偽仿射投影算法優化迭代步長的研究

鄭曦, 智永鋒, 張駿

(西北工業大學 自動化學院, 陜西 西安 710072)

自適應濾波技術在噪聲和回波消除、均衡、波束形成中得到了廣泛應用。歸一化最小均方(normalized least mean square, NLMS)算法計算簡單，因此獲得了廣泛應用[1]。但是對于高度自相關的輸入信號，信號特征值相差比較大，NLMS算法表現出了收斂速度慢的特性。為了改善這一問題，提出了一些高效、快速收斂的自適應濾波算法。比如，從幾何理論研究的角度，文獻[2]首次提出了仿射投影(affine projection, AP)算法。通過引入輸入信號方向向量的概念，建立了基于自回歸模型的AP算法和滑動平均模型的正交迭代(orthogonal direction, OD)算法[3]。基于連續的輸入信號相互正交將促進自適應濾波器收斂的思想，建立了一種基于正交因子的NLMS算法[4]。文獻[5]建立了一種簡化的AP算法，稱為偽仿射投影(pseudo affine projection algorithm, PAP)算法。接著文獻[6]分析了PAP算法的統計特性，研究了PAP算法的權值均方誤差收斂性。

基于變步長可以促進自適應濾波的性能，文獻[7]建立了一種帶有指數平滑因子的AP算法。通過分析估計輸出的誤差信號，文獻[8]獲得了迭代步長的一個實時估計值，建立了一種自適應增益AP算法，接著分析了AP算法權值穩定狀態的解[9]。文獻[10]分析了基于回歸估計誤差的AP算法統計特性，接著分析了其優化迭代步長[11]。

在本論文中，通過分析PAP算法的迭代步長，利用OD算法定義的輸入信號方向向量，使得在其方向的權值誤差等于0，獲得了PAP算法的優化迭代步長，促進了自適應濾波器的收斂性和失調量。

1 PAP算法

在自適應濾波器的系統辨識模型中，系統的輸入是均值等于0的穩定信號xn。利用抽頭延遲線可以把輸入信號轉換為輸入向量xn，定義為

xn=[xnxn-1 …xn-N+1]T

(1)

由m個輸入向量構成的輸入矩陣Xn-1，定義為

Xn-1=[xn-1xn-2…xn-m]

(2)

系統辨識的目標是在離散的時間點n，利用最近的(m+1)個輸入向量，估計一個N維的權值向量wn。文獻[3]給出了用自適應濾波器實現PAP算法更新權值向量的結構，其迭代過程如下所示：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

從(3)式到(7)式構成了PAP算法，下面將分析PAP算法的優化迭代步長，以促進其收斂性和失調量的性能。

2 優化迭代步長

假設存在著一個真實的N維權值向量w0。因此，相應的誤差信號可以寫為

(8)

式中

(9)

εn為系統的測量噪聲。為了獲得PAP算法的優化迭代步長，把(5)式中的定步長μ替換成μn。基于(5)式和(9)式，可得變步長PAP算法權值誤差的迭代方程

(10)

(11)

從(5)式可以看出，PAP算法的迭代方向是輸入信號的方向向量φn，在(n+1)時刻,最優的迭代步長使得權值誤差在輸入信號方向向量的方向等于0。因此，基于(11)式，可得在n步的優化迭代步長等于

(12)

(13)

式中

(14)

定義過去k個輸入信號方向向量組成的輸入向量矩陣為

φn-1φn-2…φn-k]

(15)

(16)

基于(15)式和(16)式,可得

; 1≤δ≤k

?

(17)

由(17)式遞推可得

(18)

基于(11)式和(18)式,可得

(19)

(20)

經整理,(19)式、(20)式可以重新寫為

(21)

在實際系統中,系統不可避免地受到系統測量噪聲的影響。基于(8)式

(22)

(23)

因此,可得基于優化迭代步長PAP算法的權值更新方程

(24)

(3)式、(4)式、(6)式、(7)式、(23)式和(24)式以一定的順序構成了基于優化迭代步長的PAP算法,確保了在自適應濾波器迭代的(n+1)步,權值誤差在輸入信號方向向量的方向等于0。因此,所建立的算法促進了自適應濾波器的收斂速度和穩態性能。

3 仿真示例

假定自適應濾波器的初始估計權值向量w0=0,其為32維的向量。信噪比設置為60 dB,算法仿真結果的均方誤差學習曲線是通過對100個相互獨立的學習曲線求平均值而得,優化迭代步長μ0,opt的初始值等于1。假設自適應濾波器的真實權值向量w0具有最大熵,也就是說在各個方向具有相同大小的值。在本文中假定各個方向的幅值等于1,因此可得

w0=I

(25)

式中：I是一個所有元素等于1的32維向量。

圖1 輸入信號是AR(1)模型時所建立算法的學習曲線

示例一輸入信號是yn=-0.95yn-1+zn,其中zn為均值等于0的高斯白噪聲,選擇參數m和k等于2。圖1給出了優化迭代步長的自適應PAP算法均方誤差的學習曲線,從圖中可以看出所建立算法的收斂速度比較快,穩態誤差比較小。

示例二輸入的信號是yn=zn+0.95zn-1-0.4zn-3-0.95yn-1,選擇參數m=3和k=3。圖2給出了優化迭代步長的自適應PAP算法均方誤差的學習曲線,從圖中可以看出所建立的算法促進了自適應濾波器的收斂速度,同時獲得了比較好的穩態性能。

圖2 輸入信號是ARMA(1, 3)模型時所建立算法的學習曲線

4 結 論

通過分析PAP算法在輸入信號方向向量上權值誤差引起的估計輸出誤差信號，使得權值誤差在輸入信號方向向量的誤差等于0，結合OD算法定義的輸入信號方向向量，利用自回歸模型和滑動平均模型可以相互近似表示的原理，獲得了PAP算法的優化迭代步長。仿真結果表明：相比較于PAP算法，本文提出的算法促進了自適應濾波器的收斂性和失調量。

參考文獻：

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