隱Makrov機(jī)制轉(zhuǎn)移與隨機(jī)時(shí)間水平下的多期資產(chǎn)配置*

張 玲，曾 燕

(1.廣東金融學(xué)院經(jīng)濟(jì)貿(mào)易系，廣東 廣州 510521；2. 中山大學(xué)嶺南學(xué)院，廣東 廣州 510275)

自Markowitz[1]開創(chuàng)性地提出均值-方差模型以來，應(yīng)用定量分析方法研究金融問題已成為了現(xiàn)代金融經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究熱點(diǎn)。囿于Markowitz均值-方差模型的單階段靜態(tài)特點(diǎn)，為更符合金融市場(chǎng)實(shí)際，后來很多學(xué)者致力于動(dòng)態(tài)投資組合選擇問題的研究。Merton[2]假定股票收益服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，研究了CRRA效用下的連續(xù)時(shí)間動(dòng)態(tài)投資組合選擇問題。Li等[3]，Zhou等[4]分別將Markowitz的靜態(tài)均值-方差模型拓展到了多階段和連續(xù)時(shí)間情形。隨后，Lim等[5]，Zhu等[6]和Leippold等[7]分別就具有隨機(jī)參數(shù)、破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)控制和負(fù)債等現(xiàn)實(shí)約束時(shí)的動(dòng)態(tài)均值-方差投資組合選擇問題進(jìn)行了研究。Basak等[8]，Bj?rk等[9]進(jìn)一步研究了均值-方差投資組合選擇問題的時(shí)間一致性策略。

現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中，各種市場(chǎng)信息和狀態(tài)都會(huì)對(duì)資產(chǎn)收益產(chǎn)生顯著影響。考慮存在市場(chǎng)狀態(tài)風(fēng)險(xiǎn)下的投資組合選擇問題成為了近年研究的熱點(diǎn)之一，其中Markov 機(jī)制轉(zhuǎn)移模型常用來刻畫金融市場(chǎng)狀態(tài)的演化過程。Markov機(jī)制轉(zhuǎn)移模型最先由Hamilton[10]提出，其典型的特點(diǎn)是用離散或連續(xù)時(shí)間有限狀態(tài)Markov鏈刻畫金融市場(chǎng)狀態(tài)的演化過程。過去十多年中，各類研究表明Markov鏈不僅能非常好地?cái)M合金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)，還能很好地描述金融市場(chǎng)的動(dòng)態(tài)變化。因此，Markov機(jī)制轉(zhuǎn)移模型也被大量應(yīng)用到了投資組合選擇問題的研究中。在市場(chǎng)狀態(tài)完全可觀測(cè)的金融市場(chǎng)中，Zhou等[11]最先研究了Markov機(jī)制轉(zhuǎn)移下的連續(xù)時(shí)間均值-方差最優(yōu)投資組合選擇問題。?akmak等[12]提出了Markov機(jī)制轉(zhuǎn)移市場(chǎng)中的多階段均值-方差模型，并利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法以及文[3]提出的嵌入法，求得了最優(yōu)策略和有效邊界。Costa等[13]將文[12]的模型推廣到了更一般的情況。Wu等[14]考慮了隨機(jī)收入和機(jī)制轉(zhuǎn)移對(duì)最優(yōu)策略的影響。

上述文獻(xiàn)中，Markov鏈的狀態(tài)均假定為完全可觀測(cè)的，且狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是定常的。事實(shí)上，金融市場(chǎng)也存在一些不能直接觀測(cè)的狀態(tài)，但其釋放出一些信息融合在可觀測(cè)的狀態(tài)中。也就是說，投資者在進(jìn)入市場(chǎng)的時(shí)候并不能觀測(cè)到所有的市場(chǎng)狀態(tài)，但隨著時(shí)間推移，投資者觀測(cè)到的信息不斷累積，投資者可依據(jù)其決策時(shí)刻掌握的所有信息做出最優(yōu)的決策。隱Markov機(jī)制轉(zhuǎn)移模型通常用來刻畫這種不可觀測(cè)市場(chǎng)狀態(tài)的變化過程。Honda[15]研究了隱Markov機(jī)制轉(zhuǎn)移市場(chǎng)下的最優(yōu)投資消費(fèi)問題，并發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期投資者和短期投資者的投資策略存在顯著差異。在隱Markov機(jī)制轉(zhuǎn)移市場(chǎng)中，B?uerle等[16]采用隨機(jī)濾波和動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法得到了對(duì)數(shù)效用和冪效用下最優(yōu)投資策略的解析解。Haussmann等[17]研究了投資者只能觀測(cè)到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格的終端財(cái)富效用最大化問題。Bensoussan等[18]考慮了通貨膨脹對(duì)于最優(yōu)投資消費(fèi)策略的影響。Elliott等[19]利用隨機(jī)濾波方法和隨機(jī)最大值原理，得到了隱Markov機(jī)制轉(zhuǎn)移市場(chǎng)中的最優(yōu)均值-方差投資組合策略。?anakolu等[20]研究了HARA效用下的多階段投資組合選擇問題。Bae等[21]利用情景生成法構(gòu)建了均值-方差隨機(jī)資產(chǎn)配置模型。

稍微遺憾的是，上述Markov機(jī)制轉(zhuǎn)移市場(chǎng)下最優(yōu)投資組合選擇問題的研究中，投資者結(jié)束投資活動(dòng)退出市場(chǎng)的時(shí)間均假設(shè)為固定的。但現(xiàn)實(shí)中，投資活動(dòng)會(huì)受到許多隨機(jī)因素的影響。如果市場(chǎng)環(huán)境的變化導(dǎo)致投資信心不足，投資者可能會(huì)在中途結(jié)束投資活動(dòng)退出市場(chǎng)。不確定退出時(shí)間下的最優(yōu)資產(chǎn)組合問題最早可以追溯到Y(jié)aari[22]，其首先研究了死亡時(shí)間不確定時(shí)整個(gè)生命周期內(nèi)的投資消費(fèi)問題。近年來，有關(guān)不確定退出時(shí)間問題的研究越來越多。Karatzas等[23]解決了退出時(shí)間為資產(chǎn)價(jià)格濾子停時(shí)下的動(dòng)態(tài)投資問題。Liu等[24]研究了退出時(shí)間服從指數(shù)分布時(shí)的投資組合選擇問題。郭文旌等[25]構(gòu)建了不確定退出時(shí)間下的動(dòng)態(tài)均值-方差模型。Blanchet-Scalliet等[26]研究了退出時(shí)間獨(dú)立于市場(chǎng)狀態(tài)和資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)時(shí)間投資組合選擇問題。Yi 等[27]考慮了不確定退出時(shí)間對(duì)最優(yōu)資產(chǎn)負(fù)債管理策略的影響。在資產(chǎn)收益序列相關(guān)的金融市場(chǎng)中，Zhang 等[28]得到了退出時(shí)間不確定時(shí)最優(yōu)資產(chǎn)組合策略的解析表達(dá)式。Zeng等[29]考慮了效用函數(shù)依賴于市場(chǎng)狀態(tài)時(shí)不確定退出時(shí)間對(duì)最優(yōu)投資-消費(fèi)策略的影響。Wu[30]假定退出時(shí)間是依賴于市場(chǎng)狀態(tài)，且市場(chǎng)狀態(tài)完全可觀測(cè)。Wu等[31]和Yao等[32]綜合考慮了Markov機(jī)制轉(zhuǎn)移市場(chǎng)中不確定退出時(shí)間和內(nèi)生負(fù)債對(duì)于動(dòng)態(tài)資產(chǎn)組合策略的影響，但其僅考慮了市場(chǎng)狀態(tài)完全可觀測(cè)的情況。上面所提及的研究中，并沒有同時(shí)考慮市場(chǎng)狀態(tài)部分可觀測(cè)且不確定的退出時(shí)間依賴于市場(chǎng)狀態(tài)的情況。

綜上，我們發(fā)現(xiàn)在信息部分可觀測(cè)的金融市場(chǎng)中分析依賴于市場(chǎng)狀態(tài)的不確定退出時(shí)間對(duì)最優(yōu)投資策略的影響具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，也可拓展已有的研究成果。為此，本文擬在狀態(tài)部分可觀測(cè)的金融市場(chǎng)中，探討不確定退出時(shí)間下的多期均值-方差投資組合選擇問題。不同于已有研究的是：① 本文假定同時(shí)存在可觀測(cè)和不可觀測(cè)的市場(chǎng)狀態(tài)，并利用隱Markov鏈刻畫不可觀測(cè)市場(chǎng)狀態(tài)的變化過程；② 無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益依賴于可觀測(cè)的市場(chǎng)狀態(tài)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益同時(shí)依賴于可觀測(cè)和不可觀測(cè)市場(chǎng)狀態(tài)；③ 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣隨著時(shí)間變化而變化。

1 模 型

假定金融市場(chǎng)中存在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，投資者在時(shí)刻0以初始財(cái)富x進(jìn)入市場(chǎng)，計(jì)劃進(jìn)行為期T個(gè)階段的投資活動(dòng)，則計(jì)劃投資結(jié)束時(shí)間為T，其中第k個(gè)階段指時(shí)間區(qū)間[k-1,k)，k=1,2,…,T。假設(shè)金融市場(chǎng)中存在投資者可觀測(cè)的市場(chǎng)狀態(tài)，也存在不可觀測(cè)的市場(chǎng)狀態(tài)。在每個(gè)階段初，投資者依據(jù)觀測(cè)到的市場(chǎng)狀態(tài)信息做出投資決策。

1.1 市場(chǎng)狀態(tài)

1.2 金融市場(chǎng)與財(cái)富過程

(1)

Pr{T∧τ=k|Ok=s}=

Pr{τ=k|Ok=s}=pk(s)，k=1,…,T

這里，假定p0(s)=0。

在期望投資收益目標(biāo)d下，投資者在時(shí)刻0以初始財(cái)富x進(jìn)入市場(chǎng)。此時(shí)市場(chǎng)上所有可觀測(cè)和不可觀測(cè)狀態(tài)為(O0,U0)，但投資者只能得到O0的信息。投資者希望根據(jù)此時(shí)掌握的信息O0尋找到最優(yōu)的投資策略，使得投資結(jié)束時(shí)投資風(fēng)險(xiǎn)最小， 即求解以下均值-方差優(yōu)化問題

2 充分統(tǒng)計(jì)量

(2)

(3)

確定?，F(xiàn)實(shí)投資實(shí)踐中，投資者通常利用時(shí)刻0掌握的市場(chǎng)信息分析推斷得到Φs(0)。

Pr{Ok+1=s|Uk+1=l}=

Pr{Uk+1=l|Uk=i}Pr{Ok+1=s|Uk+1=l}=

根據(jù)式(2)，Φ(k)是按照時(shí)間遞推產(chǎn)生的。Monahan[34]指出Φ={Φ(k),k≥0}是一個(gè)Markov過程，因此Φ(k)綜合了到時(shí)刻k為止的所有信息。令表示一個(gè)σ-域， 則代表到時(shí)刻k為止的信息集合。如果πk是可測(cè)的，那么策略π={πk,k=0,1,…,T-1}稱為可行的投資策略，用Ξ表示所有可行策略集合。時(shí)刻k，觀測(cè)到市場(chǎng)狀態(tài)Ok后，投資者將依據(jù)其對(duì)不可觀測(cè)狀態(tài)Uk分布的判斷Φ(k)來預(yù)測(cè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超額收益找到允許策略π∈Ξ，使得投資結(jié)束時(shí)風(fēng)險(xiǎn)最小。因此，信息部分可觀測(cè)下的優(yōu)化問題P(mv)等價(jià)地轉(zhuǎn)化為以下信息完全可觀測(cè)的優(yōu)化問題

3 模型求解

(4)

其中γ=λ-d。由于λ和d都是常數(shù)，所以優(yōu)化問題LP(mv)等價(jià)于

因?yàn)?/p>

(5)

所以問題LP(mv)等價(jià)于

令

(6)

2γβk(s)xk-γ2Ck(s)

(7)

相應(yīng)最優(yōu)策略為

(8)

(9)

(10)

(11)

αT(s)=1

(12)

βT(s)=1

(13)

(14)

其中

2γβT-1(s)xT-1-γ2CT-1(s)

其中

假定對(duì)于k+1，式(7)也是成立的，即

2γβk+1(s)xk+1-γ2Ck+1(s)

根據(jù) Bellman 方程(6)有

其中

其中

4 最優(yōu)策略和有效前沿

β0(s)x-(λ-d)2C0(s)-

d2-2d(λ-d)

(15)

(16)

根據(jù)C0(s)的表達(dá)式，不難發(fā)現(xiàn)C0(s)>0，故優(yōu)化問題(16)的最大值存在。根據(jù)一階最優(yōu)性條件，使問題(16)達(dá)到最優(yōu)的λ為

(17)

(18)

(19)

k=0,1,…,T-1

(20)

進(jìn)一步，可得到相應(yīng)的有效邊界為

(21)

5 特 例

1)當(dāng)投資者退出市場(chǎng)的時(shí)間是確定的，也就是說投資者在時(shí)刻T退出市場(chǎng)，即p0(O0)=p1(O1)=…=pT-1(OT-1)=0，pT(OT)=1。此時(shí)，問題P(mv)的最優(yōu)策略和有效邊界仍由式(20)-(21)給出，但相應(yīng)的參數(shù)退化為

αT(s)=1;

βT(s)=1;

那么，從時(shí)刻0初始狀態(tài)i出發(fā)到時(shí)刻k狀態(tài)為j時(shí)，信息部分可觀測(cè)市場(chǎng)中退出時(shí)間不確定下投資組合選擇問題的最優(yōu)投資策略為

k=0,1,…,T-1

(22)

相應(yīng)的有效邊界為

(23)

特別的，當(dāng)投資者退出市場(chǎng)的概率分布與狀態(tài)無關(guān)時(shí)，即pk(i)=pk時(shí)，式(22)和式(23)同文[14]中只有一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下的結(jié)論一致。

6 結(jié) 論

本文研究了同時(shí)具有可觀測(cè)狀態(tài)和不可觀測(cè)狀態(tài)的金融市場(chǎng)中，不確定退出時(shí)間下的多階段均值-方差最優(yōu)投資組合選擇問題。我們利用有限狀態(tài)離散時(shí)間隱Markov鏈刻畫不可觀測(cè)市場(chǎng)狀態(tài)的演變過程，且狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率是時(shí)間的確定性函數(shù)。假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益同時(shí)依賴于可觀測(cè)市場(chǎng)狀態(tài)和不可觀測(cè)市場(chǎng)狀態(tài)，無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益依賴于可觀測(cè)的市場(chǎng)狀態(tài)。在投資過程中，隨著獲得信息的增加，當(dāng)投資者根據(jù)當(dāng)時(shí)觀測(cè)信息判斷發(fā)現(xiàn)投資活動(dòng)不宜繼續(xù)進(jìn)行時(shí)，會(huì)結(jié)束投資活動(dòng)退出市場(chǎng)。因此我們假定投資者退出市場(chǎng)的時(shí)間依賴于可觀測(cè)的市場(chǎng)狀態(tài)。我們通過應(yīng)用充分統(tǒng)計(jì)量方法，信息部分可觀測(cè)的投資組合優(yōu)化問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為信息完全可觀測(cè)的優(yōu)化問題，再結(jié)合動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法和拉格朗日對(duì)偶原理，得到了信息部分可觀測(cè)市場(chǎng)中均值-方差投資組合問題的最優(yōu)策略和有效邊界的解析表達(dá)式。我們還發(fā)現(xiàn)可觀測(cè)和不可觀測(cè)的市場(chǎng)狀態(tài)以及隨機(jī)退出時(shí)間都對(duì)都對(duì)最優(yōu)策略均有顯著的影響，且不可觀測(cè)的市場(chǎng)狀態(tài)是通過投資者對(duì)其概率分布的推斷影響最優(yōu)資產(chǎn)組合策略。

參考文獻(xiàn)：

[1]MARKOWITZ H. Portfolio selection [J]. Journal of Finance, 1952, 7: 7-91.

[2]MERTON R C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: The continuous-time case [J].The Review of Economics and Statistics, 1969, 51(3): 247-257.

[3]LI D, NG W L. Optimal dynamic portfolio selection: multi-period mean-variance formulation [J]. Mathematical Finance, 2000, 10: 387-406.

[4]ZHOU X Y, LI D. Continuous-time mean-variance portfolio selection: A stochastic LQ framework [J]. Applied Mathematics and Optimization, 2000, 42: 19-33.

[5]LIM A E B, ZHOU X Y. Mean-variance portfolio with random parameters in a complete market [J]. Mathematics of Operational Research, 2002, 27: 101-120.

[6]ZHU S S, LI D, WANG S Y. Risk control over bankruptcy in dynamic portfolio selection: a generalize mean-variance formulation [J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2004, 49:447-457.

[7]LEIPPOLD M, TROJANI F, VANINI P. A geometric approach to multiperiod mean variance optimization of assets and liabilities [J]. Journal of Economic Dynamics and Control, 2004, 8:1079-1113.

[8]BASAK S, CHABAKAURI G. Dynamic mean-variance asset allocation [J]. Review of Financial Studies, 2010, 23: 2970-3016.

[9]BJ?RK T, MURGOCI A, ZHOU X Y. Mean-variance portfolios optimization with state-dependent risk aversion [J]. Mathematical Finance, 2014, 24(1): 1-24.

[10]HAMILTON J D. A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and the business cycle [J]. Econometrica, 1989, 57: 357-384.

[11]ZHOU X Y, YIN G. Markowitz’s mean-variance portfolio selection with regime switching: A continuous-time model [J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 2003, 42: 1466-1482.

[12]?AKMAK U, ?ZEKICI S. Portfolio optimization in a stochastic market [J]. Mathematical Methods of Operations Research, 2006, 63(1): 151-168.

[13]COSTA O L V, ARAUJO M V. A generalized multi-period mean-variance portfolio optimization with Makov switching parameters [J]. Automatica, 2008, 44: 2487-2497.

[14]WU H L, LI Z F. Multi-period mean-variance portfolio selection with Markov regime switching and uncertain time horizon [J]. Journal of Systems Science and Complexity, 2011, 24: 140-155.

[15]HONDA T. Optimal portfolio choice for unobservable and regime-switching mean returns [J].Journal of Economic Dynamics and Control, 2003, 28(1): 45-78.

[17]HAUSSMANN U G, SASS J. Optimizing the terminal wealth under partial information:the drift process as a continuous time Markov chain[J].Finance and Stochastics,2004,8:553-577.

[18]BENSOUSSAN A, KEPPO J, SETHI S P. Optimal consumption and portfolio decisions with partially observed true prices [J]. Mathematical Finance, 2009, 19(2):215-236.

[19]ELLIOTT R J, SIU T K, BADESCU A. On mean-variance portfolio selection under a hidden Markovian regime-switching model [J]. Economic Modelling, 2010, 27: 678-686.

[21]BAE G I, KIM W C, MULVEY J M. Dynamic asset allocation for varied financial markets under regime switching framework [J]. European Journal of Operational Research, 2014, 234: 450-458.

[22]YARRI M E. Uncertain lifetime, life insurance, and the theory of the consumer [J]. The Review of Economic Studies, 1965, 32(2): 137-150.

[23]KARATZAS I, WANG H. Utility maximization with discretionary stopping [J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 2001, 39(1): 306-329.

[24]LIU H, LOEWENSTEIN M. Optimal portfolio selection with transaction costs and finite horizons [J]. Reviews of Financial Studies, 2002, 15: 805-835.

[25]郭文旌, 胡奇英. 不確定終止時(shí)間的多階段最優(yōu)投資組合 [J]. 管理科學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 8(2): 13-19.

[26]BLANCHET-SCALLIET C, EI KAROUI N, JEANBLANC M, et al. Optimal investment decisions when time-horizon is uncertain [J]. Journal of Mathematical Economics, 2008, 44(11): 1100-1113.

[27]YI L, LI Z F, LI D. Multi-period portfolio selection for asset liability management with uncertain investment horizon [J]. Journal of Industrial and Management Optimization, 2008, 4(3): 535-552.

[28]ZHANG L, LI Z F. Multi-period mean-variance portfolio selection with uncertain time horizon when returns are serially correlated [J]. Mathematical Problems in Engineering, 2012, Article ID: 216891.

[29]ZENG Y, WU H L, LAI Y Z. Optimal investment and consumption strategies with state-dependent utility functions and uncertain time horizon [J]. Economic Modelling, 2013, 33: 462-470.

[30]WU H L, ZENG Y, YAO H X. Multi-period mean-variance portfolio selection with state-dependent exit probability [J]. Economic Modelling, 2014, 36: 69-78.

[31]WU H L, LI Z F. Multi-period mean-variance portfolio selection with Markov regime switching and uncertain time-horizon [J]. Journal of Systems Science and Complexity, 2011, 24:140-155.

[32]YAO H X, LAI Y Z, HAO Z F. Uncertain exit time multi-period mean-variance portfolio selection with endogenous liabilities and Markov jumps [J]. Automatica, 2013, 49(11): 3258-3269.

[33]BERTSEKAS D P. Dynamic programming: Deterministic and Stochastic models [M]. Prentice-Hall, 1987.

[34]MONAHAN G E. A survey of partially observable Markov decision processes: theory, models, and algorithms [J]. Management Science, 1982, 28(1): 1-16.