混沌時間序列預測算法的優度評價

王 ?，蓋明久，張金春

（海軍航空工程學院a.研究生管理大隊；b.基礎部，山東煙臺264001）

由于混沌時間序列具有非線性動力學特性，所以是長期不可預測的，但確定性結構又使系統演化軌跡短期內的發散較小，只滿足短期可預測性。混沌時序預測就是在重構后的相空間中找到某種模型去最大程度地逼近系統的動力學特性，并用這個模型實現系統未來趨勢的預測[1-2]。混沌時間序列預測方法可分為3類：全域預測[3]、局域預測[4]和自適應預測[5]。

在實際應用中，評價一個算法優劣的指標一般包括可預測步數與算法速度。目前，在評價一個算法的性能時，只是將以上2個指標單獨的進行比較，不能全面地衡量算法的優劣。

優度評價方法是可拓學[6-8]中評價一個對象（事物、策略、方法等）優劣的基本方法，能夠在合適的評價指標體系下，對待評對象進行綜合評價，確定其綜合優度值。本文采用優度評價法對混沌時間序列的4種局域預測算法進行評價，獲得了較好的效果。

1 混沌時間序列的局域預測算法

對混沌時間序列進行預測，首先要對混沌時間序列進行相空間重構。根據相空間重構方法，混沌時間序列{x (t),t=1,2,…,N} 在延遲時間τ、嵌入維數m 條件下重構后共有M個相點，M=N-(m-1) τ，各個相點依次是：

相點X(M)進一步演化后的相點為

因此，如果知道X(M+1)，可用其最后一維元素x(M+1+(m-1) τ)來預測序列的下一點X(N+1)。

混沌時間序列的局域預測算法不對所有相點進行擬合，只研究部分鄰近相點，認為某一相點的未來演化趨勢與其鄰近相點的演化行為類似。由于擬合的相點數量少，因而在擬合方面具有計算復雜度低、速度快、擬合度高、適用于多數系統的優點，而且，由于擬合的相點少，并且是變化的，具有很強的適應性，更符合混沌時間序列的變化性質。因此，局域預測法得到了廣泛的研究和應用。常用的局域預測法有以下4種[9]。

1.1 局域平均預測法

局域平均法認為最后一個相點X(M)進一步演化行為可由它的若干個鄰近點的平均進一步演化行為來估計，因而先按一定的規則找出X(M)的k個鄰近點X(Mi)(i=1,2,…,k)，即由推出其中，表示序列下一點x(N+1)的預測值。該方法直觀易懂，計算簡單，但易受噪聲干擾。

1.2 加權零階局域預測法

為了更準確地預測變化較大和含有噪聲的序列，加權零階局域預測法，對各個鄰近相點依據特定的規則賦予權重。其具體公式如下：

式中，pi(i=1,2,…,k)是權值。

1.3 加權一階局域預測法

加權一階局域預測法是用一階線性擬合的方式來逼近相點的演化趨勢，公式為

將每個相點分解為各維分量，則有：

使用加權最小二乘法來求取最佳的a 和b值，從而得到相點演化的預測公式，得到下一步演化相點的預測，提取最后一維分量即為時間序列的預測值。

1.4 基于SVM的局域預測法

基于SVM的局域預測法具有很好的泛化能力，并能克服維數災問題及局部極小問題。選用sigmoid核函數進行預測[10]，公式為

式中，p1、p2是2個待定參數。

基于SVM的局域預測法的基本思路為：首先，計算原始時間序列的延遲時間τ 和嵌入維數m，完成相空間重構，選定合適的鄰近相點個數K。將以上得出的鄰近相點集合作為支持向量機的訓練集輸入，將其下一步演化點的最后一維元素所組成的集合作為訓練集輸出，設置支持向量機核參數p1、p2進行訓練。然后，將預測中心相點作為測試集輸入到訓練好的支持向量機中，得到輸出，即為預測值。由此，預測值便能重構得到新的預測中心點，同時將預測值作為已知序列點加入到原樣本集中，形成新樣本集。重復這一思路，直到完成所有預測。

2 混沌時間序列預測算法的優度評價方法

混沌時間序列預測的優度評價流程如圖1所示。

圖1 混沌時間序列預測算法優度評價流程圖Fig.1 Flow chart of priority degree evaluation of chaotic time series prediction algorithm

2.1 評價指標的選取

對一個混沌時間序列預測算法一般從算法的精度和運算速度來進行評價。評價預測算法的精度有多種指標，一般采用平均絕對百分誤差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）來衡量，公式如下：

式（5）中：S為預測步數；y(t)為真實值；y′(t)為預測值。

但是，平均絕對百分誤差會將誤差“平攤”，在某些意義上有失客觀的缺點，因而本文使用一個新的衡量預測算法性能的指標：單點預測準確率與平均絕對百分誤差來綜合評價算法的精度。

單點預測準確率的公式如下：

另外，在序列預測中，預測速度也是一項非常重要的指標，直接決定該預測算法是否具有實用價值，我們希望預測算法越快越好，最好能實現實時或近似實時的預測。特別對于實際應用問題，如果預測算法耗時過長，往往失去應用價值。因此，不同算法對混沌時間序列的預測時間也應作為評價的指標之一。具體混沌時間序列預測算法評價體系如圖2所示。

圖2 混沌時間序列預測算法評價體系Fig.2 Evaluation system of chaotic time series prediction algorithm

2.2 確定各評價指標的權系數

對待評價算法Zj(j=1,2,…,m)各指標的重要程度進行評估，以權系數表示各評價指標的重要程度。在實際混沌時間預測時進行多步預測。因此，將待評價算法的平均絕對百分誤差、單點預測準確率和預測時間看作第1層評價指標，各指標對應的不同預測步數的值看作第2層評價指標。以SI1,SI2,…,SIn為第1層系統的評價指標，SI11,SI12,…,SI1p1；SI21,SI22,…,SI2p2；…；SIn1,SIn2,…,SInpn為各個第1層系統對應的第2層系統的評價指標[9-11]。然后，根據經驗、專家打分法或層次分析法等分別對各級指標賦予[0,1]的值。一級系統權系數記為α=(α1,α2,…,αn)，二級系統權系數記為：β1=(β11,β12,…,β1p1)，β2=(β21,β22,…,β2p2),…，βn=(βn1,βn2,…,βnpn)，其中，i=1,2,…,n。

在確定各級各個指標的權重之后需要先計算二級系統的優度值，然后乘以對應一級系統的權重得出對象的最終優度值。

2.3 建立關聯函數，計算關聯度

在仿真所得數據的基礎上，對所確定的指標集中的指標v 建立關聯函數Kv(x)。其正域為X=(a,b)，當x=a時，算法的精度最高或者速度最快，即量值越小算法的精度或者優度越大。建立關聯函數為：

臨界值a、b可通過多次的仿真實驗和專家的意見來確定。

把待評價算法Zl關于各二級評價指標SIij的量值代入關聯函數式（7）中，求出關聯函數值，簡記為klij，則各評價對象Z1,Z2,…,Zm關于SIij的關聯度為：

2.4 計算各評價算法的優度值

待評價算法Zl(l=1,2,…,m)關于各一級評價指標下的二級指標SI11,SI12,…,SI1p1，SI21,SI22,…,SI2p2，…，SIn1,SIn2,…,SInpn的關 聯 度 分 別為：k1(Zl)=(kl11,kl12,…,kl1p1)T，k2(Zl)=(kl21,kl22,…,kl2p2)T，…，kn(Zl)=(kln1,kln2,…,klnpn)T，則待評價算法的優度值為：

3 對4種混沌時間序列的局域預測算法的優度評價

以Lorenz 混沌時間序列為例子。設置參數a=16，b=4，c=45.92，初值 x(0)=-1y(0)=0，z(0)=1，積分區間[0,1 000]，積分時間步長0.01。用四階Runge-Kutta 法求解方程組，并以x分量的第10 001個到第13 000個總計3 000個數據點為樣本。首先，用相空間重構方法計算該樣本的延遲時間和嵌入維數，得到τ=11和m=6，以此參數組合進行重構；然后，以第1節中的4種不同局域預測算法分別進行10步、50步、100步的預測，得到的結果及各指標的權值如表1所示。局域平均法、加權零階法、加權一階法和基于SVM法分別用Z1、Z2、Z3、Z4表示。

表1 4種算法的仿真結果及各評價指標權值Tab.1 Simulation results of four algorithmsand evaluation index weight %

表1中“（）”內的值為各評價指標與預測步數的權值。把Z1、Z2、Z3、Z4關于評價指標的量值代入關聯函數，求出對應于式（8）的關聯度，分別為：

計算出待評價算法的綜合優度值，結果見表2。

表2 4種算法的優度值Tab.2 Priority of four algorithms

4 結束語

利用優度評價方法對混沌時間序列預測算法進行評價，可以綜合算法的精度和速度兩方面評價算法的優劣。實例證明：優度評價方法實用性較高，可以有效評價算法綜合性能的高低，而且解算方便，為混沌時間序列預測算法的評價提供了一種定量化的方法和思路。

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