等譜AKNS方程的約化

（海軍航空工程學院基礎部，山東煙臺264001）

尋求非線性偏微分方程的精確解，一直是孤子理論研究中的重要內容之一。目前，已經有許多成功的方法，如反散射變換方法[1]、Dabux變換方法[2]、Hirota[3]方法、Wronskian[4-7]技巧等等，其中，Wronskian 技巧有明顯的優越性，Wronskian 行列式每一列是其前一列的導數，因而這種類型的行列式的高階導數只是少數幾個同階行列式的和構成，使得由此表達的解能直接代入方程驗證。孤子方程的雙Wronskian 解是對單Wronskian解的推廣，本文推廣雙Wronskian行列式元素滿足的條件，通過等譜AKNS 方程的約化，得出非線性Schrodinger 和mKdV 方程的新雙Wronskian 解，包括有理解。

AKNS 方程是非常重要的非線性發展方程，二階和三階等譜的AKNS方程組分別為：

令r=q?（?為共軛復數），且以-it代替t時(i2=-1)，方程（1）約化為等譜的非線性Schrodinger 方程：

類似的，令q=r=v，方程（2）約化為等譜的mKdV方程：

本文組織如下：第1 部分通過約化分別得到非線性Schrodinger和mKdV方程的新雙Wronskian解；第2部分，給出2個方程的雙Wronskian 形式的有理解；第3部分給出結論。

1 非線性Schrodinger 和mKdV 方程的新雙Wronskian解

在方程（1）中若施以分式變換：

則g、f、h 滿足雙線性方程：

類似的，在方程（2）中施以分式變換（5），則得到其雙線性方程：

式（7）中，D是著名的Hirota算子[3]，定義如下：

為得到方程（3）新的雙Wronskian解，引入記號[6]：

式中，φ、ψ是2個N+M 維的列向量。

運用Wronskian技巧，可以證明下面2個引理：

引理1[8]：二階AKNS方程（1）的雙線性方程（6）有下列雙Wronskian行列式解：

式（8）中，φ、ψ 滿足條件：

A是一個(N+M+2)×(N+M+2)的獨立于t 和x任意實矩陣。

引理2[9]：三階AKNS方程（2）的雙線性方程（7）有雙Wronskian行列式解（8），φ、ψ 滿足下列條件：

由引理1可以推出方程（11）的新雙Wronskian解。定義矩陣：

式（12）中：

設

由行列式性質，可以知道f=f?，

定理1：等譜的非線性Schrodinger方程（3）的雙線性方程（6）有如下新雙Wronskian解：

與二階AKNS方程類似，

式（16）中：

定理2：等譜的非線性mKdV方程（4）的雙線性方程（15）有如下新雙Wronskian解：

2 非線性Schrodinger和mKdV方程的有理解

從式（9）中可得到：

其中，C、D為N+M+2 維常數列向量。如果矩陣

則AN+M+2=0，這時式（19）可被截斷為

相應的，

式中，j=1,2,…,N+M+2。

令c1=d1=1，ck=dk=0()

k=2,3,…,N+M+2，有

當以-it代替t時，從式（22）可以看出：

從而推知f?=f，g?=h，即r=q?，這樣可得到定理3。

定理3：等譜非線性Schrodinger 方程（3）有雙Wronskian形式的有理解：

其中，φj、ψj滿足條件（22）。

類似的，從式（10）中可得到

式中，C′、D′為N+M+2 維常數列向量。

如果矩陣

則AN+M+2=0，這時式（23）可被截斷為：

相應的，

式中，j=1,2,…,N+M+2。

取c′1=d′1=1，c′j=d′j=0()

j=2,3,…,N+M+2，有：

從式（25）中可知φj=(-1)j-1ψj，從而可推知g=h即q=r，這樣可以得到定理4。

定理4：等譜非線性mKdV 方程（4）有雙Wronskian形式的有理解：

其中，φj和ψj滿足式（25）。

3 結論

在本文中，通過等譜AKNS 方程的約化，分別構造出Schrodinger 方程，mKdV 方程的新雙Wronskian解，并推導出它們各自雙Wronskian形式的有理解。

[1]GARDER C S，GREEN J M，MIURA R M.Method for solving the KdV equation[J].Physical Review Letters，1967，19：1095-1907.

[2]WADATI M，SANUKI H，KONNO K.Relationshios among inverse method，backlund transformation and infinite number of conservation laws[J].Progress Theoretical Physics，1975，53：419-436.

[3]HIROTA R.Exact solution of the KdV equation for multiple collisions of solitons[J].Physical Review Letters，1971，27：1192-1194.

[4]FREEMAN N C，NIMMO J J C.Soliton solutions of the KdV and KP equations：the Wronskian technique[J].Physics Letters A，1983，95：1-3.

[5]NIMMO J J C，FREEMAN N C.A method of obtaining the soliton solution of the Boussinesq equation in terms of a Wronskian[J].Physics Letters A，1983，95：4-6.

[6]NIMMO J J C.Soliton solutions of three different-difference equations in Wronskian form[J].Physics Letters A，1983，99：281-286.

[7]ABLOWITZ M J，SEGUR H.Soliton and the inverse scattering transform[M].Philadelphia：The Society for Industrial and Applied Mathematics，1981：15-18.

[8]陳登遠，張大軍，畢金缽.AKNS 方程的新雙Wronskian解[J].中國科學A輯：數學，2007，37（11）：1335-1348.

CHEN DENGYUAN，ZHANG DAJUN，BI JINBO.New double wronskian solutions for the AKNS equations[J].Science in China Series A:Mathematics，2007，37（11）：1335-1348.（in Chinese）

[9]YIN F M，CHEN D Y.Generalized double Wronskian solutions for the third-order AKNS equations[J].Chaos，Solitons and Fractals，2009，39：926-932.