基于改進相似度的混合型多屬性決策方法

張 峰，謝振華，林 健，程江濤，崔高侖

（1.海軍航空工程學院青島校區，山東青島266041；2.91033部隊，山東青島266071）

多屬性決策主要解決具有多個屬性（指標）的有限方案決策問題，其實質是利用已有的決策信息通過一定的方式對有限個備選方案進行排序并擇優，在工程設計、經濟、管理、軍事等諸多領域具有廣泛的應用背景。由于決策環境的復雜性和認知的局限性，決策者有時難以對各種屬性值給出精確的評價信息[1]。一般情況下，決策者所給出的評價信息有的能夠用精確值表示，有的只能用區間數或者直覺模糊數表示，還有的采用模糊語言變量表示會更合理。這種屬性值包含多種數據形式的決策問題就是混合型多屬性決策問題。

有關單一型多指標決策問題的研究已經取得了相當豐富的成果，然而混合型多指標決策問題的研究還很不完善。文獻[2]采用TOPSIS法處理混合型多屬性決策問題，在處理不同屬性類型值到理想值的距離時，使用完全不同的計算方法值得商榷。此外，由于距離正理想解近的方案未必距離負理想解遠，方法存在適應性問題。文獻[3]基于相對熵權和投影算法，定義了相對熵權和貼進度概念，依據投影算法對不同方案進行了排序。李武和胡華南等針對決策者給出的基數評價信息或序數偏好的情形建立了多種多屬性群決策模型[4]。文獻[5]引入直覺模糊數的得分函數對方案進行了排序，但此得分函數不能進行柔性決策，存在著一定的局限性。文獻[6]利用相似度的概念通過引入虛擬正、負理想方案p*和p*，建立各方案與它們之間的相似性測度，幫助決策者識別不同方案的優劣，并通過模糊大多數的概念集結群體意見，為方案優劣排序構建了新的程序和方法，但此方法涉及到的參數賦值主觀性較強。文獻[7-8]定義了“無差異”和“控制”是排列模糊數字的兩個重要概念，為模糊數的相似度計算提供了一種新的方法。文獻[9]中以Slonim為代表的學者提出了區間相似度算法，對2個區間的相似性問題進行算法研究，該項研究的結果能給出2個區間值的相似性量化結果，但此方法的區分度較差。因此，本文提出了一種改進的區間相似度方法，以便在提高計算結果區分度的同時，計算結果準確。

1 混合多屬性決策問題的描述

多屬性決策模型為：

1）方案集S={S1,S2,…,Sm}；

2）屬性集P={P1,P2,…,Pn}；

3）屬性權重集合ω={ω1,ω2,…,ωn}，其中，

4）決策矩陣A=[aij]m×n，aij是方案Si在屬性Pj下的評價值，aij的取值可以是實數、區間數和語言數。

2 基于改進相似度的混合型多屬性決策法

2.1 各種屬性值相似度問題

定義1：設?+為實數集，對于任意的x1,x2∈?+，若x1＜x2，則稱x1和x2的相似度可表示為

定義2：令表示實數軸上的一個閉區間，則稱為正區間數。

定義3：稱為區間型正理想點，為區間型負理想點，若指標為效益型指標，則：

若指標為成本型指標，則交換max 和min的運算符。

文獻[10]從集合論的思想出發，用2個區間的長度及其重疊區域的長度表示其相似度，表達式為

該方法易于理解，形象直觀，它反映了2個固定長度的區間，如果重疊部分越多，則其相似度越大。但是，若2個待比較區間均與比較區間沒有重疊部分，則依據此方法計算所得的相似度均為0，因而該方法區分度很差。為解決此問題，現將待比較區間與比較區間的相似度計算公式進行改進，圖1為2個區間的位置關系。

圖1 2個區間的位置關系Fig.1 Ubiety relation of two interval numbers

4）若b ∈?+為正區間數，則：

1）非負性，0＜S(X,Y)≤1，S(X,Y)=1 ?X=Y；

2）對稱性，S(X,Y)=S(Y,X)；

3）等價性，S(X,Y)=1，且S(Y,Z)=1 ?S(X,Z)=1；

4）三角不等式，S(X,Y)?S(Y,Z)≤S(X,Z)。

2.2 決策方法與步驟

Step 1：方案屬性值的規范化。為了消除不同物理量綱對決策結果的影響，就必須對各方案中不同類型的屬性值進行規范化。

文獻[11]給出了11 標度的語言變量與Vague 數（實質為直覺模糊數）的對應關系。

設語言變量集合S={絕對好，很好，好，較好，中好，中等，中差，較差，差，很差，絕對差}，則對應的直覺模糊數集合為L={（1，0，0），（0.9，0.05，0.05），（0.8，0.1，0.1），（0.7，0.15，0.15），（0.6，0.2，0.2），（0.5，0.5，0），（0.4，0.4，0.2），（0.3，0.55，0.15），（0.2，0.7，0.1），（0.1，0.85，0.05），（0，1，0）}。

依直覺模糊數轉化為區間數的公式：

Step 2：構建第i個待評方案、正理想解方案和負理想解方案向量。

Step 3：計算方案i的屬性j與正、負理想方案的屬性j的相似度。具體可依式（4）～（7）而為。

Step 4：計算方案i的屬性j與正、負理想方案屬性j的屬性關聯度為：

式（11）～（13）中：ωj為屬性j的權重。

Step 6：將綜合關聯度γi從大到小排序，所得結果即為各方案的優劣順序。

3 算例

為了便于對比分析，本文采用文獻[1]中的實例進行分析。實例：某國國防部擬發展一種戰術導彈武器，研制部門提供了4種導彈型號的有關信息，指標權重已經由相關專家詳細考察得出，結果見表1。

表1 4種不同型號導彈武器性能指標Tab.1 Performance indices of four kinds of missile weapon

經計算得方案1～4的綜合關聯度（δ=0.3）分別為0.515 8、0.464 0、0.540 7、0.474 9。排序：方案3 ＞方案1 ＞方案4 ＞方案2，故最佳方案為方案3，各方案綜合關聯度見表2。文獻[1]采用TOPSIS法來求解，其結果相同。文獻[12]采用基于直覺模糊數法進行決策評估，其結果也相同。因此，采用基于改進相似度的混合型多屬性決策方法進行評估計算是可行的。

表2 4種不同型號導彈方案的綜合關聯度Tab.2 Comprehensive correlative of four kinds of missile weapon

4 結論

鑒于目前混合型多屬性決策問題的研究還很不完善，本文基于將難以定量描述的語言屬性指標轉化為定量描述的區間型屬性指標的目的，引入相似度概念，考慮到若2個待比較區間均與比較區間沒有重疊部分時，依據現有的區間相似度計算方法難以衡量兩者與比較區間相似度的問題，對現有的區間相似度計算方法進行了改進，依據改進后的相似度計算模型對原有案例進行了計算，結果與基于TOPSIS 法和直覺模糊數法所得的結果一致，在一定程度上說明了改進后的方法的正確性。改進后的相似度計算模型可以處理任何區間之間的相似度問題，并解決了區分度差的問題。但是，在將語言型指標轉化為區間型指標時，難免會損失一定的信息量，在方案屬性值比較接近時，依據本方法得出的結果或可能不夠精確，今后應在這方面開展一定的研究。

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