GNSS接收機采樣率的選擇及對相關器輸出的影響

宋玉龍, 廉保旺

(西北工業大學 電子信息學院, 陜西 西安 710072)

大多數現代GNSS(global navigation satellite system,全球導航衛星系統)接收機是數字接收機,而開發數字接收機的首要工作就是設計采樣率,它直接影響了接收機的正常工作、跟蹤精度和資源利用效率。采樣率的選擇主要取決于中頻信號形式(實/復信號)、中頻頻率、偽碼速率及相關器間隔等。

接收機射頻前端結構的不同會影響中頻頻率的選擇,以及中頻信號的形式,并決定了帶通采樣的策略。文獻[1]對外差式、零中頻、低中頻等射頻前端結構及混頻信號頻譜進行了詳細的分析,并討論了各自的優缺點。本文對GNSS數字接收機常用的外差式和低中頻結構進行了研究。

在射頻前端輸出的中頻信號基礎上需要研究帶通采樣率的設計。Akos在文獻[2-3]中研究了將射頻信號用帶通采樣直接下變頻到基帶的方案,并說明了帶通采樣的原理及采樣率的設計方法;文獻[4]中詳細研究了實數信號的帶通采樣率設計;文獻[5]中詳細研究了復數信號的帶通采樣率設計。本文研究在實/復數形式的中頻信號上進行抗混疊帶通采樣(不利用帶通采樣下變頻)的采樣率設計。

文獻[6-9]研究了采樣率對環路跟蹤性能的影響,均推薦采樣率設計成偽碼速率的非整數倍,但并沒有深入研究影響跟蹤性能的根本原因,也沒有給出具有說服力的仿真結果。本文解決了這些問題。文獻[10]給出了相關器間隔對采樣率選擇的影響,本文通過仿真和論證糾正了文中存在的錯誤。

最后本文綜合考慮了信號形式、中頻頻率、偽碼速率、相關器間隔及硬件資源等因素,給出了最優的采樣率設計策略。

1 采樣率與中頻頻率

1.1 射頻前端結構

射頻前端模塊位于接收機天線與基帶數字信號處理模塊之間,它的主要目的是將接收到的射頻模擬信號數字化成包含GNSS信號成分、頻率較低的中頻信號,并在此過程中進行必要的濾波和增益控制。衛星與接收機之間的相對運動會引起信號載波頻率的多普勒效應,使接收到的衛星信號的載波頻率發生偏移。因為這種相對運動狀況和相應的多普勒頻移量通常是不可預測的,所以射頻前端只得將接收信號從射頻下變頻到中頻(或者近基帶),而不是直接下變頻到真正的基帶[11]。

GNSS接收機的射頻前端主要采用2種結構,一種是經典的外差式接收機結構,如圖1所示;另一種是近來各接收機廠商常使用的低中頻結構,如圖2

所示。2種結構在對中頻頻率的選擇以及之后的A/D采樣方面都有著不同的處理方案。

圖1 外差式接收機結構框圖

外差式接收機結構具有較好的性能,但是由于存在鏡像干擾,鏡像抑制濾波器(射頻濾波器)和通道選擇濾波器(中頻濾波器)比較難做,成本較高。圖1所示的接收機結構下,中頻輸出實信號,中頻頻率的選擇首先要考慮到信號帶寬B,至少應該大于B/2,否則會造成正負頻率分量的混疊。

圖2 低中頻接收機結構框圖

圖2所示的低中頻結構對射頻信號進行復數變頻,然后在I、Q路分別采樣,輸出頻率較低的復數中頻信號。之后在FPGA接收通道中進行數字復數下變頻,并配合DSP完成捕獲跟蹤。這種結構既避免了外差式的鏡像干擾,又緩解了零中頻結構本振泄露、直流漂移等缺點[1]。低中頻的中頻頻率可以低至信號帶寬的1～2倍。

1.2 帶通采樣

為了降低接收機功耗以及A/D的實現驗度，可以對中頻信號進行帶通采樣。

采樣過程在時域上可表達為信號與單位抽樣函數序列的乘積,如(1)式所示。

(1)

式中：Ts是單位抽樣序列的周期,即采樣周期。

單位抽樣函數序列在頻域中是間距fs(fs=1/Ts,采樣頻率)的沖激函數序列,任意函數與沖激函數的卷積有如下性質:

f(t-t1)*δ(t-t2)=f(t-t1-t2)

(2)

根據傅里葉變換的性質可知,原信號的時域采樣相當于在頻域與沖激序列卷積,即將原信號頻譜以fs為單位進行搬移復制,如(3)式所示：

,m=0,±1,…,±∞

(3)

如上一小節所述,不同的射頻前端結構會得到不同形式的中頻信號,如傳統外差式的實信號(具有雙邊對稱頻譜,稱雙邊帶信號),以及低中頻結構的復信號(僅有單個頻譜,稱單邊帶信號)。2類信號的帶通采樣過程需要分別對待,下面進行詳細說明。

1.2.1 雙邊帶信號

對于僅具有一個頻帶的實信號(單頻信號),帶通采樣后可能導致原頻帶與復制頻帶間的混疊,以及正負頻率分量間的混疊。

圖3 雙邊帶單頻信號帶通采樣示意圖

圖3中,虛影為原信息頻帶采樣后的復制頻帶。可以看到為了避免出現頻率混疊,原信號的正(負)頻譜分量必須位于頻率范圍[x(fs/2),(x+1)(fs/2)](x為整數)內。以圖3a)為例,采樣頻率fs必須滿足以下條件:

(4)

即

(5)

式中：n為非負整數,fc為信息頻帶正分量的中心頻率(中頻頻率),B為信號帶寬。考慮到信號帶寬和濾波器通帶的邊界過渡性,采樣頻率一般選取為(5)式左右兩端的中間值,即:

(6)

對于具有雙/多個頻帶的實信號(雙/多頻信號),帶通采樣后可能引入的混疊除了單頻信號的2種情況外,還可能存在來自多個頻帶之間的混疊。雙頻信號帶通采樣后的各頻帶在[x(fs/2),(x+1)(fs/2)]區間內有8種排列方式,詳細內容可參考文獻[4]。

1.2.2 單邊帶信號

如圖4a)所示,對于單頻復數信號,不會有正負頻帶分量間的混疊,只存在自身單個頻帶的混疊。因此,采樣頻率fs需滿足:

(7)

即

(8)

圖4 單邊帶信號帶通采樣示意圖

對于圖4b)所示的雙頻單邊帶信號采樣率必須滿足以下條件:

(9)

即

(10)

式中：n1、n2為非負整數,fL1、fH1分別為信號頻帶S1的上下邊沿頻率,fH1、fH2分別為信號頻帶S2的上下邊沿頻率。

由(8)式和(10)式也可以得到類似于(6)式的等式。圖4c)采樣率的推導過程與圖4b)類似。另外,多頻信號的推導可參考文獻[5]。

2 采樣率與碼速率

本文以GPS 6號衛星的C/A碼為例研究采樣率對接收機性能的影響。采樣后的接收偽碼與本地偽碼的歸一化相關函數為:

(11)

式中：Ts為采樣周期,Tc為偽碼碼片周期,t0為采樣點初相位(即首個采樣點相對于接收偽碼起始位置的距離),τ為本地偽碼相對于接收偽碼的延遲,c(n)為C/A碼的第(n+1)個碼片值(n=0～1 022),?·」為下取整函數,mod(a,b)表示a對b取余,N為預檢測積分時間內的總采樣點數。

設采樣周期與偽碼碼片周期的關系為:

Ts/Tc=p/q

(12)

式中：p和q均為正整數,且p/q不可約。經過q個采樣點后,采樣點相對于偽碼碼片的位置將重復出現[6-7]。

若接收偽碼和本地偽碼在同一時刻的采樣值都相同,則相關結果必為最大值。又因為采樣點與碼片的相對位置的重復周期為q,則滿足相關結果最大的條件只需為:

i=j,j+1,…,j+q-1

(13)

式中：j為非負整數。

圖5為2種采樣率下接收偽碼及本地偽碼時域采樣的示意圖,本地偽碼的延遲處于使得相關結果從最大值開始變小的臨界條件下。其中小三角形表示采樣點,紅點為碼片邊界標識,圖5a)中Ts=Tc/3,t0=Tc/6,τ=Tc/6;圖5b)中Ts=2Tc/3,t0=Tc/6,τ=Tc/6。對于圖5a),將q=3,j=0,Ts=Tc/3,t0=Tc/6,τ=Tc/6代入(13)式中得:

(14)

解得:

-Tc/6<τ≤Tc/6

(15)

即當延遲τ滿足(15)式時,相關結果為最大。可以發現,采樣后的接收偽碼與本地偽碼的相關函數的最大值不是一個點,而是寬度為Tc/3的一個范圍。對于圖5b),按照上述做法可以得到與(15)式相同的結論。

圖5 不同采樣率下接收偽碼及本地偽碼時域采樣示意圖

為了進一步研究和驗證采樣率與偽碼速率的相對關系對相關結果的影響,本文做了圖6所示的4個實驗。圖6a)、圖6b)中各自選取了3種不同的采樣初相位,采樣周期Ts分別為Tc/3和2Tc/3;圖6c)、圖6d)中采樣周期Ts分別為4Tc/15和101Tc/300,做出采樣后的接收偽碼與本地偽碼的相關函數曲線。由圖可以得到以下結論:

1) 比較圖5a)、圖5b)每個圖中的3條曲線可以看出,采樣后得到的相關函數呈臺階狀,且采樣點初相位僅影響相關函數在橫軸的位移,而不影響其形狀;

(2) 比較圖5a)、圖5b)間的曲線可以看出,Tc/3和2Tc/3采樣率下得到的相關函數的臺階寬度是相同的,均為Tc/3,且與(15)式的結論一致。說明不同采樣率下相關函數的臺階寬度也可能相同。

(3) 圖5a)～圖5d)中采樣周期Ts分別為Tc/3、4Tc/15和101Tc/300,三者的采樣率相差并不大,但是臺階寬度相差很大,分別為Tc/3、Tc/15和Tc/300,即Tc/q。進一步證實了相關函數的時間分辨能力僅與q有關,q越大,時間分辨能力越強。

圖6 不同采樣率下接收偽碼與本地偽碼的相關函數

由(12)式得Ts=(p/q)Tc,當采樣率近似相等時,p越小,q則越小,從而時間分辨能力越差。而正整數p最小為1,說明在同等采樣率等級下,p取1(即采樣率為偽碼速率的整數倍)時相關函數的時間分辨能力最差。但并不是說只要采樣率選擇為偽碼速率的非整數倍就能得到好的時間分辨能力。因此，文獻[6-9]中提出的采樣率選為偽碼速率非整數倍僅是獲得良好相關函數時間分辨能力的必要條件,而非充分條件。

3 采樣率與相關器間距

圖7所示為采樣后的3路超前、即時、滯后本地偽碼與接收偽碼的相關函數及超前減滯后鑒相曲線[11-12]。圖7a)的采樣周期Ts為19Tc/5,3路本地偽碼的碼相位偏移(即相關器間隔)為3Tc/5,圖7b)為圖7a)的鑒相曲線。

文獻[10]中給出一個例子,當相關器間隔為3Tc/5時,每個碼片上的采樣點個數至少為10,即Ts最大為Tc/10。而圖7中相關器間隔d同樣為3Tc/5,采樣周期為19Tc/5(遠大于Tc/10),仍可以得到很好的鑒相曲線。很明顯,文獻[10]的結論是不正確的。并且根據上一節得出的結論可知,相關函數的時間分辨能力為僅與q有關,q越大,相關函數的臺階越窄,時間分辨能力越強。在圖7所示的相關器間隔下,只要q越大,超前和滯后支路的相關曲線在時域上就越能夠分離開,鑒相曲線線性區間的線性度也就越好,與采樣率和偽碼速率的倍數之間沒有必然聯系。

圖7 采樣率對相關器及鑒相器輸出的影響

圖8 采樣率的選擇與相關器間隔的關系

為了進一步研究相關器間隔對采樣率設計的影響,本文做了圖8所示的3個仿真實驗。圖8的采樣周期Ts均為(n/5)Tc,其中n為正整數,且n/5不可約;相鄰相關器間隔分別為Tc/9、Tc/10和Tc/11。

由圖8b)可以看出,當相關器間隔為Tc/(2q)時,鑒相曲線沒有過零點,不存在線性區間,跟蹤環路無法工作;圖8a)中相關器間隔稍大于Tc/(2q),出現線性區間,環路可以工作;圖8c)中相關器間隔稍小于Tc/(2q),出現了多個零點,不利于跟蹤。由此得出結論,當相關器間隔滿足d>Tc/(2q)時,即

q>Tc/(2d)

(16)

跟蹤環可以工作。

4 結 論

綜合以上的研究和討論,可以得出以下幾條采樣率設計策略:

1) 為了降低信號處理的速度,以降低成本和功耗,要求采樣率盡量低。

2) 對于射頻前端輸出的中頻信號,要在頻譜不混疊的前提下完成帶通采樣。實數中頻信號采樣率的設計可參考(5)式、(6)式;復數中頻信號采樣率的設計可參考(8)式、(10)式。

3) 設采樣率與偽碼速率滿足(12)式的條件,采樣后的接收偽碼與本地偽碼的自相關函數的時間分辨能力僅與q有關。q越大,相關函數的臺階越窄,時間分辨能力越強。

4) 相關器間隔為d,當q滿足(16)式時,超前減滯后鑒相曲線存在線性區間,環路可以工作。且q越大,線性區間的范圍越大,線性度越好。

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