基于紅外傳感器方位跟蹤算法的性能分析

李偉, 羊彥, 侯靜

(1.中航工業(yè)西安飛行自動控制研究所, 陜西 西安 710065; 2.西北工業(yè)大學 電子信息學院, 陜西 西安 710129)

對于戰(zhàn)術導彈的MMW/IR雙模導引頭,當雷達出現(xiàn)故障或持續(xù)受到干擾時,只能利用紅外觀測數(shù)據(jù)進行目標跟蹤。由于紅外導引頭只提供目標角度信息,就涉及到紅外純方位跟蹤的問題。純方位跟蹤(bearings-only tracking, BOT)利用運動目標本身的有源輻射,采用機動單站測向機或觀測站測得目標的方位信息序列實時估計目標運動參數(shù)(位置、航向、速度等)[1]。單站BOT是一個非線性問題,且根據(jù)目標運動分析(target motion analysis,TMA)的理論,當目標和導彈間的相對加速度為零時,目標的距離狀態(tài)是不可觀測的。因此,純方位目標跟蹤問題一直是研究的熱點及難點問題[2]。目前純方位TMA問題的常見解決方法為:幾何定位法(四方位法)和濾波法。其中幾何定位法研究最早,但由于純方位TMA問題的非線性,不利于幾何定位方法的使用。隨著現(xiàn)代信號處理技術的發(fā)展,目前濾波法的研究主要集中在:濾波算法的研究和坐標系的選擇[3]。

濾波算法方面,卡爾曼濾波(KF)的應用最廣[4]。由于觀測量是目標角度信息,在直角坐標系中,其測量方程是非線性的,KF無法直接使用。針對上述非線性問題,近年來無跡卡爾曼濾波(UKF)和粒子濾波(PF)等非線性濾波法得到了廣泛關注,但其計算量巨大,不適于實時應用場合。目前工程上最常用的仍是擴展卡爾曼濾波(EKF),但EKF的BOT性能無法達到最佳,且可能存在濾波發(fā)散的問題。此外,偽線性卡爾曼濾波或稱為偽線性估計(PLE),通過修改測量方程改善了濾波器的穩(wěn)定性。但為保證PLE法的跟蹤效果,要求觀察者(即導彈)進行機動且機動軌跡為最佳(或接近最佳)[5];此外受測量噪聲的影響,PLE算法是有偏的[6]。

坐標系方面,近年來討論較多的是修正球坐標(Modified Spherical Coordinates,MSC)中的卡爾曼濾波法[7]。該算法穩(wěn)定且漸近無偏,在修正的極坐標中建立數(shù)學模型,而濾波計算仍采用EKF。其狀態(tài)變量包含目標角度、速度和距離信息,但濾波過程不夠準確,存在很大誤差。本文結合某型雙模導引頭的工程背景,針對純方位TMA問題,設計了EKF、PLE和MSC中的EKF算法,并給出了可觀測條件;通過對3種濾波方法的性能進行仿真比較,結合工程實際選擇導彈被動跟蹤時的最佳模型。

1 純方位跟蹤問題分析

紅外純方位目標跟蹤系統(tǒng)無法獲得彈目距離,因此系統(tǒng)的可觀測性成為TMA中的一個困難問題。對純方位TMA來說,當方位數(shù)據(jù)由單基站測量得到時,在導彈機動前,上述估計問題是不可觀測的[8-9]。本文主要研究彈目相對運動時的跟蹤問題,不涉及可觀測性的討論。

在三維直角坐標系下,假設目標以初速度vt(0),加速度at(t)做勻加速運動;導彈以初速度vm(0),加速度am(t)進行機動,其初始加速度為am(0)。則目標相對導彈的距離為r,速度為v(t)=vt(t)-vm(t),加速度為a(t)=at(t)-am(t)。暫不考慮噪聲,定義系統(tǒng)的狀態(tài)向量為X=[r,v,a]T,則系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述為:

(1)

(2)

目標的純角度觀測φ(t)和θ(t)構成的系統(tǒng)觀測方程為:

(3)

(4)

(1)式、(3)式和(4)式描述的系統(tǒng)面臨的問題是:通過目標的純角度觀測φ(t)和θ(t)能否估計狀態(tài)向量X,且估計精度如何。

2 純方位目標跟蹤算法

2.1 擴展卡爾曼濾波

純方位目標跟蹤的EKF算法是在常規(guī)KF的基礎上,把非線性問題進行近似處理而得到的。紅外目標跟蹤的狀態(tài)方程及觀測方程為:

Xk=Φk,k-1Xk-1+GWk-1

(5)

Zk=HkXk+Vk

(6)

式中：Wk和Vk是相互獨立的零均值高斯白噪聲,其協(xié)方差陣分別為Q和R,

Hk=

(7)

式中:

2.2 偽線性卡爾曼濾波

偽線性卡爾曼濾波使用偽線性測量殘差來代替方位測量值。其特點是能夠用線性估計理論求解純方位TMA問題,且消除了EKF中濾波初值對算法穩(wěn)定性的影響。其狀態(tài)方程與(5)相同,觀測方程為:

Z2k=h2(Xk)+V2k

(8)

式中：

(9)

將觀測方程(8)偽線性化后[2],得新的觀測方程為:

Zk=HkXk+nk

(10)

式中：Zk=0,Hk=[Hk1,Hk2]:

Hk2=02×6

測量噪聲nk=[rhvφIR,rvθIR]T的協(xié)方差陣為:

(11)

根據(jù)狀態(tài)方程(5)和觀測方程(10),并給定適當?shù)某踔?就可以用卡爾曼濾波對系統(tǒng)狀態(tài)進行偽線性濾波。

2.3 基于修正球坐標系的角度跟蹤算法

修正球坐標(MSC)中的卡爾曼濾波穩(wěn)定且漸近無偏。其在修正的極坐標中建立數(shù)學模型,而算法仍采用EKF。

2.3.1 修正球坐標系

圖1 修正的球坐標系

慣性坐標系(I)到目標視線坐標系(A)旋轉矩陣為:

(12)

(13)

為便于描述,采用x1至x6依次表示X的對應分量,則:

(14)

(15)

(16)

由(14)式和(15)式可以看出,當目標與紅外傳感器間的相對加速度為零時,前5個分量不受第6分量的影響,且第5分量可觀測。只要存在加速度,該狀態(tài)向量的分量全部可觀測。在實際應用中,由于目標加速度通常未知,所以三方向加速度可當相互獨立過程噪聲處理。

2.3.2 基于MSC的卡爾曼濾波

將狀態(tài)方程(13)式線性化得:

(17)

設紅外傳感器采樣周期為T,則對上式離散化后所得的狀態(tài)方程為:

Xk=Φk,k-1Xk+GkWk

(18)

式中：Φk,k-1=[Φ1,Φ2]

(19)

Φ2=

(20)

(21)

紅外傳感器的觀測方程為：

Zk=HkXk+Vk

(22)

(23)

在得到離散狀態(tài)方程、測量方程、過程噪聲協(xié)方差陣和觀測噪聲協(xié)方差陣后,可得基于MSC的Kalman濾波方程組為:

(24)

式中:Pk|k-1為一步預測協(xié)方差陣,Pk為估計協(xié)方差陣,Kk為濾波增益陣。

(24)式在MSC中未進行狀態(tài)外推。這是由于MSC中的非線性狀態(tài)方程較為復雜,這時的外推過程本質(zhì)上屬于非線性濾波的外推。而在直角坐標系中卻可以很容易地做到這一點,即目標的運動可以用相對簡單的狀態(tài)方程予以精確描述。所以,本文在MSC下進行狀態(tài)更新,增益陣、濾波協(xié)方差以及預測協(xié)方差的計算,在并直角坐標系中進行外推。

值得注意的是,當由外推到濾波時,需要將目標在直角坐標系下的狀態(tài)變?yōu)樵贛SC下的狀態(tài),由濾波到外推時,需要將目標在MSC下的狀態(tài)變?yōu)橹苯亲鴺讼迪碌臓顟B(tài)。

(25)

可得:

(26)

然后在直角坐標系中進行外推:

(27)

(28)

式中:

(29)

與EKF和PLE相比較而言,MSC坐標中的狀態(tài)方程是非線性的,且遠比直角坐標中復雜。然而,MSC濾波可將系統(tǒng)狀態(tài)的可觀測分量與不可觀測分量自然分離,因此這種方法可以有效地抑制誤差協(xié)方差陣的病態(tài)畸變。而直角坐標中的EKF濾波則無此特性,由此產(chǎn)生的估計誤差的影響經(jīng)常得出錯誤的可觀測性,而MSC坐標中的EKF濾波則消除了以上直角濾波的缺陷,是一種穩(wěn)定的濾波算法[5]。

3 仿真結果與分析

假定目標作勻速直線運動,采用紅外導引頭數(shù)據(jù),對3種卡爾曼濾波算法進行仿真。數(shù)據(jù)設定為:掃描周期TIR為0.01 s。目標初始位置為(8 000,8 000,-8 000)m,運動速度為(340,0,0)m/s;導彈初始位置為(0,0,0)m,初始運動速度為(100,0,0)m/s,導彈在Y方向做S型機動。紅外方位角、俯仰角的觀測噪聲標準差均為0.057°。分別采用隨機設置初始狀態(tài)的EKF、PLE和MSC下的EKF算法,通過Monte Carlo仿真實驗,并選取100次收斂情況下得到的斜距估計誤差隨時間變化的結果。

圖2和圖3分別為位置濾波誤差和速度濾波誤差。由圖可見,MSC濾波特性與理論分析一致。導彈機動時,估計值收斂,且濾波過程未出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。偽線性濾波算法相對擴展卡爾曼濾波算法收斂較快,但隨著時間的增加,其產(chǎn)生的有偏距離估計和速度估計是很明顯的。

圖4和5分別為俯仰角和方位角濾波誤差曲線。可以看出,MSC濾波算法初始起伏較大,但隨著迭代次數(shù)的增加,MSC濾波算法收斂到一個較高的精度。偽線性濾波算法和擴展卡爾曼濾波算法的收斂速度相當,但偽線性算法的估計精度略差。

圖2 位置濾波誤差 圖3 速度濾波誤差 圖4 俯仰角濾波誤差

圖5 方位角濾波誤差

為比較各種算法的穩(wěn)定性,通過100次Monte Carlo仿真實驗,表1記錄了3種算法收斂的次數(shù)。

表1 3種算法收斂性能的比較

由表1可以看出,偽線性濾波算法和基于修正球坐標系的卡爾曼濾波算法的收斂性能要好于常規(guī)的擴展卡爾曼濾波算法。

4 結 論

本文結合工程實際,對紅外純方位TMA的卡爾曼濾波算法進行了詳細的分析和比較,給出了可觀測條件,分別用EKF、偽線性卡爾曼濾波和MSC下的EKF 3種濾波方法對純方位TMA問題進行了求解。針對不同的算法給出了濾波方程,并對各方法的濾波特性進行了分析,并通過蒙特卡羅方法進行仿真驗證。實驗結果表明直角坐標中的EKF是一種不穩(wěn)定的算法,算法容易發(fā)散;而偽線性卡爾曼濾波法雖然穩(wěn)定性較好,但產(chǎn)生的估計是有偏的。MSC中的EKF,解決了算法的不穩(wěn)定性問題,估計效果也相對較好。

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