DQ法求解FGM Levinson梁的靜態(tài)彎曲問題

張靜華，魏軍揚

（1.揚州大學建筑工程與科學學院，江蘇揚州225127；2.中船第九設(shè)計研究院工程有限公司，上海200063）

功能梯度材料是一種新型的非均勻復合材料。它是通過特定的材料制備工藝將不同性能的兩種或兩種以上材料按一定的設(shè)計規(guī)律組合起來，使材料組分按梯度連續(xù)變化，從而達到消除材料的物理性能的不連續(xù)性以使內(nèi)部界面消失。功能梯度材料性能的不均勻性為力學分析帶來了很大的困難，許多均勻材料中引入和發(fā)展的力學概念、理論、計算方案和實驗手段已不再適用于功能梯度材料，需要進行探索和創(chuàng)新［1］。因此，其力學行為研究也成為眾多材料科學、物理學和力學工作者非常感興趣的研究領(lǐng)域，是當前國內(nèi)外關(guān)注的前沿課題。

基于不同的理論，研究者們采用了多種解析和數(shù)值方法對功能梯度材料結(jié)構(gòu)的彎曲、屈曲和振動響應進行研究。其中大量的研究成果反映了材料性質(zhì)的橫向梯度變化特性對功能梯度材料梁宏觀力學行為的影響。基于經(jīng)典理論，李世榮和劉平［2］利用解析法研究了材料性質(zhì)沿橫向連續(xù)變化的功能梯度Euler-Bernoulli梁的靜態(tài)彎曲、屈曲和自由振動問題，文獻［3］利用DQ法求解了兩端簡支變截面功能梯度梁的彎曲問題。基于一階剪切理論，Li［4］引入輔助函數(shù)研究了梯度功能材料Timoshenko梁的靜態(tài)彎曲和橫向振動，Li等［5］利用數(shù)學模型的相似性和控制方程中載荷的等效性研究了功能梯度Timoshenko梁與均勻Euler-Bernoulli梁靜態(tài)解之間的相似轉(zhuǎn)換關(guān)系，文獻［6］采用微分求積法（DQM）分析了層合梁自由振動問題。馬連生等［7］研究Euler梁理論、Timoshenko一階梁理論和Reddy高階梁理論之間在特征值問題的相關(guān)性，將求解微分方程的特征值問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程的求解。基于經(jīng)典理論和一階剪切變形理論，文獻［8］運用微分求積法（DQM）研究了功能梯度材料矩形板的線性彎曲問題。基于經(jīng)典板理論，李世榮［9］等采用解析方法研究了軸對稱條件下FGM圓板的彎曲、屈曲和自由振動問題，推導出了FGM圓板與對應均勻圓板的撓度、臨界載荷和固有頻率之間的相似轉(zhuǎn)換關(guān)系。利用經(jīng)典板理論解和一階剪切變形板理論解之間的對應關(guān)系，Reddy等［10］討論了功能梯度復合材料圓形和環(huán)形薄板的對稱彎曲問題，推導出了各種邊界下FGM圓板軸對稱彎曲解析解。基于高階剪切變形板理論，楊杰，沈惠申［11］采用DQ法和Galerkin法相結(jié)合方法研究了在均勻變化的溫度場內(nèi)功能梯度材料矩形中厚板的橫向彎曲問題。

1 問題的數(shù)學模型

1.1 基本方程

采用高階剪切變形理論來分析功能梯度材料Levinson梁的靜態(tài)彎曲問題。考慮長度為l，寬為b高為h的矩形截面功能梯度材料梁，其材料性質(zhì)沿厚度方向連續(xù)變化。設(shè)軸向坐標為x，通過橫截面的幾何形心；橫向坐標為z，其原點在幾何中面（見圖1）。梁的位移場可表示為

其中：u0(x)為幾何中面內(nèi)任一點的軸向位移；w0(x)為撓度位移；u(x，z)和w(x，z)分別為梁內(nèi)任一點的軸向位移和豎向位移；φ為橫截面轉(zhuǎn)角，系數(shù)α=4/(3h2)。對于材料性質(zhì)橫向非均勻變化的功能梯度材料梁，由于梁的幾何中面與物理中面不重合，因而幾何中面面內(nèi)位移u0一般不為0。

根據(jù)梁的位移方程，即式（1）推出梁的應變場為

圖1 功能梯度梁的幾何描述Fig.1 The geometric description of functionally graded beams

式中：εx(x，z)和γxz(x，z)分別為梁內(nèi)任一點的正應變和剪應變。

根據(jù)胡克定律，梁橫截面上的正應力σx和剪應力τxz的位移形式如下

其中：E，G和ν分別為梁的拉伸彈性模量，剪切彈性模量和泊松比，這里假設(shè)它們都是橫坐標z的已知函數(shù)。由式（3）可得梁的橫截面等效內(nèi)力分別為

式中：FN是梁的軸力，M是梁的彎矩，F(xiàn)s是梁的剪力。其中梁的截面剛度系數(shù)定義為

式中：E，v，A分別為梁的彈性模量，泊松比和橫截面面積。

考慮梁的微分單元平衡，可得梁的靜力平衡方程

其中：q為橫向分布載荷。

1.2 材料性質(zhì)變化規(guī)律

考慮梁的材料性質(zhì)沿厚度方向按冪函數(shù)變化，其彈性模量可表示為

其中：-h/2≤z≤h/2；Et=E(h/2)，Eb=E(-h/2)分別為梁的上、下表面的彈性模量；梯度指數(shù)p為非負實數(shù)。定義梁的無量綱剛度系數(shù)為

其中：A=bh為均勻梁的橫截面面積，I=bh3/12是均勻梁的橫截面剛度。將（9）式代入式（7）中，并令η=K-1，K=Eb/Et，積分可得

1.3 無量綱控制方程

采用無量綱變換

其中：ξ是軸向坐標為x的無量綱化，范圍0≤ξ≤1；U和W分別是梁內(nèi)任一點的無量綱軸向位移和無量綱豎向位移；Q是作用在梁上的無量綱橫向分布載荷；fN為梁的無量綱軸力；fs為梁的無量綱剪力；m為梁的無量綱彎矩。

將（4）～（5）式代入（7）式并利用（9）式和（11）式推出無量綱位移形式的控制方程

其中：δ=h/l是梁的細長比。

1.4 無量綱內(nèi)力及邊界條件

將（9）式代入（4）～（5）式并利用（11）式推出梁的無量綱位移形式內(nèi)力

1）兩端簡支功能梯度Levinson梁的邊界條件為

2）一端固定、一端可移夾緊功能梯度Levinson梁的邊界條件為：

3）一端固定、一端自由功能梯度Levinson梁的邊界條件為：

2 數(shù)值計算

2.1 離散方程和邊界條件

采用DQ法對上述高階微分方程進行數(shù)值求解。設(shè)區(qū)間［0，1］上有N個互不重合的結(jié)點0=ξ1＜ξ2＜ξ3＜…＜ξN=1，采用非均勻結(jié)點劃分公式

離散后的全部結(jié)點位移表示為

根據(jù)微分求積法的基本理論［3］

二階以及二階以上權(quán)系數(shù)可以通過一階導數(shù)的權(quán)系數(shù)計算獲得

離散后的無量綱控制方程為

式中：i=1，2，3，…，N。離散后的邊界條件分別為

1）兩端簡支功能梯度材料Levinson梁的邊界條件為

2）一端固定、一端可移夾緊功能梯度材料Levinson梁的邊界條件為

3）一端固定、一端自由功能梯度材料Levinson梁的邊界條件為

2.2 算例

給定均布載荷Q=1，具體考慮由陶瓷和金屬鋁兩種組分材料按式（8）所描述的材料性質(zhì)分布規(guī)律構(gòu)成的功能梯度材料Levinson梁。材料常數(shù)分別為Em=70GPa，Ec=380GPa，泊松比v=0.23。表1～4給出了長細比分別為3，5，10和20時，兩端簡支和一端固定、一端可移夾緊邊界條件下功能梯度材料Timoshenko梁的解析解和DQ法計算出的對應的功能梯度材料Levinson梁的無量綱中點撓度隨梯度指數(shù)p的變化規(guī)律，表2～5中第一行是文獻［5］中功能梯度材料Timoshenko梁解析解的結(jié)果（由文獻［5］中式（22）在不同的邊界條件下的無量綱中點撓度計算得來，其中橫向非均勻系數(shù)，無量綱系數(shù)

表1 不同邊界條件下功能梯度材料Levinson梁的無量綱中點撓度W×103(Q=1，δ=h/l=1/3)Tab.1 Non-dimensional central deflection of functionally graded Levinson beamsunder different boundary conditions W×103(Q=1，δ=h/l=1/3)

表2 不同邊界條件下功能梯度材料Levinson梁的無量綱中點撓度W×103()Q=1，δ=h/l=1/5Tab.2 Non-dimensional central deflection of functionally graded Levinson beams under different boundary conditions W×103()Q=1，δ=h/l=1/5

表3 不同邊界條件下功能梯度材料Levinson梁的無量綱中點撓度W×103()Q=1，δ=h/l=1/10Tab.3 Non-dimensional central deflection of functionally graded Levinson beams under different boundary conditions W×103()Q=1，δ=h/l=1/10

表4 不同邊界條件下功能梯度材料Levinson梁的無量綱中點撓度W×103(Q=1，δ=h/l=1/20)Tab.4 Dimensionless deflection parameters of functionally graded beams under different boundary conditions f×103(Q=1，δ=h/l=1/20)

圖2描述了均布載荷Q=1，細長比δ=1/10時，不同梯度指數(shù)p下兩端簡支功能梯度材料Levinson梁的撓度曲線，結(jié)合表1至表4，得出以下結(jié)論：功能梯度材料Levinson梁的最大無量綱撓度都隨著梯度指數(shù)p的增大而增大，當梯度指數(shù)p≥100時，表中撓度的變化已經(jīng)變得緩慢并逐漸趨向于一個特定的值，這是由于當梯度指數(shù)p=0或p→∞時分別對應彈性模量為E≡Eb和E≡Et的均勻材料梁，對于均布載荷Q=1均勻梁的無量綱撓度只與邊界條件和長細比有關(guān)，在給定的邊界條件和長細比下梁的最大無量綱撓度是定值。

圖3描述了均布載荷Q=1，梯度指數(shù)p=3時，不同細長比下一端固定、一端可移夾緊的功能梯度材料Levinson梁的撓度曲線，結(jié)合表1～4，得出以下結(jié)論：

1）不同邊界條件下，功能梯度材料Levinson梁的無量綱撓度隨著細長比δ的增大而增大，當細長比達到δ=1/20時，功能梯度材料Levinson梁和對應功能梯度Timoshenko梁的無量綱撓度幾乎相同，這就說明DQ法計算出的對應的功能梯度材料Levinson梁的彎曲撓度是可靠的。

2）隨著細長比δ的增大，高階剪切變形理論下的Levinson梁和一階剪切變形理論下的Timoshenko梁的無量綱撓度差異也增大，當細長比δ≥1/5時差異開始變得明顯，因此計算深梁的撓度時，一階剪切變形理論不夠精確，需要用到高階剪切變形理論來進行運算。而當細長比δ≤1/10時，一階和高階剪切變形理論下的無量綱撓度差異較小，到長細比δ=1/20時，這兩種理論下的撓度曲線基本重合。

圖2 不同梯度指數(shù)下功能梯度Levinson懸臂梁的無量綱撓度曲線W×103()Q=1，δ=h/l=1/10Fig.2 Dimensionless deflection curves of cantilever FGM Levinson beams for differentvaluesof the power law index W×103()Q=1，δ=h/l=1/10

圖3 不同細長比下兩端簡支功能梯度Levinson梁無量綱撓度曲線W×103()Q=1，p=3Fig.3 Dimensionless deflection of S-SFGM Levinson beams for differentslenderness ratio W×103()Q=1，p=3

3 結(jié)論

基于高階剪切變形理論，采用微分求積法（DQM）研究了功能梯度Levinson梁的彎曲問題，得出了以下結(jié)論：

1）功能梯度材料Levinson梁的最大無量綱撓度都隨著梯度指數(shù)p的增大而增大，當梯度指數(shù)p≥100時，表中撓度的變化已經(jīng)變得緩慢并逐漸趨向于一個特定的值。

2）功能梯度材料Levinson梁的無量綱撓度隨著細長比δ的增大而增大，當細長比達到δ=1/20時，功能梯度材料Levinson梁和對應功能梯度Timoshenko梁的無量綱撓度幾乎相同。

3）隨著細長比δ的增大而增大，高階剪切變形理論下的Levinson梁和一階剪切變形理論下的Timoshenko梁的無量綱撓度差異也增大，當細長比δ≥1/5時差異開始變得明顯，因此計算深梁的撓度時，一階剪切變形理論不夠精確，需要用到高階剪切變形理論來進行運算。

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