可加的，即如果 是一個兩兩互不相交的可測集合序列，

則它們的并集是可測的，且

借助于可加性，Legesgue證明了一個在閉區間上有界的函數是Riemann可積的，當且僅當它的間斷點的集合的測度為0.

Legesgue積分之所以有力，不僅是由于可積函數的范圍大大擴充了，而且還由于應用這種積分很容易處理函數的極限過程。在Riemann積分的情況下，比較容易得到的結果只是當fn皆連續，

且函數列 一致連續時，若 fn（x）=f（x），x∈[a，b]，

則 （10）成立。但對于

許多應用來說，這些條件太強了。對于Lebesgue積分來說，只要fn是一致有界的，則（10）在Lebesgue積分意義下成立，這說明Lebesgue積分具有極好的收斂性。

參考文獻[4]指出，對于很大的函數來說，微分和Lebesgue積分是互逆運算，若f是[a，b]上的有界可測函數，則最多

除了一個零測度集外， 處處成立。如果f

是一個有界可測函數，f（a）=0，它的導數f '在[a，b]上存

在且有界，則 .

這為牛頓和萊布尼茨在直觀概念的基礎上發現和廣泛利用的微積分基本定理提供了一個明確而嚴格的表述。

參考文獻

[1]May， K. O. Measure and the integral[M].1966：177-183.

[2]Rudin，W.Real and Complex Analysis（Third Edition）[M].1987：5-32.

[3]Gonzale-Velasco Erique A. The Lebesgue integral as a Riemann integral[J].1987，10（40）：693-706.

[4]Wheeden， R. L. and Zygnumd， A. Measure and Integral [M].New York：Macel dekker，Inc，1977：83-123.

[5]阿黑波夫，薩多夫尼奇.數學分析講義[M].王昆揚，譯.北京：高等教育出版社，2006：361-363.

Evolution of the Concept of Integration

Xu Ning

Abstract： It is well known Lebesgue（Lebesgue）integral is Riemann（Riemann）integral promotion， but people rarely explain why it is important to promote and why it is a powerful weapon of pure and applied mathematicians. Compared with the Lebesgue integral Riemann integral， its importance reflected in at least two aspects： First， the two theories dominated convergence theorem， and the other is normed linear space completeness. Through some simple examples to illustrate these arguments and discussions.

Key words： Riemann integral； Lebesgue integral； fat Cantor sets； evolution

義距離d（f，g）=（L） dx，f（x），g（x）

∈L[a，b]. （8）

則L[a，b]是完備的。

事實上，設{fn（x），n=1，2，…}是關于距離（8）的柯西列，令ε=2-j，j=1，2，…，于是可取{fkj（x），j=1，2，…} {fn（x），n=1，2，…}滿足：

（9）

令 ∈L[a，b]，i=1，2，…

則它們是單調遞增的非負函數序列，由（9）式可得

所以由單調收斂定理有

∈L[a，b]，且 類似地有：

∈L[a，b]，i=1，2，…

∈L[a，b]，且

若令f（x）=h（x）-g（x）+fk1（x），則有f（x）∈L[a，b]，

且滿足

所以，fki+1（x）→f（x）a.e.x∈[a，b]，d（fki+1（x），f（x））→0.

又由于{fn（x）}是柯西列，于是有d（fn（x），f（x））→0，從而L[a，b]，是完備的。

若f∶[a，b]→R是有界的，則有s≤

≤S，因而f是Riemann可積的，則f是

Lebesgue可積，且 故R[a，b]

是L[a，b]的子集。

對于非負函數而言，應用Lebesgue單調收斂定理，則其廣義Riemann積分收斂必有Lebesgue積分收斂，且收斂值是一致的，因而它們有相應的子集關系。一般情況下的廣義積分，子

集關系不一定正確，拿Dirichlet積分 來說，其廣義黎

曼積分 收斂，但 .我們知

道，若函數f（x）是Lebesgue可積的，則其絕對值| f（x）|也是

Lebesgue可積的，因而 不存在。所以，去掉非負

這一條件，它們之間也就沒有子集關系了。

正是由于Lebesgue積分的上述優點，使得在現代數學分析中把Lebesgue積分作為計算分析的主要工具。

3 結束語

積分概念起源于阿基米德（Archimedes）時代，但直到17世紀才出現積分概念嚴密化的需要。1853年，Riemann提出用Riemann和的極限來定義積分，使得積分理論趨于成熟。Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，Lebesgue觀察到，可通過擴大可測集的范圍來擴大需要定義其積分的函數范圍。具體來說就是，當可測集中用可數無限復蓋代替有限復蓋，在此基礎上推廣了測度的概念。Lebesgue測度的主要優點在于，它是可數可加的，即如果 是一個兩兩互不相交的可測集合序列，

則它們的并集是可測的，且

借助于可加性，Legesgue證明了一個在閉區間上有界的函數是Riemann可積的，當且僅當它的間斷點的集合的測度為0.

Legesgue積分之所以有力，不僅是由于可積函數的范圍大大擴充了，而且還由于應用這種積分很容易處理函數的極限過程。在Riemann積分的情況下，比較容易得到的結果只是當fn皆連續，

且函數列 一致連續時，若 fn（x）=f（x），x∈[a，b]，

則 （10）成立。但對于

許多應用來說，這些條件太強了。對于Lebesgue積分來說，只要fn是一致有界的，則（10）在Lebesgue積分意義下成立，這說明Lebesgue積分具有極好的收斂性。

參考文獻[4]指出，對于很大的函數來說，微分和Lebesgue積分是互逆運算，若f是[a，b]上的有界可測函數，則最多

除了一個零測度集外， 處處成立。如果f

是一個有界可測函數，f（a）=0，它的導數f '在[a，b]上存

在且有界，則 .

這為牛頓和萊布尼茨在直觀概念的基礎上發現和廣泛利用的微積分基本定理提供了一個明確而嚴格的表述。

參考文獻

[1]May， K. O. Measure and the integral[M].1966：177-183.

[2]Rudin，W.Real and Complex Analysis（Third Edition）[M].1987：5-32.

[3]Gonzale-Velasco Erique A. The Lebesgue integral as a Riemann integral[J].1987，10（40）：693-706.

[4]Wheeden， R. L. and Zygnumd， A. Measure and Integral [M].New York：Macel dekker，Inc，1977：83-123.

[5]阿黑波夫，薩多夫尼奇.數學分析講義[M].王昆揚，譯.北京：高等教育出版社，2006：361-363.

Evolution of the Concept of Integration

Xu Ning

Abstract： It is well known Lebesgue（Lebesgue）integral is Riemann（Riemann）integral promotion， but people rarely explain why it is important to promote and why it is a powerful weapon of pure and applied mathematicians. Compared with the Lebesgue integral Riemann integral， its importance reflected in at least two aspects： First， the two theories dominated convergence theorem， and the other is normed linear space completeness. Through some simple examples to illustrate these arguments and discussions.

Key words： Riemann integral； Lebesgue integral； fat Cantor sets； evolution