復變函數積分在復習總結中的教學研究

袁五屆，周建芳，張金鋒，尹新國

（淮北師范大學 物理與電子信息學院，安徽 淮北 235000）

復變函數積分在復習總結中的教學研究

袁五屆，周建芳，張金鋒，尹新國

（淮北師范大學 物理與電子信息學院，安徽 淮北 235000）

復變函數積分一直是復變函數論課程教學的重點和難點.結合多年的教學經驗，本文以積分路徑的封閉性和函數的解析性為理論分析的突破口，系統地歸納、總結了各種積分類型所采用的計算理論和計算方法，并輔助以恰當的例題來加深理解.本文的研究，將對學生牢固地掌握復變函數積分計算具有一定的指導作用，對教師進行系統的復習教學也具有一定的參考價值.

復變函數積分；柯西定理；柯西公式；留數定理

1 引言

復變函數論目前已形成完美的理論體系，成為一門非常重要的數學分支[1,2]，是解決當今許多理論和實際問題的強有力的數學工具[3,4]，其中復變函數積分是復變函數論中重要的核心內容之一.復變函數積分因其豐富的理論體系和眾多的計算方法，使其一直是復變函數論這門課程教學的重點和難點，學生在掌握積分的理論以及恰當地選擇積分的計算方法上都存在一定的難度.在目前的一些教材中，復變函數積分的理論和計算方法都不集中于某一章，眾多的計算方法都是對于某種特殊類型的復變函數積分進行運算的，這就使學生很難系統地掌握這種復變函數積分的計算.因此，在教學復習中，對復變函數不同積分類型的計算理論和計算方法進行系統的歸納和總結就尤為重要.結合自己多年的教學經驗，本文以積分路徑的封閉性和函數的解析性為理論分析的突破口，系統地總結了復變函數積分常用的計算方法，對每種類型的復變函數積分及其不同的積分方法都輔助以適當的例題來加深理解.

2 復變函數積分類型及其計算方法舉例

復變函數積分可以分為三種類型：帶有上下限的定積分、非閉合曲線積分、閉合曲線積分.下面對這三種積分類型分別介紹相應的方法，并給予具體的實例.

2.1 帶有上下限的定積分

這里可以采用牛頓-萊布尼茨公式進行計算，被積函數為初等復變函數的，可以根據相應的初等實函數來找出被積函數的原函數.

解 由牛頓-萊布尼茨積分公式，得

2.2 非閉合曲線積分

該類型的解題思路是化復變函數積分為實函數積分，可以根據具體形況采用如下兩種方法.

2.2.1 參數積分法

如果積分曲線l可表示為參數方程z=z(t),其中a≤t≤b,則

2.2.2 化為實函數曲線積分法

若z和f(z)可分別表示為z=x+iy和f(z)=u(x,y)+iv(x,y),則

因此，可通過計算兩個實函數曲線的積分來得到復變函數積分.

所以，兩實函數的曲線積分均與積分路徑無關[5]，可令兩特殊積分路徑線段：坐標原點到1點和1點到1+i點，有

2.3 閉合曲線積分

此積分類型又稱圍線積分，該積分類型完全可以采用上述非閉合曲線積分的兩種積分法：參數積分法和化為實函數曲線積分法.由于積分圍線的閉合特性，這種積分類型又有其特殊的積分方法，以閉合曲線的積分方向為逆時針為例（若為順時針積分方向，則積分值為逆時針方向積分的負值），解題程序的流程圖如下：

圖1 求解閉合曲線逆時針方向積分的流程圖

該流程圖表明，對于閉合曲線的積分計算，要因題而異，下面分別對流程圖中的各種情況加以舉例.

所以，由柯西定理一得到：原積分=0.

例6

3 總結

復變函數積分計算，方法靈活多樣，方法的選擇要因題而異.對于不同的積分類型，一般的計算方法和思路可概括如下：對于含有上下限的定積分，先找出被積函數的原函數，然后利用牛頓-萊布尼茨公式計算（見例1）；對于非閉合曲線的積分，可化復變函數積分為實函數積分，一般采用兩種方法，若積分曲線可表示為一元函數的參數方程，則利用參數積分法比較簡便（見例2），否則，采用化為實函數曲線積分法來計算（見例3）；對于閉合曲線的積分，該積分類型完全可以采用上述非閉合曲線積分的兩種方法，由于積分圍線的閉合特性，這種積分類型有其特殊的積分方法（見圖1），首先判斷被積函數在積分圍線內有無奇點，若無奇點，則由柯西定理一得到積分值為0（見例4），若有奇點，可以采用兩種方法來計算，方法一為利用柯西公式或其推論（見例5、6的方法一），方法二為利用留數定理（見例5、6的方法二），其中，若只有一個奇點，可直接利用柯西公式或其推論計算（見例5的方法一），若有多個奇點，可先根據柯西定理二的推論化為積分圍線內有一個奇點的積分類型，然后再根據柯西公式或其推論計算（見例6的方法一）.

為了學生能夠系統地掌握復變函數積分的計算，在講授完復變函數積分的各種理論和方法之后，教師要及時地對復變函數不同積分類型的計算理論和計算方法進行系統的歸納和總結，并輔助于典型例題，安排一到兩個課時對學生集中復習.本文的研究，將對學生牢固地掌握復變函數積分計算具有一定的指導作用，對教師進行系統的復習教學也具有一定的參考價值.

〔1〕王文鵬，厥建華.復變函數積分的求解策略[J].重慶科技學院學報（自然科學版），2007，9（4）：145-147.

〔2〕胡嗣柱，倪光炯.數學物理方法（第二版）[M].高等教育出版社，2002.1-175.

〔3〕黃雋.復變函數積分計算方法的探討[J].常州工學院學報，2008，21（4）：73-75.

〔4〕楊靜宇.復變函數積分中值定理[J].赤峰學院學報（自然科學版），2010，26（5）：3-4.

〔5〕陳文燈，黃先開.數學復習指南（理工類）[M].世界圖書出版公司，2001.293-294.

G642.0

A

1673-260X（2014）01-0-003-02

國家自然科學基金（11005047）；安徽省高校青年教師基金（2008jql071）；淮北師范大學青年基金（2013xqz17）；淮北師范大學教研項目（jy13234）；安徽省高等學校質量工程項目-物理學（師范）特色專業建設點(2011248)